八个有趣模型-搞定空间几何体的外接球与内切球教师版

1、八个有趣模型一一搞定空间几 何体的外接球与内切球（教师 版）八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球11一、有关定义 1球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集 合（轨迹）叫球面，简称球.11外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个 球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面 体，这个球是这个多面体的外接球.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的 球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体, 这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的 半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球 心，该平

2、面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的 平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的 I心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应 的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在 同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处， 即长方体的体对角线的中点是球心；圆圆结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方 体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂 直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言 之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）

3、构成的直角三角形的外接圆是大圆；圆圆结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连 一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的 对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的 外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上; 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该 三角形的外接圆直径是球的直径；结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角 形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与 直线切圆的结论有一致

4、性）.211内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球 心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形 的内切圆）211正多面体的内切球和外接球的球心重合.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一3.4.3.4.定重合.基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置 即可求出球半径）cCBacCaBcCBacCaB图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2 R )2 = a 2 + b 2 + C2, 即2R =云帛，求出R例1 (1)已知各顶

5、点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是(A.C24kDA.C24kD32兀 S = 24k，选 C (2)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，B 20k解:V = a 2 h = 16， a 二 2 9 4R 2 = a 2 + a 2 + h 2 = 4 + 4 +16 = 24则其外接球的表面积是解：4 R 2 = 3 + 3 + 则其外接球的表面积是解：4 R 2 = 3 + 3 + 3 = 9， S = 4kR 2 = 9 兀；在正三棱锥S - ABC中，M、N且AM丄MN，若侧棱SA = 2朽，则正三棱 锥S - ABC外接球的表面积 是分别是棱S

6、C、BC的中点,36兀解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直CB(3)题-1(引理)证明如下：如图(3)-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH 9 则H是底面正三角形ABC的中心，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH 9 则H是底面正三角形ABC的中心，. SH 丄 平面 ABC ，. SH 丄 AB ，AC 二 BC， AD = BD，:. CD 丄 AB，:. AB 丄平面 SCD 9:.AB丄SC，冋理：BC丄SA， AC丄SB，即正三 棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3） -2,AM 丄 MN 9 SB / MN9:.AM 丄

7、 SBAC 丄 SBSB 丄平面 SAC，C（3）题-2 （解答图）.SB 丄 SA9 SB 丄 SC SB 丄 SA BC 丄 SA9:.SA 丄平面 SBC，:. SA 丄 SC，故三棱锥S _ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，: （2R）2 二（2,3）2 + （2 2 + （2、2 二 36，即 4R2 = 36，.:正三棱锥 s - ABC 外接 球的表面积是3鼠4）在四面体 中，S ABCSA 丄平面ABCZBAC 二 120o, SA 二 AC 二 2, AB 二 1,则该四面体的外接球的表面积为（D ）SA丄平面ABC 9A.11TIB.7C.10 “3解在中，AABCBC2 =

8、 AC2 + AB2 - 2AB - BC - cos 120 = 7 D.40 “3的BC f 7 AABC 丿外接球直径为7二迈sin ZBAC*32r 二BC: (2R)2 二(2r)2 + SA2 二(兰1)2 + 4 二 40， S = 40，3335）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4 、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a,b,c(b Ra, b, c g R+)，则ab = 12 bc = 8 abc = 24/. a = 3 a,b,c(b Ra, b, c g R+)，则ab = 12 bc = 8 abc = 2

9、4/. a = 3 b = 4， c = 2 9(2 R )2 =a 2 + b 2 + c 2 = 29ac = 6S = 4兀R 2 = 29兀 9(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角 形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为解：(2 R )2 =a 2 + b 2 + c 2 = 3(6)题图V = 4 KR 3 = 4 K.痘吕， 球 3382CB(6)题直观图P类型二、对棱相等模型(补形为长方体) 题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等,求外接球半径(AB = CDAD= BCAC = BD第一步：画出一个长方体，标出三组Bxa为异面直线的对

10、棱；Bxa第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD = BC = x，AB = CD = y，AC = BD = z，列方程组，x2 + y 2 + z 2 b 2 + c 2 = y 2 = (2 R )2 = a 2 + b 2 + c 2 =补充：图2-1补充：图2-1中，V = abc - abcA-BCD6第三步：根据墙角模型,R =卜2 + y2第三步：根据墙角模型,R =卜2 + y2 + z2，求出RB题图(2)在三棱锥 a - bcd 中,ab = CD = 2，AD = BC = 3AC = BD = 4则三棱锥A_ bcd外接球的表面积为. 29兀Ix 2 + y

11、 2 + z 2,2 R = a 2 + b 2 + c 2 =8 8思考：如何求棱长为的正四面体体积，如何求其外接球a体积？例2 ( 1 )如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB = CD = 5,AC = BD = 6,AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积 为解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分另U为 a,b,c，2(a2 + b2 + c2) = 25 + 36 + 49 = 110，a2 + b2 + c2 = 55，4R2 = 55，S = 55“解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2 +b2 =9，b2

12、+ c2 = 4，c2 + a2 = 16 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29 9 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29 9a 2 + b 2 + c 2 =竺，4 R 2 =竺，S =竺“2 2 2（3）正四面体的各条棱长都为込,则该正面体外接球的 体积为（3）解答题解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，2r = R =竺，V = 4三=2382（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为”。，第三步：勾股定理

13、:0A2 第三步：勾股定理:0A2 = 0 A2 + 0 02 n R2 = ()2 + r2 n R =面积是 类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）,图3-3,直三棱柱内接于球（同 时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三 角形）第一步：确定球心O的位置，0是WC的外心，则00丄平亠 1 1 面 ABC ；第二步：算出小圆o的半径A。= r，00 = 1AA =丄h （ AA = h也是ii1212i圆柱的高）； 解出 R例 3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ,底面周长为3 ,则8这个球的体积

14、为解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为h，底面外接 圆的半径为r，则a 1，2正六棱柱的底面积为s = 6亘（1）2二迈，V二Sh二428 柱4 R 2 = 4 R 2 = 12 + (、.：3)2 = 4 也可 R2 = ()2 + (2)2 = 1 )直三棱柱4兀；丁的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等R二1，球的体积为y球ABC - ABC1 1 1AB 二 AC 二 AA 二 2 9 ABAC 二 120。1于(3)题(3)题解：BC = 2*3，2r = -I = 4， r = 2， R =、5，sin120S = 25 ；已知魯占所在的平面与矩形人占。 所在的平面互相垂直，

15、EA = EB = 3, AD = 2,ZAEB = 60。，则多面体E- ABCD的外接球的表面积 为法一法二魯B的外接圆半径为r=朽OO1 =R 法一法二魯B的外接圆半径为r=朽OO1 =R = 丫1 + 3 = 2 9OM =3， r = O D =空，1 2 2 2 2法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为 立式，算法可同上，略换一种方式，通过算圆柱的轴 截面的对角线长来求球的直径：巒=(2、 + 22 = 16，S表 = 16”； 表(4)在直三棱柱abc_abc中，ab = 4,人。=.a丄,aa = 4，则直160兀3160兀3三棱柱ABC_ABC的外接球的表面积为1

16、1 1解：法 :BC 2 = 16 + 36 - 2 - 4 - 6 丄=28，BC 二 2订，2r 二 二 ， r 二2羽 爲 J32门/AA、 28, 40，口 160R2 = r2 + ( 1)2 = + 4 =S = 兀；233 表 3法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型(两个大小圆面互相垂直且交于小圆 直径一一正弦定理求大圆直径是通法)图4-1 图4-21如图4-1,平面pac丄平面abJ且ab丄直。(即人。为小圆 的直径)，且卩的射影是AABC的外心。三棱锥p_ abc的三条 侧棱相等。三棱p _ ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点

17、P点 也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心0，则P,O,O三11点共线；第二步:先算出小圆0的半径A0 = r，再算出棱锥的高P0 = h1 1 1(也是圆锥的高)；第三步：勾股定理:0A2 = OA2 + 0 02 = R2 = (h-R)2 + r2，解出 R ；1 1事实上，AACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可 求解出R.2如图4-2,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即ac为小 的直径)，且PA丄AC，贝y 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 二 PA2 + (2r)2 o 2R = PA2 + (2r)2 1R2 = r2 +

18、002 o R =、：r2 + 00 2.1I1 .亠3 如图4-3,平面pac丄平面abc，且AB丄BC (即AC为小圆 的直径)0C2 = 0 C2 + 0 02 o R2 = r2 + 0 02 o AC = 2.：R2 0 02iii、i4题设：如图4-4,平面pac丄平面abc，且AB丄BC (即AC 为小圆的直径)第一步：易知球心0必是ApAC的外心，即ApAC的外接圆是 大圆，先求出小圆的直径AC = 2r ；第二步：在“航中，可根据正弦定理丄=丄=丄=2R，求sin A sin B sin C出 R .例 4 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为厂底面边长为2朽，

19、则该球的表面积为解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径；法二:找球心联合勾股定理，2R 二 7 S = 4兀R 2 = 49兀（2）正四棱锥S_AB。的底面边长和各侧棱长都为込，各顶点都在同一球面上，则此球体积为解：方法一：找球心的位置，易知r“，h = , h =，故球 心在正方形的中心ABCD处，r = ，v上3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是asac的外 接圆，此处特殊，RtAsAc的斜边是球半径，2r = 2，R = 1，V上-3（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上， 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正 三棱锥的体积是（） TOC o 1-5 h z A

20、. 3/3B.亘C.亘D.亘43412解：高 =R =，底面外接圆的半径为R = 1，直径为2R = 2， 设底面边长为a，则2r = a = 2， a =再，S =亘a2 =迺，三棱sin 60。44锥的体积为V = 1 Sh =週；34在三棱锥p _ ABC中，PA = PB = PC3，侧棱PA与底面ABC所 成的角为60。，则该三棱锥外接球的体积为（）AB. “C4解：选D,由线面角的知识，得BC的顶点ABC在以旦 2为半径的圆上，在圆锥中求解，R=1;（5）已知三棱锥s_abc的所有顶点都在球的求面 上,Bc是边长为的正三角形，SC为球的直径，且 SC = 2，则此棱锥的体积为（）A

21、AJ2BAJ266解：oo=i-（込2 = 6， h二込，g显sh = -竺兰661333球 33 43类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1 题设：如图5, PA丄平面ABC，求外接球半径.解题步骤：第一步:将MBC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点, 作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心 ； 第二步：为沁的外心，所以。丄平面abc，算出小圆。1 1 1的半径D = r （三角形的外接圆直径算法：利用1正弦定理，得丄亠亠=2r ）， =丄PA ；sin A sin B sin C12第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： (2R)2 二 PA2 + (2r)2 o 2R

22、= yPA + (2r)2 1 ，-.R2 二 r2 + 002 o R = ，: r2 + 00 21 12题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射 影是AABC的外心o三棱锥P - ABC的 三条侧棱相等。三棱锥p_ ABC的底面AABC在圆 锥的底上，顶点P点也是圆锥的 顶点.1图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心0，则P O O三点共线；第二步:先算出小圆O的半径AO = r，再算出棱锥的高PO = h1 1 1 （也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：OA2 二 OA2 + 0 02 n R2 二（h-R）2 + r2，解出 r1 1方法二：小

23、圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直 径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接 球的表面积为（）CA. 3”B.2正视图2侧视图D以上都不对B.2正视图2侧视图俯视图解：选C,16兀16兀3（、3 - R）2 +1 二 R2,法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线 上，故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是 2R = = 土，下略；sin 603第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形 折叠（如图6）图6图6第一步：先画出如图6所示的图形，将mcd画在小圆上, 找出ABCD和AA，BD的外心H和H ；1

24、2第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两1 2垂线的交点即为球心O，连接oe,OC ；第三步：解aoeH，算出OH，在RtAOCH中，勾股定理：1 1 1OH 2 + CH 2 二 OC 211注：易知0,H ,E,H四点共面且四点共圆，证略解：如图，P题” 2 O 厂*H 、例6(D三棱锥p - abc 中平面pac丄平 面ABC仏PAC和 ABC均为边长为2 的正三角形，则三棱锥p 解：如图，P题” 2 O 厂*H 、 TOC o 1-5 h z 2r = 2r =12sin 60。31 ，R 2 = OH 2 + r 2 =+=法二:213法二:OH =丄，OH =丄，A

25、H = 1，2 .再 13R2=AO2=AH2+O1H2+O1O2h R4兀CBS表二4兀(2)在直角梯形ABCD 中，AB/CD， ZA = 90。， ZC = 45。，AB = AD = 1， 沿对角线bd折成四面体A，-BCD，使平面A，BD丄平面BCD， 若四面体A， 4兀CBS表二4兀解：如图，易知球心在BC的中点处,S - ABCS - ABC 中，AB 丄 BC，AB = BC = 2，二面角 s AC - B的余弦值为三,则四面体S ABC的外接球表面积为解：如图，法一：cos 解：如图，法一：cos 二讹+2 一爭Sin ZOO2 寸Icos ZOO O =，i 23“ OO

26、 OO = 121 “ OO OO = 121 cos ZOO O1 2法二：延长B。到D使七 R 2=1 + 2 = 2 S = 4 欣2 = 6兀DO = BO = r，由余弦定理得SB *6，1 1 1 1SD二迈，大圆直径为2R = SB二拓；28兀题图在边长为2打的菱形ABCD中，ZBAD = 60。，沿对角线BD折 成二面角A_BD_C为12。的四面体ABCD，则此四面体的外接 球表面积为28兀题图解：如图，取BD的中点M , AABD和acbd的外接圆半径为 r = r = 2，AABD和ACBD的外心O ,O到弦BD的距离（弦心距）为 1 2 1 2d = d = 1，法一：四

27、边形oomO的外接圆直径OM = 2，R仝，S = 28”- 1 2法 : OO =厲，法一：四边形oomO的外接圆直径OM = 2，R仝，S = 28”- 1 2法 : OO =厲，R = 47 ；1 法三:作岀ACBD的外接圆直径CE，则AM = CM = 3,CE = 4 ME = 19AE 仝AC = 3、宁cos ZAEC = 7 + 16T 2727 -4L，sin ZAEC =冬I，2R =AC = 一2 亍72、门sin ZAEC 3它3在四棱abcd 中，ZBDA = 120。，ZBDC = 150。，AD = BD = 2，CD =、込， 二面角A-BD-C的平面角的大小为

28、120。，则此四面体的外接 球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，C题解答图-1弦心距OM =、3,21题解答图-2AB 二曲 r2 = 2,r = J3，弦心距OM = 2爲，1 1OO =421，OM = 12 = 2*7，r 29 91 2r 29 9:.R2 = OD2 = MD2 + OM 2 = 29 9法 二 ：，OO 2 = OM 2 - OM 2 = 25 R2 = OD2 = r2 + OO2 = 29 R = J29，2 2.二 11.球 3类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作 矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型CA题设：如图7,

29、Zapb = Zacb = 90，求三棱锥p-abc（分析：取公共的斜边的中点O，连接OP,OC，则OA = OB = OC = OP = 1 AB，. O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后在 2OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都 为定值.例7（1）在矩形abcd中，AB = 4，成一个直二面角B - AC - D，体积为（A空兀12外接球半径BC = 3，沿ac将矩形abcd折 则四面体abcd的外接球的B.125兀9C 125兀6D电3解：（1）2 R 二 AC = 5（2）在矩形R = 5，2中，ABcDABV =

30、4 KR 3 = 4 K-空=空，选 C33862，BC二3，沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC，所得三棱锥a_ bcd的外接球的表面积 为解：BD的中点是球心o， 2 R二BD二13 , S = 4兀R2 = 13兀.第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1 题设：如图8-1,三棱锥P_ABC上正 三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截面图,e,h分 别是两个三角形的外心；第二步：B 图8-1EA丄j*-C第二步:求 DH _1 BD， PO _ PH - r， PD 疋侧面 AABP 的高;3相似于APDH，建立等式：由APOE解出rOE _ PO，DHPD2题设

31、：如图8-2,四棱锥P_ABC是正 求其内切球的半径四棱锥，第一步:第二步: r 第三步:先现岀内切球的截面图，P, O, H三点共线; 求 FH _ 1BC， PO _ PH - r， PF 是侧面 APCD 的高;2由APOG相似于APFH，建立等式OG _ PO， HF_PF解出3 题设：三棱锥P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三 棱锥的体积之和相等第一步：先画岀四个表面的面积和整个锥体体积;第二步：设内切球的半径为r,建立等式:V 二 V + V + V + V nP - ABCO - ABCO - PAB O - PACO -

32、 PBCV =1S - r +1S - r +1S - r +1S - r = 1( S + S + S + S ) - rP - ABC 3 ABC3 PAB 3 PAC3 PBC 3AABCAPABPACAPBC第三步：解出3Vr 二P ABCS + S + S + SO-ABC O-PABO-PACO - PBC(1)棱长为的正四面体的内切球表面积是a解：设正四面体内切球的半径为r，将正四面体放入棱长为命的正方体中(即补形为正方如图，则V 二1VP - ABC 3 正方体1 a 3a 3 ,3 Tj2&j2V 二 4丄Sr 二 4丄 r = 3如P - ABC33 43(1题.理2r二_aL， r =亠，.内切球的表面积为s = 4兀厂2 =竺 3 6J1 2詣 .表 6还有别的方法，此略)(注:(2)正四棱锥$-ABCD的底面边长为2，侧棱长为3,贝康内切球的半径为1 + 2迈解：如图，正四棱锥S - ABCD的高h仝，正四棱锥S - ABCD的体积 为V 疸S-ABCD 3侧面斜高h 2迈，正四棱锥s - ABCD的表面积为1正四棱锥S - AB