计算方法练习题集和答案解析

1、练习题与答案练习题一练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题、是非题* - . 一 、一、1.X - 12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 2限 22.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。似表示c o s X产生舍入误差。5.3. 1 4 和3.5.3. 1 4 和3.142作为的近似值有效数字位数相同。、填空题1.y为了使计算121.y为了使计算1293x * 1的乘除法次数尽量少,应将该表达式改写为* 一4一，一 一一 一 x -0.003457是x舍入得到的近似值，它有 位有效数字

2、, 误差限为,相对误差限为误差的来源是;截断误差设计算法应遵循的原则14.用S = 2 gt2表小自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，St是在时间t的实际距离，则StS是()误差。(A).舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断1.41300作为的近似值，有()位有效数字。(A) 3 ;(B) 4;(C) 5;(D) 6。四、计算题22.3.142, 3.141, 7分别作为 的近似值，各有几位有效数字？.设计算球体积允许的相对误差限为1%问测量球直径的相对误差限最大为多少？x 112x 112 dtx 1 t|x| TOC o 1-5 h z 11 x- 1x11

3、1 2x 1 x, (2) e ex 1 |x|1 ,ln( . x2 1 x) x 11.真空中自由落体运动距离 s与时间t的关系式是s=2gt2, g为重力加速 度。现设g是精确的，而对t有0.1秒的测量误差，证明：当t增加时，距 离的绝对误差增加，而相对误差却减少。5*.采用迭代法计算万，取k=0,1，,k=0,1，,若xk是行的具有n位有效数字的近似值，求证xk1是6的具有2n位有效数字的近似值。练习题二、是非题 TOC o 1-5 h z 单点割线法的收敛阶比双点割线法低。()牛顿法是二阶收敛的。()求方程x3 x 1 0在区间1,2根的迭代法总是收敛的。()迭代法的敛散性与迭代初值

4、的选取无关。()求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。()二、填空题1. 1.用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a, b)的根时，二分n次后的误差限为;2.设f(x)可微，求方程x f(x)的牛顿迭代格式是 ；3.用二分法求方程x3 x 1 0在区间0,1的根，进行一步后根的所3在区间为,要求准确到10 ,则至少应二分 次； 24.(x) x (x 5),要使迭代格式xk1(xk)局部收敛到x* 岔，则的取值围是;5. 求方程x3 x 4 0根的单点割线法是 , 其收敛阶为;双点割线法是,其收敛阶 为 0三、计算题2用二分法求方程x x 1 0的正根，使误差小于0.05。求方程

5、x3 x2 1 0在x0 5附近的一个根，将方程改写为下列等价形式，并建立相应迭代公式。 TOC o 1-5 h z d 1x 1 x 1 xk 1 2(1)x2 ,迭代公式xk ;(2)x(2)x3x2,迭代公式xk 1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似值。3.用牛顿切线法求 袤的近似值。取Xo 2,计算三次，保留三3.位小数。4.用割线法求方程x3 3x 1 0的在xo 5附近的一个根，精4.确到小数点后第二位。* . . .四、证明题 已知方程f(x) 0,试导出求根公式2f (xk)f(xjxk 1 xk - 2-：2f (xk)f (xk)f(x

6、k)并证明：当x是方程f(x) 0的单根时，公式是3阶收敛的。练习题四、是非题矩阵13并证明：当x是方程f(x) 0的单根时，公式是3阶收敛的。练习题四、是非题矩阵135具有严格对角优势。是弱对角优势矩阵。高斯一塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快O11M II 1 是迭代格式 x(k1) Mx(k)f收敛的必要条件5*.逐次超松弛迭代法是高斯一赛德尔迭代法的一种加速方法。 二、填空题1.解方程组3x1 1.解方程组3x1 5x2 1x1 2x20的雅可比迭代格式（分量形式）为,该迭代矩阵的谱半径 （Bi）； 3x1 5x21.解方程组 x1 2x2 0的高斯一赛德尔迭代格式（分量形式）为,迭

7、代矩阵B2 ,该迭代矩阵的谱半径（民）；.幕法的迭代公式为 ;. QR算法是用来求 矩阵的全部特征值的一种万法。.雅可比方法是用来求 矩阵的全部特征值及特征向量的一种 变换方法。三、选择题 TOC o 1-5 h z （k 1）（k）.解方程组Ax b的迭代格式x Mx f收敛的充要条件是（）（A） IIAII 1；（B） IIM II 1;（C）（A）1;（D）（M）1。.幕法的收敛速度与特征值的分布（）（A）有关；（B）无关；（C）不一定。.幕法是用来求矩阵（）特征值及特征向量的迭代法。（A）按模最大；（B）按模最小；（C）任意一个；（D）所有的。 TOC o 1-5 h z .解代数线性

8、方程组的松弛法收敛的必要条件是（）（A） 01 ；（B） 01 ；（C） 02；（D） 02。.反幕法是用来求矩阵（）特征值及特征向量的迭代法。（A）按模最大；（B）按模最小；（C）任意一个；（D）所有的。四、计算题.用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性方程组3x1 TOC o 1-5 h z X353x1x1 3x2 x31x1 x2 4x38(0)C C、T.Mx(0，0，0),列表计算三次，保留三位小数。3x1.3x1x35x13xx13x2x3x1 x2 4x38(0)T取x(O，0，0),列表计算三次，保留三位小数。.用幕法求矩阵0 1 2按模最大特征值及相应特征向量，列表计算三次，取

9、x(0) (w)T,保留两位小数。* .4 .取 1.46,用松弛法解线性方程组 TOC o 1-5 h z 2x1 x21x1 2x2 x30 x2 2x3 x41x3 4x4 0(0)T取x(O，0，0),列表计算三次，保留三位小数。4105.5.用雅可比方法对称矩阵数计算，0.1) o0 1 1的特征值及相应特征向量(按四位小0 1 4的全部特征值。练习题五、是非题1.(1.(x Xi)(X X2)(X0 X1)(X0 X2)表示节点X0处的二次插值基函数。()牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利 TOC o 1-5 h z 用前一次插值的结果。()在拉格朗日插值中，

10、插值节点X0，X1，L，4必须按顺序排列。()利用等距节点的牛顿插值公式计算X。附近的f(X),用后插公式。()已知n 3,则三次插值基函数l2(X)= n一、li(X)n+1个节点的拉格朗日插值基函数li(X)的和i 0。已知f(X)x4,取节点Xkk (k0,1,2，.)，用线性插值求M2)的近似值，其计算公式 出P1(2.1) 。插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函数值而且取已知导数值。已知 f(1) 2，f(0) 1，f(2) 3,则 “1，0 f，2 , f 1,0，2 ，牛顿二次插值多项式N2(X) 三、选择题X X1.函数X0X1表示线性插值() 点的基函数.(A)X0

11、;(B)yo ;(C)X1(D).过点(S)，。3)，4)的二次插值多项式p2(X)中X2的系数为().(A) - 0.5(B) 0.5(C) 2(D) -2.给定互异的节点X0，X1，L，Xn，p(x)是以它们为插值节点的插值多项式，则p(x)是一个().(A).n+1次多项式(B).n次多项式(C).次数小于n的多项式 (D).次数不超过n的多项式4 f(x) 3x99 50 x67x,差商 f1,2,22,2100()(A) 0(B) -3(C) 50(D) -75,对于次数不超过n的多项式f(x)，它的n次插值多项式P(x)为().(A)任意n次多项式(B) 任意不超过n次的多项式(C

12、) f(x)本身(D)无法确定 四、计算题4,求f(x)的牛顿插值多项式已知 4,求f(x)的牛顿插值多项式N2(x),及f(1.5)的近似值,取三位小数。证明：若f (x)二阶连续可微，则对于f (x)的以x0，xi为节点的一次 插值多项式P(x),插值误差f(x) P(x)| (x1 x0) max I f (x)8 x0 x Xi4设f(x) x 2x 1,利用拉格朗日插值余项求以-1 , 0, 1, 2为插值节点的三次插值多项式。4*.已知函数y f(x)的数据fy0, f(2) y1,fm。，用基函数法求f (x)的二次插值多项式(xH!?y0,H2(2)丫出m0.5* .要给出f(

13、x) eX在区间-2,2上的等距节点函数表，用分段三次Hermite插值求eX的近似值，要使误差不超过10 8,问函数表的步长h应为多少？xi1146.已知的f(x)函数表f (xi)245求f (x)的二次插值多项式；用反插值求x,使f (x)=0。练习题六一、判断题 TOC o 1-5 h z 在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。()向前差分与向后差分不存在等量关系。()已知观察值(xi，yi)(i 0,12，n),用最小二乘法求得的拟合多项式其 次数为n次。()利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公式的类型。()数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。()二、填

14、空题2 2.已知某函数的二阶向前差分fi为0.15,则其二阶向后差分f3为O利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t,其计算公式为t =O已知函数y f (x)在a,b上的n 1个节点Xi处的函数值 上 则其三次样条 插信函数s(x)满足的条件为已知(玉*)。 1,2,30),其线性拟合的正规方程组为 。X用形如y 力的非线性拟合数据(xi, y做变换后为线性拟合y = a bx o三.选择题.()是利用函数的值求自变量的值。(A)三次样条插值(B) 反插值(C) 分段插值(C) 分段插值(D)爱尔米特插值最小二乘法原理要求下列哪个为最小(最小二乘法原理要求下列哪个为最小(nnn

15、iiii 1(C) i 1(D) i 1时称为超定方程组。.记 iyiyi ,i 1,2,L ,nmax i(A)1 i n i (B).当线性方程组满足()(A)未知数的个数等于方程的个数(B)未知数的个数大于方程的个数(C)未知数的个数小于方程的个数(D)未知数的个数与方程的个数大小任意* 4. x是超定方程组Axb的最小二乘解的充分必要条件是().(A)* 一 TTx是A Ax A b的解(B)* 一 TTx是AA x A b的解(C) x是ATx bT的解(D)三者都不对皿，+Pn(x)5.勒让德多项式1 dn2nn! dxn(x* 1 2 * *(A) 小于n次的多项式(C) 大于n

16、次的多项式(B)(D)1门曰是()等于n次的多项式小于等于n次的多项式四、计算题1.已知函数1.已知函数y f(x)的函数表如下，解答下歹问题3x1 2x22利用f(x)的二次拟合多项式P2(x)，求f (0)的近似值。5.用形如y a1nx b的函数拟合下列数据f(xi)练习题七、填空题1.31f(x)dx (已知f(1) 1.1 , f(2) 1.2, f(3)1.31f(x)dx (原理求一次多项式拟合上述数据。,用抛物线求积公式求得 TOC o 1-5 h z 1f (x)dx ()。已知f 03, f 0.54 , f 13,则用三点式可求得f (0)() , f (0.5)() ,

17、 f (1)(),且 f (x)() Ob复合梯形求积公式为a f(X)dX2()，当f(x) C a,b时，其余项 TOC o 1-5 h z Mf) ()0数值积分代数精确度的定义是()。bnf (x)dxAkf (xk)求积公式ak 0的代数精度以()求积公式为最高，具有()次代数精度，其节点称为()点。二、选择题求积公式研究的误差为()。A.观测误差 B,模型误差C,舍入误差D, 截断误差2.已知在a, b上,(x) 2 ,且 f(x) C2a,b,步长 h TOC o 1-5 h z 则复合梯形求积公式的误差限为()。(b a)3(b a)3A. 6B,6b a 2h3C. 6D.6

18、梯形公式、抛物线公式及n阶N C求积公式的代数精度分别至少为()。A. 1,2, n B, 2,3, n C, 1,3, n D, 1,4,n+1数值微分的二点公式中，其误差限为()，其中h % X。x。%。2h f ()A. O(h)B,2 f ()h 一 h .f ( )- max f (x)C. 2D.2 x0 x x125, 已知 f(x) C40,2,在0, 2 f()(x) 1 , 0 f (x)dx 有两位整数，用复合抛物线求积公式计算要保证有5位有效数字，步长最多应为(A. 0.1 B, 0.2 C, 0.3 D, 0.4bf(x)dx bf(x)dx 高斯求积公式aAkf (

19、xk)k 1的代数精度为 2n+10 TOC o 1-5 h z 梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法。()在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。()n越大,N C求积公式的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性也越好。()具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。()四、计算题1、八咨八；/dx下1、分别用梯形公式和抛物线公式计算积分04 x , 0, 1八等分，并估计误差。2、2、n=4,用复合梯形公式求 0并估计误差。3(x )dx的近似值，取四位小数,1.514,exdx10,3、 用复合抛物线公式计算o e d ,要使截断误差不超过2,应至少将区间0, 1

20、.5多少等份？24、设有求积公式o f(x)dx Aof(0) 2Af3A2f，求Ao,A,A2使代 数精度尽量高。2利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算 f(x) (1 x)在xOl1和1.2处的导数值。练习题八一、填空题y y x 1用Euler方法解常微分方程初值问题y(0) 1,步长h 0.1,计算格式为yn 1 =(), % =()。y f(x, y)求解常微分方程初值问题 y(x0) V。改进的欧拉公式为( )常微分方程初值问题的数值解法一般分为()法和()法。求解常微分方程初值问题的 Adam公式是()步法。求解常微分方程初值问题的四阶R-K方法的局部截断误差为二、选

21、择题21、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为O(h),则该方法的阶是()。A 1 B . 2 C . 0 D . 32、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为()步法A.多 A.多 B . 23、梯形公式是求解常微分方程的(A. 2B, 44、四阶R-K方法每步要计算(A. 4B. 5C.3D.1)阶方法。C.3D.5)次f的值。C.2D3 TOC o 1-5 h z 5、改进的Euler公式的局部截断误差为()。2345A. O(h ) b, O(h ) c, O(h ) d, O(h )三、判断题1、R-K法是一类低精度的方法。()2、求解微分方程初值问题的二阶 R-K方法是

22、多步法。3、梯形方法是一种隐式的多步法4、求解微分方程初值问题的向后 Euler法是隐式方法。25、求解常微分方程初值问题的预估一校正公式的局部截断误差为O(h)()四、计算题1、 用Euler法求解y 2x yy(0) 1(0 x1)h 0.2,保留两位小数。2、2、用Euler法求tt2dty(x)在x 0.5,1,0，1.5,2.0处的近似值，保留5位小数3、用改进的Euler法(梯形公式)解初值问题y 8 3y y(1) 2(1x2)取步长h 0.2,至少保留5位小数。4、用预估一校正公式求初值问题2 y xy y(0)1(0 xi)的数值解，取步长h 0.2,以四位有效数字计算,*

23、.一，五、证明题对常微分方程初值问题y y 0y(0) i _，yn证明梯形公式求得的近似解为xh 0时，yn e 。,并进一步证明当步长计算方法练习册答案习题一一、1 .; 2 .; 3 .; 4 .; 5.1y 12 (3 ( 4 9t)t)t, t 二、1 .x 13.略；4,略；5 .略.三、1. C; 2 . A; 3 . C; 4 . C; 5 . A.2. 4 9 106- 10四、1 . 4 位，3 位，3 位；2 . 0.333%2x2一， 、一一 2，一、3 . ( 1) 1 3x 2x ,(2)arctanarctan1 x(x 1)4,略；5 .略.(4)ln(Vxx

24、xx(3 )2!3! 1 x xx(3 )2!3!习题二、1.;2.;3.;4.Xn 1Xnxnf(xXn 1XnFT； 3. 2,1, 10(4.Xn 1哥)5； 5 .3 xnXn 3 xnxnxn 1xnxnxn 4(4.Xn 1哥)5； 5 .3 xnXn 3 xnxnxn 1xnxnxn 433xnxn xoxoxn 4/3(xnxn 1xn 1xn1), 1.618三、1 . 1.59375； 2 . (1)收敛，(2)收敛, * . _快，x 1.467； 3 . 2.236； 4. 1.88.四、略.习题三一、1 .； 2 .； 3 .; 4 .; 5.二、1. 2, 4,石；

25、2, 8, 7, 56 ；A LU100 21013-10 0-122240-10033xo),1,3）发散，（2）收敛速度21.20002.34.7； 5 .1213三、1 . B; 2 . B; 3 . B;四、1 . x= (2, -2, 1) T;4. x= (2, 1, -1) T.4 . B; 5 . D.2 . x= (1,1,1T; 3 . x= ( 1, 1, 1, 1T；习题四习题四2.xi(k 1)x2(k1)53x2(k)(k)12.xi(k 1)x2(k1)53x2(k)(k)13(k 1)5(k)1xix2 一33(k 1)1 (k 1)x2xi25356yk Ax

26、k imk max(yk) 1 xkyk3 .mk; 4.任意实的非奇异；5 .实对称.三、1 . D; 2 . A; 3 . A; 4 . C; 5 . B.四、1 . x= (2.444, 0.333, -2.531) T； 2 . x= (2.399, 0.401, -2.499) T;3.1 4, v1 (1, 0.47, 0.14) 4 .略；5 ,略；6.略.习题五、1 、1 ；2.；3.;4.；5.(x Xo)(x x)(x x3)二、1 . (x2Xo)(X2x1)( X24. Hermite； 5.三、1 .A; 2 . A;山2四、二、1 . (x2Xo)(X2x1)( X

27、24. Hermite； 5.三、1 .A; 2 . A;山2四、1 .1, 1, -, 233 . D; 4 . A;15(x 1) -(x222.1; 3 . 22.5 ；(x 1) |(x 1)x 3.5 . C.3. 2x30.03x2 1 4H2(x) y0(-x23x(1)152315 ,5 o 11)(x 1)-x -x2222x 2x) y1(x 2x7121 .5,1)0.125/2m0( x习题六；3 .; 4 .; 5.xXo303030XiXi 130 2303030XiXi 130 2Xia。a14.30Vi 130X Vi 1、1 . b； 2. c； 3 . c； 4. A;四、1 .略；四、1 .略；2 . 12.36 2.53x3 . x= ( 1.6530,0.6612 ) T1(1(2y0 y1 y3 2y4)4. 105 y 0.53084 In x 2.93748习题七5、5-f(2 -)1.95859 f 9 f(2(b a)3 12n2h-(f(Xo5、5-f(2 -)1.95859 f 9 f(2(b a)3 12n2h-(f(Xo) f(Xn)3. 2n 12 f(X