多面体与欧拉公式

1、多面体与欧拉公式第1页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二問題：以下哪些是多面體？哪些是正多面體呢？第2页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二多面體與正多面體的定義多面體：由若干個多邊形圍成的封閉立體圖形。正多面體：每個面都有相同邊數的正多邊形，而每個頂點都有相同棱數的凸多面體。第3页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二究竟有多少個正多面體呢？第4页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二歐拉公式對簡單多面體而言，其頂點數(V)、 面數(F)及棱數(E)滿足以下公式：V + F E = 2第5页，共21页，2022年，

2、5月20日，14点23分，星期二例子：若一凸三十二面體的頂點數是60，求它的棱數。解： V=60, F=32代入 V+F-E=2，得： E = V+F-2 = 60+32-2 = 90該多面體的棱數是90。第6页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二例子：若一凸多面體的面全是三角形，證明 F=2V - 4。解：由於每塊面有3條邊，而每條邊是兩 塊相鄰面所共有，所以： E = 3F/2 .(*)引用歐拉公式 V+F-E=2，得： 2V+2F-2E=4把(*)代入，得： 2V+2F3F=4 2V- F =4 F= 2V 4。第7页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，

3、星期二m的意義m代表一個正多面體每塊面上的邊數正六面體m=4正四面體m=3第8页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二n的意義n代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4第9页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二想想看：mF = ?m代表一個正多面體每塊面上的邊數正六面體m=4正八面體m=3F=6F=8mF=24=2EE=12E=12mF=24=2E第10页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二想想看：nV = ?n代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4V=8V=6nV=24=2EE=12E=12n

4、V=24=2E第11页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二一般而言，對任意正多面體，有以下結果：mF = 2E 及 nV = 2E第12页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二一個幾何定理定理：正多面體只有五種第13页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二證明：正多面體只有五種假設m代表一正多面體每塊面上的邊數 n代表它的每個頂點上的邊數考慮以下公式：(1)(2)第14页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二將(1)、(2)式代入歐拉公式，得：(3)第15页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二第16页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二m-2n-21112132131mn3334353345第17页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二把不同的m, n值代回(1)、(2)、(3)，得：mnEF多面體名稱3364正四面體34128正八面體353020正二十面體43126正六面體533012正十二面體第18页，共21页，2022年，5月20日，14点23分，星期二結論正多面體只有以下五種：第19页，共21页，2022年，5月20日