极值点偏移讲义

1、极值点偏移问题讲义一、极值点偏移的含义众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)=f(2m-x)，则函数f(x)关于直线x二m对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x二m必为f(x)的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0，若f(x)=c的两根的中点为x+xx+x122，则刚好有122二x0，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数/(x)的极值点为m，且函数/(x)满足定义域内x二m左侧的任意自变量x都有/(x)/(2m-x)或/(x)/(2m-x)，则函数/(x)极值点

2、m左右侧变化快慢不同故单峰函数/(x)定义域内任意不同的实数，x2满足f(xi)=f(x2)，则x+xx+xx+xN2与极值点m必有确定的大小关系：若m-22则称为极值点右偏.如函数g(x)-e?的极值点x0二1刚好在方程g(x)=c的两根中点宁的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：若函数f(X)存在两个零点片，X2且X1丰X2，求证：X1+X22X0(X0为函数f(X)的极值点);若函数/(X)中存在X1,X2且X1丰X2满足f(X)=f(X2)，求证：X1+X22X0(X0为函数f(x)的极值点)；若函数f(x)存在两个零点xi,x2且X1丰x2，令X0=S；3，

3、求证：广(X0)0；若函数f(X)中存在Xi,x2且X1丰x2满足f(Xi)=f(x2)，令X0=I3，求证：广(X0)0.二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：(1)求出函数f(x)的极值点x0；(2)构造一元差函数F(x)二/(x0+x)-/(x0-x)；(3)确定函数F(x)的单调性；(4)结合F(0)=0，判断F(x)的符号，从而确定f(x0+x)、f(x0-x)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(X1)=f(x2)，x0为函数f(x)的极值点，求证：X1+x2F（Xo）二f（X）

4、-f（X）二0，从而得到：XXo时，f（%+X）f（%一X）.（4）不妨设x1x0 x0时，f(x0+x)f(x0-x)且片x0fX0(X2X0)二f(2X0X2)，又因为X1X0，2x0 x2x0且f（x）在（g，x0）上单调递减，从而得到x2x0 x2，从而x+x22x0得证.x+xx+xx+x（5）若要证明f（02）0，还需进一步讨论p2与x0的大小，得出p2所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为x1+x22x0，故遇竺x0，由于f（x）在（一。x0）上单调递减,说明】1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；2）此类

5、题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f（x）的单调性、极值点，证明f（x0+x）与f（x）（或f（x）与f（2“x）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如xi+x22x0或f（%；X2）0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.题型二利用对数平均不等式(a丰b),两个正数a和b的对数平均定义：L(a,b)=1InaInba(a=b).abL(a，b)a2b(此式记为对数平均不等式)取等条件：当且仅当a=b时，等号成立.只证：当a丰b时，鮎abL(a，b)b.证明如下：(I)先证：abL(a,b)ab,a不等式lnalnblnabbbbo2lnx1)axb构造函数f(x)=2lnx(x-丄),(x1)，则f(x)=-1=(1-)2xxx2x因为x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(1,+s)上单调递减,故/(x)/=，从而不等式成立;a+b(II)再证：L(a,b)olnbolnx(其中x=1)a+bb(a+1)(x+1)Vbb(x1)22(x1)14构造函数g(x)=lnx寸(x1)，则g(x2厂GT正-x(x+1)2-