代数特征值问题

1、代数特征值问题武汉大学数学与统计学院向 华G: Google Matrix, “the worlds largest matrix computation”. 4,300,000,000 x: PageRank vector “The $25,000,000,000 Eigenvector”搜索引擎London, England: Millennium (Wobbly) Bridge (1998-2002, Norman Foster and Partners and Arup Associates) the natural modes and frequencies of a structu

2、re are the solution of an eigenvalue problem that is quadratic when damping effects are included in the model. (F. Tisseur, K. Meerbergen, The quadratic Eigenvalue Problem, SiREV 43, 2000, pp.235-286)定义:设 A 是 n 阶矩阵, 如果数 和 n 维列向量 ,使得则称 是A的特征值, 非零向量x 称为其对应的特征向量.比如:投影矩阵设 为方阵A的一个特征值, 则由方程求出非零解 , 就是对应于 的

3、特征向量.求解特征方程如何求解 ?即乘幂法的基本思想对应的特征向量求按模最大的特征值和对应的特征向量思考：如果恰好在x1分量上a1=0？假设当1 或1，产生下溢或上溢.作规格化：迭代格式可视为关于特征值的近似特征向量当阶数很高，无法使用其他方法时，乘幂法几乎是唯一的选择基本思想可以导出一些更有效的算法（如反幂法，子空间迭代法），是其他方法的基础收敛速度取决于|/|的大小定理: 设对称阵 , ,Xx1,xn是正交阵且 .向量qk由幂法产生且定义 ,则例(1)比较=30和=-30时的迭代次数，注意两种情景下 |2 /1|的大小Hint:Note:(2)取=16,此时 研究初始向量为q0=(2,-2

4、,3,-3)T时的收敛行为. 结论：不用担心初始向量q0在x1方向上分量为因为迭代过程舍入误差通常能保证迭代序列在此方向上有分量例Demography(Lotka,1920;Leslie,1940s)在时刻t处于年龄段i的个体数第i年龄段的存活率第i年龄段的出生率Age interval (months)x(0)misi0-3600.23-6120.50.46-980.80.89-1240.3-推广一（inverse power method)：求模最小的特征值推广二（power method with shift)：下一个迭代向量在相应的特征方向上的成分就非常多H.Wielandt,1944

5、; J.Wilkinson,1957.坏条件的线性方程组不精确反迭代如何估计位移(Gershgorin circles)：例如, A=30,1,2,3; 4,15,-4,-2; -1,0,3,5; -3,5,0,-1 ;(4)据 , 知 收缩技巧(deflation):已知 1和 x1: A x1= 1 x1,记A1=A1.Hotelling(1933):2.用相似变换:(2)求B2对应的2和y2(3)求A2对应的特征向量 z2 (, y2T)T(1)求H1, s.t. H1x1=t e1eigs/software/ARPACK/eig/lapack/QR算法的C程序(见附件)参考 Numerical Recipes 或 C+数值算法,（美）普雷斯 等著，胡健伟 等译,电子工业出版社 进一步的内容:1.QR算法2.分而治之(divide-and-conquer)3.The Lanczos Method4.Arnoldis Method5.Jac