§4-4.1-任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2-单位圆与周期性

1、4 正弦函数和余弦函数的定义与 诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性 1.掌握正弦函数、余弦函数的定义.（重点）利用单位圆理解正弦函数与余弦函数都是周期函数,并知道它们的周期.(难点)3.知道周期函数的定义. （重点）思考：锐角三角函数是怎么定义的？对边邻边斜边即给定一个090的角（不包括0和90 ）就可以得到一个正弦函数值、余弦函数值与之对应.如图所示：1230由上一节引入的弧度的概念，我们可以将sin30写成 ，以后若不做特殊说明，角的单位均为弧度.P(u,v)xyOr 设锐角 的顶点与原点 重合,始边与 轴的非 负半轴重合.在 的终边上任取一点 ,它与原

2、点的距离探究一：锐角三角函数坐标化M在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆(1,0)OP(u,v)yMx当点P(u,v)就是 的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？由三角形相似知识可知,比值 与点P(u,v) 在终边上的位置无关,只与角 有关.任意角的三角函数定义xyOP(u,v)1如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么：1.v叫作的正弦函数， 记作sin，即sin=v； 2.u叫作的余弦函数， 记作cos，即cos=u.正、余弦函数都是三角函数.正弦、余弦函数是以实数为自变量的函数 角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）实数三角

3、函数定义域值域y=sinxR-1,1y=cosxR-1,1通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y=sinx和y=cosx,它们的定义域为全体实数，值域为-1,1.这与初中所学的锐角三角函数的定义是一致的.小结：根据三角函数的定义，研究三角函数的值在各个象限的符号.OxyOxy+_+_探究二：三角函数值的符号解：（1）如图，以原点为角的顶点，以 x轴非负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P， 即为所求作的角.例1 在直角坐标系的单位圆中，(1) 画出角；(2) 求出角的终边与单位圆的交点坐标；(3) 求出角的正弦函数值、余弦函数值.Oy

4、Mx1P例2 已知角 终边上一点P 求角 的正弦函数值、余弦函数值.解: 因为点P 在角 的终边上，所以 可知则sin = cos =010-1010-101 在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表 观察此表格中的数据,你能发现函数y = sinx和y = cosx的变化有什么特点吗？ 观察右图，在单位圆中，由任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到下列事实：终边相同的角的正弦函数值相等，即 ；终边相同的角的余弦值相等，即 .探究三：周期函数 上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加 的整数倍，其正弦函数值、余弦函

5、数值均不变.所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，称 为正弦函数、余弦函数的周期. 例如， 等都是它们的周期.其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期. 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x), 我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.注意： 1.T是非零常数. 2.任意xD都有x+T D ,T0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条

6、件. 3.任取xD ，就是取遍D 中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓住每一个x都满足f(x +T )=f(x)成立才行. 4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么2T 也是y=f(x)的周期. 例3 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示(1)求该函数的周期； (2)求t10 s时钟摆的高度 解:(1)由图像可知，该函数的周期T=1.5 s(2)设h=f(t),T=1.5 s,=f(1)=20，故t10 s时钟摆的高度为20 mmf(10)=f(1+61.5)1.已知角的终边经过 ，求的正弦函数值、余弦函数值解：xyOP2.确定下列三角函数值的符号:解:（1）因为250是第三象限角,所以cos2500.（2）因为3.函数f(x)=c(c为常数) , xR，问函数f(x)是不是周期函数，若是，有无最小正周期.答:是，无最小正周期.4.等式sin(30+120)=sin30是否成立？如果成立，能否说明120是正弦函数y=sinx,xR的一个周期？为什么？答:不是，因为不符合定义中的每一