概率论与数理统计b ch1

1、 我们知道，随机变量的概率分布能完整地描述随机变量的统计规律性。但是，要完全知道一个随机变量的概率分布，并非一件容易的事情。更何况在实际问题中，也无需知道随机变量的一切概率性质，而是只关心一些能描述随机变量某些方面特征的数字数字特征. 随机变量的数字特征无论对于理论研究还是在实践中，都具有重要意义.第三节 随机变量的数字特征一、数学期望 定义1 设离散型r.vX的分布律为： 若级数 绝对收敛，则称级数的和为r.v X的数学期望，简称期望或均值，记为E(X),即:(1)注随机变量的期望描述了随机变量的平均取值例1：解：令i=k-11、定义 设连续型r.vX的概率密度为f(x),若广义积分 绝对收

2、敛,则称此积分的值为r.vX的数学期望,记为 E(X),(2)定义2例2：设XU（a，b），求E（X）解X的概率密度函数为 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);（诸Xi独立时）注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立推论：E（EX）=EX2、数学期望的性质练习：已知XN(1,4), Y(3), 求 E(2X+Y+3)二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布 要求: 能熟练验证; 熟记结果.重要分布的期望值:3、随机变量函数的数学期

3、望离散型r.v X的分布律为：PX=xk=pk k=1,2 连续型r.vX的概率密度为f(x)已知一维r.vX的分布,求其函数Y=g(X)的期望:(4)(3)说明：该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给计算r.v函数的期望带来很大方便.练习： X 0 1 2 3 求Y=X2+1的期望 pk 1/16 3/16 1/4 1/2例3：某车间生产的圆盘直径在（a，b）上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解：设X为某车间生产的圆盘直径，依题意，XU（a，b） X的概率密度为设圆盘面积为Y，则 上述基本公式，可推广到两个或两个以上r.

4、v的情况。说明：若先求出随机变量X的函数g(X)的分布，再求期望， 运算要复杂得多 .（2）连续型r.v(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，则有(6)2 、已知二维 r.v（X,Y）的分布，求Z=g(X,Y)的数学期望（1）离散型r.v（X，Y）的分布律为：(5)特别地，设(X,Y)为二维随机变量，则二、方差 我们知道，随机变量的数学期望反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 如某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：问：根据上述结果，哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器较好，

5、因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。 因此需要引进另一个数字特征来刻划随机变量取值在其中心附近的分散程度，这就是方差。测量结果的均值都是 a甲仪器测量结果1、定义则称之为X的方差，记为D（X）或Var(X)。即说明：常数E(X) X的概率取值中心; X-E(X) X的取值与概率取值中心的偏差;非负常数D(X)=E X-E(X)2偏差平方的期望。方差描述了X的取值与概率取值中心的平均偏差，是衡量X的取值分散程度的尺度。若X的取值比较集中，则方差较小；若X的取值比较分散，则方差较大 .，称为标准差或均方差2、计算方法（1）当X为离散型r.v，其分布律为P(X=xk)=pk（2）当X是连续型r.v，

6、其概率密度为f(x)方法2一个常用的简化公式:证明：方法1：由定义求例4:已知X的分布, 求 D(x)解: X 0 1 2 3 pk1/103/104/102/10 0 1 2 3 X或方差为 练习 解 3、方差的性质 1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X);3. 若X1与X2 独立，则D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);证明:4. D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C=E(X)思考：设X，Y相互独立，则D（X-2Y）=？常见分布的方差(3)泊松分布:(1)(0-1)分布:D(X)=p q(2)二项分布:D(X)=np(1-p)D(X)

7、=(4)正态分布:(5)均匀分布:D(X)=D(X)=(6) 指数分布例5、 设且X与Y相互独立，而解 :所以 进而 对于一个二维随机向量（X，Y），期望和方差只反映各个分量各自的平均取值与各自相对于其均值的偏离程度，没有反映出分量X与Y之间的相互关系。 下面学习反映X与Y之间关系的量，即X与Y的协方差和相关系数。三、协方差和相关系数1、协方差:性质:例6求Cov(X,Y)设二维随机变量（X,Y)具有概率密度解：于是有2、相关系数定义:性质：相关系数是刻画两个随机变量X与Y之间线性相关程度的指标YX-1 0 1 -100例7 设r.vX和Y的联合分布律为解：用公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可求出(X,Y)关于X，Y的边缘分布律 X -1 0 3/8 2/83/81 Y -1 0 3/8 2/83/81 (X,Y) (0,-1) (0,0) (0,1) (-1,0) (1,0) (-1,1) (1,-1) (-1,-1) (1,1) Z=XY 0 -1 1 pk 1/2 1/4 1/4 Cov(X,Y)=0-0=0，YX-1 0 1 -100即X与Y不独立。 X -1 0 3/8 2/83/81 Y -1 0 3/8 2/83/81则称之为X与Y的k+l 阶混合中心矩。定义：设X与Y是随机变量，显然，E(X)为一阶原点矩，D(X）是二阶中心矩； Co