空间统计分析方法

1、第5讲 空间统计分析授课人：王 杰Email: wangjie09安徽大学 资源与环境工程学院地理信息系统科研方法课程本讲内容探索性空间统计分析地统计分析方法 空间统计分析,即空间数据（spatial data）的统计分析，是现代计量地理学中一个快速发展的方向和领域。空间统计分析，其核心就是认识与地理位置相关的数据间的空间依赖、空间关联或空间自相关，通过空间位置建立数据间的统计关系。空间统计分析的任务，就是运用有关统计方法，建立空间统计模型，从凌乱的数据中挖掘空间自相关与空间变异规律。 空间统计分析空间数据分析与传统统计分析主要有两大差异：(1)空间数据间并非独立，而是在维空间中具有某种空间相

2、关性，且在不同的空间分辨率下呈现不同之相关程度；(2)地球只有一个，大多数空间问题仅有一组（空间分布不规则的）观测值，而无重复观测数据。因此，空间现象的了解与描述是极为复杂的，而传统方法，尤其是建立在独立样本上的统计方法，不适合分析空间数据。空间统计 VS. 经典统计经典统计：独立性、随机性假设空间统计：自相关、依赖性、异质性地理学第一定律（FLG）: everything is related to everything else, but near things are more related than distant things (Tobler,1970).空间统计的基本思想：Wal

3、do Tobler（born in 1930） receiving a plaque for his contributions to geography. On the event of his November 2000 birthday. /wiki/Waldo_R._Tobler Tobler, W. R. (1970). A computer movie simulating urban growth in the Detroit region. Economic Geography, 46(2): 234-240.FLG的一般性: 自然地理、人文地理、社会经济空间自相关是普遍存在的

4、，否则地理分析便没有多大意义。 经典统计：独立 空间自相关的存在，使得经典统计学所要求的样本独立性假设不满足。如果地理学从根本上值得研究，必然是因为地理现象在空间上的变化不是随机的。 经典统计：随机可以借助空间统计更好地理解地理现象。 或许学习空间统计最重要的原因是我们不仅仅想知道问题“怎么样”，更想知道“哪里怎么样” 空间统计学可以帮助我们准确地判断具体地理模式的原因。 John Snow的霍乱地图 当发现某种病仅仅发生在靠近河流的村庄时，河流中的寄生物可能是病源。空间统计学可以帮助我们处理大的复杂数据集, 这是GIS经常面对的事情。为什么要用空间统计霍乱病死者居住分布图(John Snow

5、, 1854)1854年8月到9月英国伦敦霍乱流行时，当局始终找不到发病的原因，后来医生约翰斯诺(John Snow) 参与调查。他在绘有霍乱流行地区所有道路、房屋、饮用水机井等内容的1：6500比例尺地图上，标出了每个霍乱病死者的居住位置，得到了霍乱病死者居住分布图。一. 探索性空间统计分析 基本原理与方法 应用实例 探索性空间数据分析(ESDA)ESDA是指利用统计学原理和图形图表相结合对空间信息的性质进行分析、鉴别，用以引导确定性模型的结构和解法。 ESDA与EDA区别在于它考虑了数据的空间特性，在方法上它将数据分解为一般趋势和叠加于其上的局部变化两部分。然后用一定的数学函数去拟合由样本

6、点产生的经验变率函数，进行诸如克立格内插等空间操作。 通常定义一个二元对称空间权重矩阵W，来表达n个位置的空间区域的邻近关系，其形式如下式中：Wij表示区域i与j的临近关系，它可以根据邻接标准或距离标准来度量。 1. 基本原理与方法 （一）空间权重矩阵 简单的二进制邻接矩阵 基于距离的二进制空间权重矩阵 两种最常用的确定空间权重矩阵的规则 （二）全局空间自相关 Moran指数反映的是空间邻接或空间邻近的区域单元属性值的相似程度。 Geary 系数与Moran指数存在负相关关系。 Patrick A.P.Moran （1917-1988） Moran指数和Geary系数是两个用来度量空间自相关的

7、全局指标。 全局空间自相关概括了在一个总的空间范围内空间依赖的程度。 如果是位置（区域）的观测值，则该变量的全局Moran指数I，用如下公式计算 式中： I 为Moran指数； ；。 Geary 系数C计算公式如下 式中：C为Geary系数；其他变量同上式。 如果引入记号 则全局Moran指数I的计算公式也可以进一步写成 Moran指数I的取值一般在-1，1之间,小于0表示负相关，等于0表示不相关，大于0表示正相关； Geary系数C的取值一般在0，2之间，大于1表示负相关，等于1表示不相关，而小于1表示正相关。 （三）局部空间自相关 描述一个空间单元与其领域的相似程度，能够表示每个局部单元服

8、从全局总趋势的程度（包括方向和量级），反映了空间异质性，说明空间依赖是如何随位置变化的。 局部空间自相关分析方法包括3种: 空间联系的局部指标(LISA)； G统计量； Moran散点图空间联系的局部指标(LISA) 空间联系的局部指标（local indicators of spatial association ，缩写为LISA）满足下列两个条件： （1）每个区域单元的LISA，是描述该区域单元周围显著的相似值区域单元之间空间集聚程度的指标； （2）所有区域单元LISA的总和与全局的空间联系指标成比例。 LISA包括局部Moran指数（local Moran index）和局部Geary指

9、数（local Geary index），下面重点介绍和讨论局部Moran指数。局部Moran指数被定义为可进一步写成 式中： 和 是经过标准差标准化的观测值。局部Moran指数检验的标准化统计量为 G统计量 全局G统计量的计算公式为对每一个区域单元的统计量为 探测区域单元是属于高值集聚还是低值集聚的空间分布模式. 对统计量的检验与局部Moran指数相似，其检验值为 显著的正值表示在该区域单元周围，高观测值的区域单元趋于空间集聚，而显著的负值表示低观测值的区域单元趋于空间集聚,与Moran指数只能发现相似值(正关联)或非相似性观测值(负关联)的空间集聚模式相比，具有能够探测出区域单元属于高值集

10、聚还是低值集聚的空间分布模式。 Moran散点图 以（Wz，z）为坐标点的Moran散点图，常来研究局部的空间不稳定性，它对空间滞后因子Wz和z数据对进行了可视化的二维图示。 全局Moran指数，可以看作是Wz对于z的线性回归系数，对界外值以及对Moran指数具有强烈影响的区域单元，可通过标准回归来诊断出。 由于数据对（Wz，z）经过了标准化，因此界外值可易由2sigma规则可视化地识别出来。 Moran散点图的4个象限，分别对应于区域单元与其邻居之间4种类型的局部空间联系形式： 第1象限代表了高观测值的区域单元被高值的区域所包围的空间联系形式； 第2象限代表了低观测值的区域单元被高值的区域所

11、包围的空间联系形式； 第3象限代表了低观测值的区域单元被低值的区域所包围的空间联系形式； 第4象限代表了高观测值的区域单元被低值的区域所包围的空间联系形式。2. 应用实例 中国大陆30个省级行政区人均GDP的空间关联分析。根据各省（直辖市、自治区）之间的邻接关系，采用二进制邻接权重矩阵，选取各省（直辖市、自治区）19982002年人均GDP的自然对数，依照公式计算全局Moran指数I，计算其检验的标准化统计量Z（I），结果如下表所示。年份IZP19980.50014.503 50.000 019990.506 94.555 10.000 020000.511 24.597 80.000 020

12、010.505 94.553 20.000 020020.501 34.532 60.000 0 从表中可以看出，在19982002年期间，中国大陆30个省级行政区人均GDP的全局Moran指数均为正值；在正态分布假设之上，对Moran指数检验的结果也高度显著。这就是说，在19982002年期间，中国大陆30个省级行政区人均GDP存在着显著的、正的空间自相关，也就是说各省级行政区人均GDP水平的空间分布表现出相似值之间的空间集聚，其空间联系的特征是：较高人均GDP水平的省级行政区相对地趋于和较高人均GDP水平的省级行政区相邻，或者较低人均GDP水平的省级行政区相对地趋于和较低人均GDP水平的省

13、级行政区相邻。 选取2001年我国30个省级行政区人均GDP数据，计算局部Gi统计量和局部Gi统计量的检验值Z(Gi)，并绘制统计地图如下。 检验结果表明，贵州、四川、云南西部3省的Z值在0.05的显著性水平下显著，重庆的Z值在0.1的显著性水平下显著，该4省市在空间上相连成片分布，而且从统计学意义上来说，与该区域相邻的省区，其人均GDP趋于为同样是人均GDP低值的省区所包围。由此形成人均GDP低值与低值的空间集聚，据此可认识到西部落后省区趋于空间集聚的分布特征。 东部的江苏、上海、浙江三省市的Z值在0.05的显著性水平下显著，天津的Z值在0.1的显著性水平下显著。而东部上海、江浙等发达省市趋

14、于为一些相邻经济发展水平相对较高的省份所包围，东部发达地区的空间集聚分布特征也显现出来。 以（Wz,z）为坐标，进一步绘制Moran散点图 可以发现，多数省（直辖市、自治区）位于第1和第3象限内，为正的空间联系，属于低低集聚和高高集聚类型，而且位于第3象限内的低低集聚类型的省（直辖市、自治区）比位于第1象限内的高高集聚类型的省（直辖市、自治区）更多一些。 上图进一步显示了30个省级行政区人均GDP局部集聚的空间结构。可以看出，从人均GDP水平相对地来看： 高值被高值包围的高高集聚省（直辖市）有：北京、天津、河南、安徽、湖北、江西、海南、广东、福建、浙江、山东、上海、江苏； 低值被低值包围的低低

15、集聚省（自治区）有：黑龙江、内蒙古、新疆、吉林、甘肃、山西、陕西、青海、西藏、四川、云南、辽宁、贵州； 被低值包围的高值省（直辖市）有：重庆、广西、河北；被高值包围的低值省份只有湖南。1978、1990、2001、2007年全国各省市人均GDP的LISA显著水平图二、地统计分析方法地统计方法的基本原理 应用实例 地统计学(Geostatistics), 又称地质统计学，是法国著名统计学家G.Matheron在大量理论研究基础上提出的。地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究那些在空间分布上既有随机性又有结构性，或空间相关和依赖性，或空间格局与变异，并对这些数据进行最优无偏内

16、插估计，或模拟这些数据的离散性、波动性。协方差函数和变异函数是以区域化变量理论为基础建立起来的地统计学的两个最基本的函数。地统计学的主要方法之一，克立格法就是建立在变异函数理论和结构分析基础之上的。 当一个变量呈现为空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量常常反映某种空间现象的特征，用区域化变量来描述的现象称之为区域化现象。 区域化变量，亦称区域化随机变量，G. Matheron（1963）将它定义为以空间点x的三个直角坐标为自变量的随机场 区域化变量具有两个最显著，而且也是最重要的特征，即随机性和结构性。1. 地统计方法的基本原理 （一）区域化变量 区域化变量的功能：由于区域化变量是一种随机

17、函数，因而能同时反映空间变量的结构性和随机性。一方面，当空间点 x 固定后，Z(x)就是一个随机变量，这体现了其随机性。另一方面，在空间两个不同点 x 与 x+h 处的区域化变量值具有某种程度的相关性，这体现了其结构性。区域化变量的组成部分 数据点结构性 可以用均值和常数趋势表示空间相关 数据通常呈现正空间相关性 随机性 测量误差，其他误差 distance elevation结构性随机性实际值（二）协方差函数 协方差函数的概念 区域化随机变量之间的差异，可以用空间协方差来表示。 在概率论中,随机向量X与Y的协方差被定义为 区域化变量 在空间点x和x+h处的两个随机变量和的二阶混合中心矩定义为

18、Z(x)的自协方差函数，即（4.2.2）(4.2.1)协方差函数的计算公式 式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后； 为 在空间位置 处的实测值； 是 在 处距离偏离h的实测值i=1，2， ， 是分隔距离为h时的样本点对（paris）总数， 和 分别为 和 的样本平均数,即 (4.2.3)(4.2.4)(4.2.5) 若 = =m（常数），则上式可以改写为 式中：m为样本平均数，可由一般算术平均数公式求得，即 (4.2.6)（三）变异函数 变异函数的概念 变异函数(variograms)，又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有的基本工具。 在一维条件下变异函数定义为，当空间点x在一维x轴上

19、变化时，区域化变量Z(x)在点x和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的一半为区域化变量Z(x)在x轴方向上的变异函数，记为(h)，即 (4.2.7) 在二阶平稳假设条件下，对任意的h有 因此，公式可以改写为 从上式可知，变异函数依赖于两个自变量 x和h，当变异函数 仅仅依赖于距离h而与位置x无关时， 可改写成 ，即 (4.2.9)(4.2.8)变异函数的性质 设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳假设条件下，变异函数式具有如下性质： (1) =0，即在h=0处，变异函数为0； (2) = ，即 关于直线h=0是对称的，它是一个偶函数； (3) 0，即 只能大于或等于0；变异函数的计算公

20、式 设 是系统某属性Z在空间位置x处的值， 为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离， 和 分别是区域化变量 在空间位置 和 处的实测值i=1,2,N(h)，那么，变异函数 的离散计算公式为(4.2.10) 这样对不同的空间分隔距离h，计算出相应的 和 值。如果分别以h为横坐标， 或 为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲线图，就可以直接展示区域化变量Z(x)的空间变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化变量的随机性和结构性，从而在数学上对区域化变量进行严格分析，是空间变异规律分析和空间结构分析的有效工具。例如：假设某地区降水量Z(x)（单位：mm）是二维区域化随机变量，

21、满足二阶平稳假设，其观测值的空间正方形网格数据如图4.2.1所示（点与点之间的距离为h=1 km）。试计算其南北方向及西北和东南方向的变异函数。图4.2.1 空间正方形网格数据（点间距h=1 km） 从图4.2.1可以看出，空间上有些点，由于某种原因没有采集到。如果没有缺失值，可直接对正方形网格数据结构计算变异函数；在有缺失值的情况下，也可以计算变异函数。只要“跳过”缺失点位置即可（图4.2.2）。图4.2.2 缺失值情况下样本数对的组成和计算过程为缺失值 图1 空间正方形网格数据（点间距h=1km） 图2 空间正方形网格数据（点间距h=2km） 首先计算南北方向上的变异函数值，由变异函数的计

22、算公式可得 =385/72=5.35 图4.2.2 缺失值情况下样本数对的组成和计算过程为缺失值 同样计算出 最后，得到南北方向和西北东南方向上的变异函数计算结果见下表。同样可以计算东西方向上的变异函数。 方向 南北 方向 西北东南 h12345h1.412.824.245.657.07N(h) 36 27 21 13 5 N(h) 322113825.359.2617.5525.6922.907.0612.9530.8558.1350.00变异函数的参数 变异函数有4个非常重要的参数，即基台值（sill）、变程（range）或称空间依赖范围（range of spatial dependen

23、ce）、块金值（nugget）或称区域不连续性值（localized discontinuity）和分维数（fractal dimension）。 前3个参数可以直接从变异函数图中得到。它们决定变异函数的形状与结构。 变异函数的形状反映自然现象空间分布结构或空间相关的类型，同时还能给出这种空间相关的范围。 当变异函数随着间隔距离h的增大，从非零值达到一个相对稳定的常数时，该常数称为基台值C0+C。 当间隔距离h=0时，(0)= C0，该值称为块金值或块金方差（nugget variance）。 基台值是系统或系统属性中最大的变异，变异函数达到基台值时的间隔距离a称为变程。变程表示在ha以后，区

24、域化变量Z(x)空间相关性消失。 第4个参数，即分维数用于表示变异函数的特性，由变异函数 和间隔距离h之间的关系确定 其中，分维数D为双对数直线回归方程中的斜率，它是一个无量纲数。分维数D的大小，表示变异函数曲线的曲率，可以作为随机变异的量度。理论变异函数模型实践中，常用的是变异函数图：偏基台值:C(partial sill)块金值:C0(nugget)变程: a(range)h基台值(sill)not related anymore变程范围内才有结构性变化（有规律的变化）反映随机性大小：主要来源于区域化变量Z(x)在小于抽样尺度h时所具有的内部变异；另外还有抽样分析误差。变异函数是一个单调不

25、减函数。当h超过某一个范围，例如变程，变异函数不再增大，而是趋于一个极限值，即为基台值。实际上等于区域化变量的先验方差。即，即基台值与块金值之差，表示数据中存在空间相关性引起的方差变化范围。变异函数的理论模型 地统计学将变异函数理论模型分为3大类： 第1类是有基台值模型，包括球状模型、指数模型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金效应模型； 第2类是无基台值模型，包括幂函数模型、线性无基台值模型、抛物线模型； 第3类是孔穴效应模型。 下面有代表性地介绍几种常见的变异函数理论模型。 纯块金效应模型:其一般公式为 式中：c00，为先验方差。该模型相当于区域化变量为随机分布，样本点间的协方差函数对于所

26、有距离h均等于0，变量的空间相关不存在。 (4.2.11) 球状模型:其一般公式为 式中：c0为块金（效应）常数;c为拱高;c0+c为基台值;a为变程。当c0=0，c=1时，称为标准球状模型。球状模型是地统计分析中应用最广泛的理论模型，许多区域化变量的理论模型都可以用该模型去拟合。 (4.2.12) 指数模型:其一般公式为 式中：c0和c意义与前相同，但a不是变程。当h=3时， ，即 ，从而指数模型的变程 约为 约为3a。当c0=0，c=1时，称为标准指数模型。(4.2.13) 高斯模型:其一般公式为 式中：c0和c意义与前相同，a也不是变程。当 时， ，即 ，因此高斯模型的变程 约为 。当

27、时，称为标准高斯函数模型。(4.2.14)幂函数模型:其一般公式为 式中：为幂指数。当变化时，这种模型可以反映在原点附近的各种性状。但是必须小于2，若 ，则函数 就不再是一个条件非负定函数了，也就是说它已经不能成为变异函数了。 (4.2.15) 对数模型:其一般公式为 显然，当 ，这与变异函数的性质 不符 。因此，对数模型不能描述点支撑上的区域化变量的结构。(4.2.16) 线性有基台值模型:其一般公式为 式中:该模型的变程为a，基台值为 。 线性无基台值模型:其一般公式为 从式中可以看出，该模型没有基台值，也没有变程。 (4.2.18)(4.2.17)例如:某地区降水量是一个区域化变量，其变

28、异函数 的实测值及距离h的关系见下表，下面我们试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。实测值(h)距离h实测值(h)距离h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.58.83.812.49.8 从上面的介绍和讨论，我们知道，球状变异函数的一般形式为 当 时，有 如果记 ，则可以得到线性模型 根据表中的数据，对上式进行最小二乘拟合，得到 (4.2.20) 计算可知，上式的显著性检验参数F=114.054，R2=0.962，可见模型的拟合效果是很好的。(4.2.19) 比较(4.2.20)式与(4.2.19)式，并

29、做简单计算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球状变异函数模型为(4.2.21) (四)克立格插值方法 克立格（Kriging）插值法，又称空间局部估计或空间局部插值法。它建立在变异函数理论及结构分析基础之上的，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏最优估计的一种方法。 克立格法适用的条件是，如果变异函数和相关分析的结果表明区域化变量存在空间相关性。 其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未采样点的区域化变量的取值进行线性无偏、最优估计。具体来说，它是根据待估样点(或待估块段)有限邻域内若干已测定的样点数据，在认真考虑样点的形状、大小和空间相互位置关

30、系，它们与待估样点相互空间位置关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对该待估样点值进行的一种线性无偏最优估计。 克立格插值（kriging interpolation)是根据变异函数模型而发展起来的一系列地统计的空间插值方法，包括： 普通克立格法（ordinary kriging）; 泛克立格法（universal kriging）; 指示克立格法（indicator kriging）; 析取克立格法（disjunctive kriging）; 协同克立格法（cokriging）等。 下面仅对普通克立格法作一些简单介绍。 首先假设区域化变量 满足二阶平稳假设和本征假设，其数学期望为m，协方差函

31、数 及变异函数 存在。即 假设在待估计点（x）的临域内共有n个实测点，即x1，x2，xn，其样本值为 。那么，普通克里格法的插值公式为 (4.2.22) 其中 为权重系数，表示各空间样本点 处的观测值 对估计值 的贡献程度。 可见，克立格插值的关键就是计算权重系数 。显然，权重系数的求取必须满足两个条件： 一是使 的估计是无偏的，即偏差的数学期望为零； 二是最优的，即使估计值 和实际值 之差的平方和最小。 为此，需要满足以下两个条件： (1)无偏性。要使 成为 的无偏估计量，即 。 当 时，也就是当 时，则有 这时， 为 的无偏估计量。 （2）最优性。在满足无偏性条件下，估计方差为(4.2.23)2. 应用实例 年降水量和蒸发量，既服从地带性规律，同时又受随机性因素的影响，因此它们是典型的区域化变量。我们以甘肃省53个气象台站多年平均降水量和蒸发量数据为实测值，拟合了年降水量和蒸发量的半变异函数理论模型，并采用普通克立格法和双变量协同克里格法，做了空间插值计算，结论如下。 （一）半变异函数 半变异函数模型，是克立格空间插值的前提条件，同时它也决定着空间插值的精度。一般情况下，半变异函数模型是根据半变异函数云图的分布，选择合适的理论模型，按照估计方差最小的原则，运用最小二乘法求得。图4.2.4和图4.2