长方体正方体-表面积、体积-基础拔高

1、长方体、方体（一）一、棱例题 1：填空题。(1)一个长方体的棱长和是 厘米，它的长是 9 厘米，宽 6 厘米，它的高是厘米。(2) 一个长方体的棱长和为 厘米，长宽高是三个连续的奇数，那么这个长方体的长、宽、 高分别是 厘米、 厘米、 厘米。(按从大到小的顺序填)(3)有一个长 20 厘米，宽 8 厘米，高 6 米的礼品盒，带扎起来(如图 所示)，打结处用掉 40 厘米，那么至少需要 厘米的彩带。练习 1：填空题。(1) 一根铁丝，原打算围成一个棱长为 12 厘米的正方体框架。现在改围成一个长是 厘， 宽是 14 厘米的长方体框架，那么围成的长方体框架的高是 厘米考虑损耗）(2)萱萱为妈妈准备

2、了一件礼物，用一个 12 厘米， 8 厘米，高 5 厘米 的礼品盒包装并且用彩带扎起来（如图所示结处用掉 厘米，那么 至少需要 厘米的彩带。例题 2：一个长方体的棱长总和是 厘米，已知长是宽的 1.5 倍，宽是高的 倍，求这个长 方体的长、宽、高。练习 2：一个长方体的棱长总和 140 厘米，已知长是宽的 2 倍，宽是高的 2 倍，求个长方 体的长、宽、高分别是多少？第 1 页 共 21 页例题 3：把一个棱长 8 厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长总和 比原来正方体的棱长总和增加了多少厘米？练习 3：如图，将一个棱长是 的正方体沿虚线切成三个完全相同的长方体，求切开后的

3、 三个长方体的棱长总和比原来正方体的棱长总和增加了多少厘米。二、表积1、贴商标类型：只求四周面积。例：一个长方体包装盒，长宽高分别 8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面 积是多少？2、游泳池类型：只求四周和底面。例：一座游泳池，长宽高分别为、， 4m， 1.5m，需要在池内贴上边长为 的瓷砖，大 约需要多少块瓷砖？3、抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。例：一款抽纸盒，长宽高分别 20cm， 12cm 5cm，上面有 14cm， 3cm 的抽纸口，做这 款抽纸盒需要多少硬纸片？4、占地面积问题：只求底面面积。例：一个长方体蓄水池，长 ，宽 8m，深 3m，这个水池占地面积多少平

4、方米？第 2 页 共 21 页5、一个长方体的无盖玻璃鱼缸，它的长 90 厘米，宽 30 厘米，高是 60 厘米，制作这个鱼 缸至少需要多大面积的玻璃？6、一节排气管道长 1 米，它的横截面是一个正方形，边长是 厘米，做一节这样的排气管至 少需要多少平方米的铁皮？7、粉刷一间长 5 米、宽 4 、高 3 米的房间，房间门窗面积是 8 平方米，这间房的粉刷面积 是多少？8、加工厂要加工洗衣机的机套（没有低面每台洗衣机的长 59.5 厘米，宽 厘米，高 80 厘米，做 1000 个机套至少用布多少平方米？9、健身中心建一个游泳池，该游泳池的 50 米，是宽 2 倍， 2.5 米，要在池的四周和低

5、面都贴上瓷砖，共需要多少平方米的瓷砖？10、一个领奖台的尺寸如下图所示，把各面涂上红色油漆(下面不涂)，涂漆部分的面积有多 大?(单位：分米)第 3 页 共 21 页三、切锯例题 1 12 个棱长为 2 米的小正方体堆成一个长 厘米 4 厘米， 高也是 4 厘米的大长方体，再将它去掉两个小正方体如图)，那么现在 这个图形的表面积是多少平方厘米?练习 1：1、图中每个小正方体的棱长都是 1 厘米，那么这个立体图形的表面积是多少平方厘米？2、求如图所示的长方体切割后的表面积单位：厘米）例题 2：如图，把一个正方体木块锯成四个长方体，它的表面积增加了 72 方厘米，那么原 正方体的表面积是多少平方厘

6、米?练习 2：1、如图，把一个正方体木块锯成两个长方体，它的表面积增加了 平方厘米，那么原正方体 表面积是多少平方厘米？2、如图，把一个正方体木块锯成四个长方体，它的表面积增加了 平方厘米，那么原正方体 的表面积是多少平方厘米？第 4 页 共 21 页3、如图，把一个正方体木块锯成三个长方体，它的表面积增加了18 平方厘米，那么正方体 表面积是多少平方厘米？一个高为 8cm 长方体木块果纵向把它切成两个小长方体面积就增加 平方厘米； 如果横向把它切成两个小长方体，表面积就增加 平方厘米，这个长方体木块的表面积是多 少?第 5 页 共 21 页长方体和正体（二）一、知要点在数学竞赛中，有许多有关

7、长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点： 1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。二、精精练【例题 1】把一个棱长 8 厘米的正方体铁块，锻造成一个长 厘米，宽 2 厘米的长方体块， 这个长方体铁地的高是多少厘米？练习 1：一个长方体容器长 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米，里面水深 6 米，把它倒入一 个长 40 厘米、宽 30 厘米、高 厘米的长方体容器中，水深应为几厘米?【例题 2】 一个零件形状大小如下图

8、：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平 方厘米？（单位：厘米）练习 2：如图所示，小馨在素质拓展课上做了一件手工作品，那么这件作品的体积是多少立方厘米如图是某个机器的零件，那么这个零件的体积是多少立方厘米第 6 页 共 21 页把一根长 2 米的长方体木料锯成 1 米长的两段表面积增加了 2 平方分米求这根木料原来的 体积。【例题 3】 一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图能算出它的体积 和表面积吗？（单位：厘米）练习 3：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积单位：厘米2.有一个棱长是 4 厘米的正方体从它的一个顶点处挖去一个棱长是 厘米的正方体后剩下 物体的

9、体积和表面积各是多少？【例题 4个长方体表面积是 216 平方厘米底面积是 10 平方厘米面周长为 厘米。 （1）这个长方体的侧面积是多少平方厘米?（2）这个长方体的高是多少厘米?练习 4：个长方体，表面积是 平方厘米，底面积是 12 平方厘米，底面周长为 厘米。 （1）这个长方体的侧面积是多少平方厘米?（2）这个长方体的高是多少厘米?（3）这个长方体的体积是多少立方厘米?第 7 页 共 21 页【例题 5】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来 的长方体的表面积增加了 平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？练习 5：1.一根 80 厘米和高都是 厘米的长

10、方体钢材材的一端锯下一个最大的正方体后， 它的表面积减少了多少平方厘米？2.把 4 块棱长都是 2 分米的正方体粘成一个长方体们的表面积最多会减少多少平方分米？【例题 6】 一个长方体，前面和上面的面积之和是 平方厘米，这个长方体的长、宽、高 以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？练习 6：1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是 平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这 个长方体的体积是多少？2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是 立方厘米，求它的表面积。3. 一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体长、宽、高分别是 分米、 4 米、 25 分米，求正

11、方体体积。第 8 页 共 21 页巩固练习：1、一个长方体木块的长是 厘米，宽是 8 厘米，高是 5 厘米，那么这个长方体木块的体积 是多少立方厘米？2、一个长方体木块的长是 厘米，宽是 30 厘米，高是 50 厘米，那么这个长方体木块的体 积是多少立方米？3、一个正方体铁块的棱长是 厘米，现在要把这个正方体铁块熔铸成一个高和宽都是 5 厘 米的长方体铁块，那么这个长方体铁块的长是多少厘米？4、国家游泳中心水立方是长 177m，宽 177m，高 30m 的长方体建筑，里面设置的泳池长 50m， 宽 25m。水立方的占地面积是多少平方米?水立方所占空间有多大?如果游泳池里的水深 2.2m水的体积

12、是多少立方米?5、一根长方体铜条长 ，横截面是边长为 正方形。如果每立方分米铜重 8.9kg， 那么这根铜条一共重多少千克?6、把一个棱长是 20cm 的正方体钢坯熔铸成横截面为正方形的长方体钢材，横截面的边长是 5cm，这根钢材的长是多少米?第 9 页 共 21 页长方体、方体的体积三）【知识述】在长方体正方体问题中我们还会常常遇到这样一些情况把一个物体变形为另一种形状的 物体把两个物体熔化后铸成一个物体把一个物体浸入水中物体在水中会占领一部分的体 积。解答上述问题，必须掌握这样几点：1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗积不变；2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体

13、积的和；3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。【例题讲】例1、有一张长 40 厘米，宽 厘米的长方形硬纸片，从四个角各剪去边长为 厘米的小正方 形，做成一个长方体纸盒。该纸盒的容积是多少立方厘米(不考虑纸盒的厚度）练习 1：如图，有一块长 48 米，宽 38 厘米的长方形铁皮，在它的四个角分别减去边长为 厘米的正方形再焊接成一个长方体盒子那么这个盒子的容积是多少立方厘米(不考虑铁皮 的厚度)例2、小高去精品店买了三件礼物要送给爸爸、妈妈和爷爷。三件礼物都装在长 分米，宽 2 分米高 1 分米的礼盒里现在要将这三个礼盒包装在一起仍然是长方体)有几种包装的方 法?最少要多少平方米包装纸?

14、（不虑重叠部分)练习 2：一种长方体纸盒的长、宽、高分别是 5 厘米、4 厘米和 3 厘米。小玲要把 个这样 的长方体纸盒粘成一个大长方体，那么粘成的长方体的表面积最大是多少平方厘米第 10 页 共 页例3、已知一个正方体容器棱长是 20 厘米容器内的水面高度是 8 厘米现在将一个长方体 铁块沉入水中水面高度上升至 厘米如果铁块的长和宽分别是 厘米和 8 厘米那么这 个铁块的高是多少厘米？练习 3：一个正方体鱼缸的棱长是 2 分米，其中装了一部分水，现在往鱼缸中投入体积为 立方厘米的鹅卵石后鱼缸中的水面刚好到边缘没有溢出那么在放入鹅卵石之前水面的高 度是多少分米?例 4有两个无盖的长方体水箱甲

15、水箱里有水乙水箱空着从里面量甲水箱长 厘米， 宽 32 厘米，水面高 20 厘米；乙水箱长 厘米，宽 24 厘米，深 25 厘米。将甲水箱中部分水 倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？练习 4有两个水池甲水池长 8 分米宽 6 分米水深 3 分米乙水池空着它的长 6 分米、 宽和高都是 4 分米现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池使甲水池中水面是乙水池水面高 度的 2 倍。问甲水面高多少？例 5、有一个长方体容器，从里面量 5 分米、宽 4 米、高 6 分米，里面注有水，水深 3 分 米。如果把一块边长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？第 11 页 共 页练习 5

16、、有一个正方体容器，边长 24 厘米，里面注满了水。有一根 50 厘米，横截面 12 平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溢出多少立方厘米的水？例 6、在一个长方体容器内已经有一个长 厘米，宽 30 厘米，高 40 厘米的长方体铁块。现 在往这个容器内注水，已知这个容器的长、宽、高分别是 分米、10 分米、3 分米，那么需 要多少升水才能刚好将铁块淹没，并且没有水溢出练习 6、把一个长 米，宽 5 ，高 米的长方体水池注满水，然后把一根长 4 ，宽 米， 高 5 米的长方体铁柱立着放进水里，那么水池溢出的水的体积有多少升?例 7、有一个长方体容器（如下图长 30 厘米、宽 20

17、 厘米、 高 10 厘米，里面的水深 6 米。如果把这个容器盖紧，再朝 左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？练习 7、有两个长方体水缸，甲缸长 分米，宽和高都是 米；乙缸长 分米、宽 2 米， 里面的水深 1.5 分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？例8、观察下面的图形，回答问题：第 12 页 共 页已知水池内每个小正方体的大小形状完全相同，请回答： (1) 这个水池的容积是多少立方厘米？(2)小正方体的体积是多少立方厘米？(3)球体的体积是多少立方厘米？(4)水池内水的体积是多少立方厘米？练习 8、一个长方体盛水容器的长是 厘米，宽是 15 厘米，高是 20 厘米，容器内水面的

18、高 度是 12 厘米。现在将 1 个大玻璃球和 9 个大小形状都完全相同的小玻璃球放到这个容器中， 水面高度变为 18 厘米再把其中的 6 个小玻璃球从水中取出水面高度变为 厘米那么大 玻璃球的体积是多少立方厘米?每个小玻璃球的体积是多少立方厘米?【选讲】大、中、小三个正方体的水池，它们的内边长分别为 米、3 米、2 米。把两堆碎 石分别沉入中、小水池中，两个水池的水面分别升高 厘米和 11 厘米。如果将这两堆碎石都 沉入大水池中，那么大水池的水面将长高多少厘米？练习、在长 15 厘米、宽为 厘米的长方体水箱中有 10 厘米深的水。现在往水箱里放一个石 块，这时水平面的高度是 厘米。石块的体积

19、至少是多少？【综合精练】1有一张长 50 厘米宽 30 米的长方形硬纸片从四个角各剪去 边长为 5 厘米的小正方形，做成一个无盖的长方体纸盒。该纸盒的 容积是多少立方厘米？(不考虑纸盒的厚度)第 13 页 共 页2、一种长方体纸盒的长、宽、高分别是 6 厘米、4 厘米和 2 厘米。小玲要把 个这样的长方 体纸盒粘成一个大长方体，那么粘成的长方体的表面积最大是多少平方厘米？3、一种长方体铁盒的长、宽、高分别是 5 厘米、3 厘米和 1 厘米。乐乐要把 个这样的长方 体纸盒粘成一个大长方体，那么粘成的长方体的委面积最少是多少平方厘米4、一个长方体水槽的长、宽、高分别是 分米、8 分米、5 分米，水

20、槽内水面的高度是 3 分 米，现往水槽内投入一个铁块，铁块被完全浸没，如果水面上升到4 分米，那么这个铁块的体 积是多少立方分米？5、一个长方体的容器，长和宽都 10 厘米，里面装 3.1 升水，放入一个苹果后水面的高度 是 32 厘米(苹果被完全浸没)，这个苹果的体积是多少立方厘米？6、一个正方体的容器中放着一个铅球，铅球完全浸没在水中，现在的水面高度是 分米，从 水中将铅球拿出后水面下降了 分米已知正方体容器的棱长是 7 分米那么这个铅球的体 积是多少立方分米？7、一个金鱼缸的长 40 分米宽 10 分米水面的高度是 2 分米放入 10 块鹅卵石后水面的高 度变成 2.5 分米(鹅卵石全部

21、被完全浸没)，那么每块鹅卵石的平均体积是多少立方分米？第 14 页 共 页8、一个长 5 分米，宽 3 分米，高 2 分米的玻璃容器，水面的高度是 0.8 分米，现在向容器中 放入一个 1500 立方厘米的石头，并且这块石头可以被水完全浸没，现在水面的高度是多少分 米？9、有两个长方体水箱，甲水箱长 厘米，宽和高都是 20 厘米；乙水箱长 厘米，宽和高 都是 40 厘米。现在甲水箱里面装有一部分水，且水 15 厘米，乙水箱没有水，如果把甲水箱 的所有水全部倒入到乙水箱，那么乙水箱水深多少厘米？10、一个长 10 米，宽 5 厘米，高 4 米的长方体玻璃槽中装满了水，现在要把这些水倒入 长为 2

22、0 厘米，宽 2 厘米，高 7 厘米的水槽中，水面高多少厘米？11、有一个长方体水箱， 40 厘米、 30 厘米、 35 厘米，箱中水面高 10 厘米。放进一个 棱长 20 厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？12、一段钢材长 15 分米，横截面面积是 平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是 平方分米的钢筋，求这根据钢筋的长。13把 8 块边长是 1 分米的正方体铁块熔成一个大正方体这个大正方体的表面积是多少平方 分米？第 15 页 共 页14、有一个小金鱼缸， 4 分米、 3 分米、水 2 分米。把一块假山石浸入水中后，水面上 升 0.8 分米。这块假山石的体积是多少

23、立方分米？15、有一块边长 5 厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁后，水面下 降了 0.5 厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？16、有一块边长 2 分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一个 4 厘米、宽 2 厘米的长方形，求它的长。17、一个长方体，如果长减少 2 厘米，宽和高都不变，那么它的体积减少 立方厘米；如果 18宽增加 3 厘米长和高都不变那么它的体积增加 99 立方厘米如果高增加 4 厘米长、 宽都不变，那么它的体积增加 立方厘米。原长方体的表面积是多少？19一个长方体木块从下部和上部分别截去高为 厘米和 2 厘米的长方体后便成为

24、一个正 方体，其表面积减少了 120 方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？第 16 页 共 页长方体和正体 (四)一、知要点解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方 法仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外还必须知道把一个长方体或正方体 沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。二、精精练例1、一根长 6 米的长方体木棍，把它截成 3 段，表面积增加了 72 平方厘米，那么 根这样 的长方体木棍的体积之和是多少立方米?练习 1：如图，三根长度均为 1.6 米的长方体木棍粘合在一起，表面积减少了 平方厘米 那么粘合后的

25、长方体木棍的体积是多少立方米?一根长 5 米的长方体木棍，把它截成 3 段，表面积增加了 480 平方厘米，那么 根这样的 长方体木棍的体积之和是多少立方米？如图，两根长度均为 10 米的长方体木棍粘合在一起，表面积减少了 平方厘米，那么粘合 后的长方体木棍的体积是多少立方米？例 2、 一个棱长为 6 厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为 厘米的正方体若干块，表面 积增加多少厘米？练习 2：1.把 27 块棱长是 1 厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的 小正方体的表面积之和少多少平方厘米？第 17 页 共 页例 3、 一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增

26、加了 24 方厘米，这个正方体 木块原来的表面积是多少平方厘米？练习 3：把三个棱长都是 2 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？有一个正方体木块， 4 分米、 3 分米、高 6 分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多 增加多少平方分米？有三块完全一样的长方体积木，它们的长 8 厘米、 4 厘米、高 2 厘米，现把三块积木拱成 一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？例 4、一个长方体木块，从上面截去一段高为 厘米的小长方体，剩下一块正方体木块，正方 体木块比原长方体的表面积减少了 平方厘米，那么原来的长方体木块的体积是多少立方厘 米?练习 4：一个长方体木块从上面截去一段高为 5 厘米的小长方体剩下一块正方体木块正方体木块 比原长方体的表面积减少了 平方厘米，那么原来的长方体木块的体积是多少立方厘米?第 18 页 共 页将一个长方体的高减少 5cm就变成了正方体如右图)，正方体的表面积比原长方体的表面积 减少了 60 平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米例 5、 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中： （1）三个面涂有红色的有几个？（2）二个面涂有红色的有几个？（3）一个面涂有红色的有几个？（4）六个面都没有涂色的有几个？练习 5：把一个棱长是 5 厘米的正方体的六个