抛物线的焦点弦性质

1、抛物线的焦点弦性质第1页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三xOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2p第2页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三AXyOFBlA1M1B1M过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.故以AB为直径的圆与准线相切.第3页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px

2、(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。123456第4页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 证明：思路分析：韦达定理xOyABF第5页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三xOyABF第6页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三F过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1

3、,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90 。第7页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三代入抛物线得y2ms，练习 (1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设AB 的方程为=ms（m） (2). 若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点 (s,0)(s0)证明：lyy2=2pxAMxB第

4、8页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明: 思路分析|AB|=|AF|+|BF|= 思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短第9页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三xOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则第10页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三例2.过抛物线y2=2px(p0)的

5、焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.xyFABCO第11页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC准线l,垂足为C,则AC过原点O共线. (2001年高考题)xyFABCO第12页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， 1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； 2. 求证：直线AB过定点； 3.

6、 求弦AB中点P的轨迹方程； 4. 求AOB面积的最小值； 5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题第13页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， (1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；解答 (1)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，中点P(x0, y0)， OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.第14页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期

7、三例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB，(2) 求证：直线AB过定点；解答(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2) AB过定点T(2p, 0).第15页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三同理， 以代k得B(2pk2, -2pk) .例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， (3) 求弦AB中点P的轨迹方程； 即 y02 = px0-2p2， 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2(3)设OAy = kx，代入y2=2px 得: k 0， 第16页，共19页，20

8、22年，5月20日，14点2分，星期三(4)当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立. 例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB，(4)求AOB面积的最小值；第17页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三(5)法一：设M(x3, y3), 则 例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.由(1)知，y1y2=-4p2， 整理得：x32+y32 -2px3=0， 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0).第18页，共19页，2022年，5月20日，14点2分，星期三 M在以OT为直径的圆上 点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注：此类问题要