中考数学复习

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业实数和代数式 一、重点、难点提示：1.相反数实数a的相反数是-a，零的相反数是零。 （1）a,b互为相反数a+b=0。 （2）在数轴上表示相反数的两点关于原点对称。 2.绝对值 |a|= 3. 算术根 （1）正数a的正的n次方根叫a的n次算术根，零的算术根仍是0。 （2）实数的三个非负性：|a|0, a20, 0(a0)。 4.科学记数法把一大于10的数记成a10n的形式，其中1an) 6.乘法公式： (a+b)(a-b)=a2-b2； (ab)2=a22ab+b2；

2、7.零指数和负整数指数： 规定a0=1(a0) ，a-p=(a0且p为正整数) 8.二次根式的主要性质 (1)()2=a (a0). (2)=|a|= 注意：根式的化简相当于绝对值的化简，所以应养成化简时加绝对值的习惯，先完成这种转化，不易出错。 (3)=(a0, b0)。 (4)(b0,a0)。 二、重点例题分析 例1解答下列各题（1）已知|a|=8, |b|=2, |a-b|=b-a, 求a+b的值。 （2）已知a0, b|a|, 试用“”将a、b、-a、-b连结起来。 解：（1）|a|=8, a=8； |b|=2, b=2； 又|a-b|=b-a, b-a0, ba。 因此b取+2, a

3、取-8, 或b取-2, a取-8。 当b=2, a=-8时, a+b=(-8)+2=-6。 当b=-2, a=-8时, a+b=(-8)+(-2)=-10。 （2）b-aa0，A在原点右边，b|a|表示B到原点的距离大于A到原点的距离，再依相反数的概念找出-a,-b所对应的点，如图所示， 显然有：b-aa0, b|a|的条件，那么a=2, -a=-2, b=-3, -b=3。 从小到大的顺序为-3，-2，2，3。即b-aa0, a0。 原式=-a+a-a=-a。 说明：这道题隐含着条件a0是解此题的关键，而a0时，方程有两个不相等的实数根x1=,x2=；当=0时，方程有两个相等的实数根x1=x

4、2=-；当0时，方程没有实数根。 4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-, x1x2=。（注意两根的和是的相反数）。以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。 5. 不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。 6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表： 不等式组 (a2x，得x-2 解不等式x-, 得 x-1。 所以不等式组的解集是 -24x+2, 得x1。 解不等式 ， 得x-2。 所以不等式组的

5、解集是：-2x1。 所以不等式组的整数解是：-2，-1，0。 例3.已知方程(m-2)+(m+2)x+4=0是关于x的一元二次方程。求m的值，并求此方程的两根。 分析：根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数是2，而且二次项的系数不能为0，所以m2-2=2，且m-20。于是可求m的值,进而求得方程的解。 解：（1）依题意，得m2-2=2,且m-20。 m=2, 且m2。 m=-2。 （2）把m=-2代入原方程，整理得(x-5)2=1 x-5=1, x1=4, x2=6。 例4.已知x是实数，且-(x2+3x)=2，那么x2+3x的值为（） A、1 B、-3或1 C、3 D、-1或3 误解：设

6、x2+3x=y, 则原方程可变为-y=2, 即y2+2y-3=0。y1=-3, y2=1。 x2+3x=-3或1。故选B。 剖析：因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解。当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时=32-4130，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1。 正确答案：选A。 说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。 例5.解下列方程：（1）=1，（2）x2+x-+1=0。 分析（1）宜用去分母法解；（2）宜用换元法，可设x2+x=y，将原方程变为y

7、-+1=0，先求出y，再求出x。解（1）原方程即为+-=1 去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。 整理，得x2-3x+2=0。 x1=1, x2=2。 经检验x=1是原方程的根，x=2是增根， 原方程的根是x=1。 （2）设x2+x=y,则原方程可变为y-+1=0。 y2+y-6=0, y1=-3, y2=2 当y=-3时，x2+x=-3, x2+x+3=0, 此方程无实数根， 当y=2时，x2+x=2, x2+x-2=0, x1=-2, x2=1。 经检验,x1=-2, x2=1都是原方程的根。 原方程的根是x1=-2, x2=1。 例6.若方程组的解x与y相等，则a

8、的值等于（）。A、4 B、10 C、11 D、12 分析：先解方程组再将求得的解代入方程ax+(a-1)y=3中，便可求得a的值。 解：解方程组，得把代入ax+(a-1)y=3,得a+(a-1)=3，解之，得a=11。 故选C。 例7.已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0，且k3。 (1)求证：此方程总有实数根；(2)当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于4时，k的值等于多少？ 分析：本题没有指明关于x的方程的类型，要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。 (1)证明 当k=2，方程为一元一次方程-2x+3=0，显然有实根； 当k2时，方程为一元二次方程，且=-

9、2(k-1)2-4(k-2)(k+1)=4(3-k),k3, 3-k0。 即0，此时一元二次方程有实数根。 综合、知，原方程总有实数根。 (2)设方程的两实根为x1,x2，则x1+x2=，x1x2=。由题设，x12+x22=4, 即(x1+x2)2-2x1x2=4。 2-2=4。 整理，得k2-5k+4=0, k1=1, k2=4。 k3, k=1。 例8.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电费却为0.55度。现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年36

10、5天，每度电0.40元计算）？ 说明：不等式应用题，是近年来应用题的发展新动向，去年有多处地区中考题目中有不等式的应用题，它和方程应用题目一样，先认真审题，并能利用所设的未知数表示各种关系；不同的就是关系不是相等，而要根据题目表述为相应的不等关系。 本题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”。实际上,所谓合算是指两种冰箱十年后的总耗资小,对于本题目就是A型冰箱十年的总耗资小于B型冰箱。得到不等关系。 解:设商场将A型冰箱打x折出售，则消费者购买A型冰箱需耗资 2190+3651010.4(元)， 购买B型冰箱需耗资 2190(1+10%)+365100.550.4

11、(元)。 依题意，得2190+3651010.42190(1+10%)+365100.550.4。 解不等式，得x8。 因此，商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。 例9.某园林的门票每张10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C、三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要购买门票，每次3元。（1）如果你只选择一

12、种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。 析解：本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题。 （1）因为8030。 所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算。 例10.某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2

13、）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。 分析：本例属工作量为1的工程问题，要注意下列三个关系式：（1）工作效率工作时间=1；（2）工作效率=；（3）工作时间=。这类问题的等量关系是：部分工作量之和=1。 解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则 解之，得（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付b元，丙队做一天应付给c元，则有解方程组，得 10a=8000(元),15b=9750(元) 由甲队单独完成此工程花钱最少。 答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成；（2）由甲队单独完

14、成此项工程花钱最少。 三角形与相似形一、新课标对这部分知识的要求1 命题与证明（1）了解证明的含义理解证明的必要性。通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。通过实例，体会反证法的含义。掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。若两个三角形的两边及其夹角(或两角及

15、其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等。全等三角形的对应边、对应角分别相等。（3）利用（2）中的基本事实证明下列命题平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）。三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）。直角三角形全等的判定定理。角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。三角形中位线定理。等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性

16、质和判定定理。2三角形了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。探索并掌握三角形中位线的性质。了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【1】和一个三角形是等腰三角形的条件【2】；了解等边三角形的概念并探索其性质。了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质【3】和一个三角形是直角三角形的条件【4】体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。注【1】等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。【2

17、】有两个角相等的三角形是等腰三角形。【3】直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边一半。【4】有两个角互余的三角形是直角三角形。尺规作图完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。3.图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。通过具体实例认识图形的

18、相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30，45，60角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。4图形与坐标（1）认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点

19、的位置、由点的位置写出它的坐标。（2）能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。（3）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。（4）灵活运用不同的方式确定物体的位置。二、例题：例1：已知：如图，ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，点M在AC上，点N在AB上，且BN=CM；求证：EM=EN。 证明： AB=AC，AD为BC边上的中线AD为BAC的平分线DAB=DAC（角平分线定义）BN=CM，AB=ACAB-NB=AC-MC即：AN=AM在ANE和AME中 ANEAME（SAS）NE=ME（全等三角形对应边相等）例2：求证：等腰三角形两腰上的高线相等

20、。已知：如图：AB=AC，BEAC，CFAB求证：BE=CF。证明： BEAC，CFABAEB=AFC=90（垂直定义）在AEB和AFC中 AEBAFC（AAS）BE=CF例3：已知：在RtABC中, ADBC,交BC于点D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F。求证：DF2=FBFA分析：要证：DF2=FBFA， 即要证： = ，故可找相应的三角形相似即可，只需证：DFBAFD，而F=F, 只需要证：1=2即可。证明：CAB=90，ADBC，1+CAD=C+CAD1=C又E是AC的中点, ED=AC=CE3=C, 又2=3，2=C1=2， 又F=F,DFBAFD = 即：DF2=F

21、BFA例4.如图，BAC90，ADBC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证： .分析：欲证 ，从“左、右”看，可得ABC与ADF，很明显，它们不相似，再从“上、下”看，下面得ACF，上面两条线段AB、DF不在同一个三角形中，因此，需要寻找过渡比，由于条件中有直角三角形及斜边上的高这个基本图形，所以有 ，因此，可以尝试选用 的过渡比.证明：ADC90，AECE，DECE.C1.12，C2.BAC90，ADBC，ABDCAD.3C， . 23，FF，FBDFDA. . 由、可得 .例5：如图546，已知AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AD于F

22、.求证：DE2BECE. 图546分析：由于DE2BECE中的三条线段在同一条直线上，因此，要考虑比例式中哪一条线段可用它的等量代换，由于EF垂直平分AD，于是有AEDE，故只要证AE2BECE即证 即可，由此可考虑证AEBCEA.证明：连结AE.EF垂直平分AD，AEDE.DAE4.3DAE2，12，341，B41B3.BEAAEC，BEAAEC. .AE2BECE，故DE2BECE.例6图18.5.4中，AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到AOB三个顶点的坐标有什么变化呢？解AOB的三个顶点的坐标是A（2， 4）、O（0， 0）、B（4，0）平移之后的AOB对应的顶点是 A（5，4）、O

23、（3，0）、B（7，0）沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3 例：1. 过点C画出直线l的垂线（1）如果点C不在直线上，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？ （2）如果点C在直线上，试过点C画出直线l的垂线。(1)如果点C不在直线上作法：（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧；（2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交于A、B两点；（3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1/2AB 长为半径画弧，两弧相交于D点；（4）过C、D两点作直线CD。所以，直线CD就是所求作的。(2) 如果点C在直线上作法：（1）以C点为圆心，任意长为半径画弧，交于A、B两点；（3）分

24、别以A、B两点为圆心，以大于 1/2AB 长为半径画弧，两弧相交于E、F点；（4）过E、F两点作直线EF。所以，直线EF就是所求作的。三角形和相似形 一、重点，难点提示：1.三角形全等的证题思路 2.等腰三角形的性质与判定 判定 性质 等腰三角形 1.有两边相等2.等角对等边3.“三线合一”的逆定理 1.有两腰相等，两底角相等2.“三线合一”定理3.轴对称图形，有一条对称轴 等边三角形 1.三边都相等2.三角都相等3.一角为60的等腰三角形 1.三边相等，三角相等2.内心和外心重合 3.轴对称图形，有三条对称轴 提示：“三线合一的应用是等腰三角形的重点,要多加练习 ,有时要做辅助线-底边上的高

25、,以便使用这个性质. 3、Rt知识注意问题(1)勾股定理常要用到 (2)各边之间的关系：由ABCACDCBD得： CD2=ADBD AC2=ADAB BC2=BDAB (3)直角三角形中线定理也是常用到而许多同学容易忘记的.如图:由C=90，D为AB中点，得CD=AD=BD=AB 4、相似三角形常用基本图形这两种图形中比例线段的相互转化要迅速准确。 二、例题分析： 例1.如图，A=32，B=45，C=38，则DFE=（）A、120B、115C、110D、105 说明：首先，在BDC中可求出BDC的度数。其次，由于BDC是AFD的一个外角，故可求出AFD的度数。最后利用AFD与DFE的互补性求得

26、DFE的度数，选B。 例2.如图，已知ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，则BD等于（）A、4B、6C、8D、2 解： DC=2，AC=10， AD=AC-DC=8， BD=6，选B。 说明：三角形中的高线常与直角三角形的有关性质联系在一起，有时解题时即通过作高线构造直角三角形。 例3.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为12，则等腰三角形顶角为（）A、30B、60C、150D、30或150 分析：如图所示，在等腰ABC中，CD为腰AB上的高，CDAB=12，由于AC=AB，CDAC=12，在RtADC中，DAC=30,则有BAC=30与150。 说明：涉及到与三角形的高有

27、关的问题时，要注意分类讨论，本例分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情形来考虑。 例4.ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）A、1AB29B、4AB24C、5AB19D、9AB19 分析：如图，延长中线AD至E，使DE=AD，则AE=14，在AEC中，9CE19，又可证DECDAB得，CE=AB。所以9ABOE. （1）求点D的坐标；（2）如果点F是AC的中点，判断点(8,-20)是否在过D、F两点的直线上，并说明理由. 分析：画出符合题意的示意图 （1）由根与系数的关系可知OCOE=12，又因CE=5，OCOE，在RtCOE中，结合勾股定理得OC=4，OE=3，由矩形性

28、质及翻折图形全等，可知DA=AB=OC=4，过点D作DMOA于M，易证OCEMDEMAD，利用线段的比例关系，可得： DM=OE=3=，EM=OE= OM=OE+EM=3+= 第四象限内的点D为(,-). （2）由OCEMAD，故AM=OC=4=，所以OA=OM+MA=8，则A，C两点坐标分别为(8,0)，(0,4)，利用三角形中位线性质可求出F点坐标为(4,2)，又知点D坐标(,-)，于是可得直线DF的解析式为y=-x+24.当x=8时，-8+24=-20=y.则点（8，20）在过D、F两点的直线上. 函数总复习（） 函数研究的是变量数学，它较之常量数学能更深刻地反映客观世界中量与形的关系，

29、从而使函数成为近代数学中很多分支的基础；函数与代数中的代数式、方程、不等式等基础知识有密切的联系，用函数的观点能更透彻地理解和灵活地运用这些基础知识；函数的内容中蕴含着丰富的数学思想因素，有利于培养辩证唯物主义观点。 一、用函数概念与性质解题：用函数概念与性质解题 例1已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a, b的取值范围，使得： （1）y随x的增大而增大； （2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）函数的图象过第1、2、4象限。 解：a、b的取值范围应分别满足： （1）由一次函数y=kx+b(k0)的性质可知： 当k0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-20, a, 且

30、b取任何实数。 （2）函数图象与y轴的交点为（0,1-b）， 交点在x轴的下方， 即a, b1 （3）函数图象过第1、2、4象限，则必须满足 说明：下面是y=kx(k0), y=kx+b (k0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k0时，y随x的增大而增大；当b0时，图象过一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b0时，图象过一、三、四象限；当y=x时，图象过一、三象限；且是它的角平分线，由于常数k、b不同，可得到不同的函数，k决定直线与x轴交角的大小，b 决定直线与y轴交点的位置，由k定向，由b定点。同样，如图2，是k0的各种情况，请指出它们的图象的特点和性质。 本题反映了这些性质的

31、应用。 例2在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P是第一象限内的直线y=6x上的点，O是坐标原点（如图所示）： （1）P点坐标设为(x, y) ，写出OPA的面积S的关系式； （2）S与y具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y的取值范围； （3）S与x具有怎样的函数关系？写出自变量x的取值范围； （4）如果把x看作S的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围； （5）当S=10时，求P的坐标； （6）在直线y=6x上，求一点P，使POA是以OA为底的等腰三角形。 分析：函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一个是自变量。比如“把x看作S的函数”

32、时，对应关系为用S表示x,其中S是自变量，x是函数。 解：（1）过P点作x轴的垂线，交于Q， SOPA=|OA|PQ|=4y=2y. （2）S与y成正比例函数，即S=2y， 自变量y的取值范围是0y6. （3） y=6-x, S=2y=2(6-x)=12-2x, S=-2x+12成为一次函数关系，自变量x的取值范围是0 x6. （4）把x看作S的函数， 将S=-2x+12变形为：x=,即这个函数的解析式为：x=-+6. 自变量S的取值范围是：0S0)的图象，直线PB是一次函数y=-2x+m(mn)的图象。 （1）用m、n表示出A、B、P点的坐标； （2）若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQO

33、B的面积是，AB=2，试求P点的坐标，并写出直线PA与PB的解析式。 分析：由（1）易得P点坐标的表达式，要确定P点坐标，需求出m、n的值，关键是将四边形PQOB的面积、AB的长用m、n的代数式表示，得到关于m、n的方程。四边形PQOB是一般四边形，其面积可通过三角形面积的和差表示，这是解这类问题的基本策略。 解：（1）A(-n,0), B(,0), P(,). （2）连接PO，则依题意：m0,n0 SPOB=OB|yp|=， SPOQ=OQ|xp|=n=, S四边形PQOB=SPOB+ SPOQ =，AB=2， 解得：m=2, n=1. 故P点坐标为（，），直线PA的解析式是y=x+1, 直

34、线PB的解析式是y=-2x+2。 说明：在求三角形的面积时，如果利用底与高的积的一半这个公式，尽可能使底边处在与x轴或y轴平行的位置上，如有底边在x轴或y轴上则更好，如若不能满足以上条件，则可设法利用图形面积的和差去完成转化。 例4已知：如图，直线L经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线 y=ax2在第一象限内交于点P，又知AOP的面积为，求a的值。 分析：欲求a的值，需求出二次函数的图象与直线L的交点P的坐标，为此，先求直线L的解析式。由AOP的面积是，且OA=4，故可求出P点的纵坐标，代入到直线的解析式中，则横坐标也可求出。由于点P在y=ax2的图象上，代入到y=ax2可求a值。

35、解：设直线的解析式为y=kx+b, 则解得：k=-1, b=4. 直线L的解析式是y=-x+4. 设P点的坐标为（m,n）, SAOP=, OA=4, 4n=, n=. 点P在直线L上，m+4，得m=, 故P点的坐标为（,）， P点在抛物线上， 将m=，n=代入到y=ax2, 得 =a()2, a=. 说明：如果题目中有三角形的面积，要注意结合图形观察顶点的横坐标与纵坐标，对于此题来说，由于AOP的底边OA的长已知，因此P点的纵坐标即为AOP中OA边上的高。 解题点拨： 在直角坐标系中的几何图形，往往可以和函数图象结合起来，通过函数解析式，利用函数性质寻找解题的途径，它即可以解决一些数值计算问

36、题，又能推理论证，把平面几何图形的问题放在坐标系中，与函数知识相结合，需要用数形结合的方法来解。 函数总复习（二） 函数及其图象一章的内容，是中考命题重点考查的内容之一。近几年来各省市的考题中，考查本单元内容的分值，平均占到18%左右。 例1.（1）下列函数中，自变量x的取值范围为x2的是（） A、y=B、y=C、y=D、y= （2）长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y(元) 是行李重量x (千克)的一次函数，其图象如图所示，则y与x之间的函数关系式是_，自变量x的取值范围是_。 析解：函数自变量的取值范围包括两方面的内容：第一要使函数解

37、析式本身有意义（切忌盲目化简）；第二要符合实际问题的需要。 对于第（1）小题，可直接从题中所提供的四个函数中，分别确定出自变量x的取值范围： (A)为x2；(B)为x2；(C)为-2x2；(D)为；其公共解集为x2，故应选D。 对于第（2）小题，观察可知一次函数的图象经过(60,6)、(80,10)两点，可设y=ax+b，则有解得： y=x-6。令y=0, 则x=30。 根据图象知，自变量x的取值范围是x30。 例2.（1）已知直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数的解析式（至少三个）_。 （贵州贵阳） （2）某函数具有下列两条性质：图象关于原点O成中心对称；当x0时

38、，函数值y随自变量x的增大而减小，请举一例（用解析式表示）：_。 （江苏连云港） （3）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c,0)，且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是_（只要求写出一个可能的解析式）。 （湖北荆州） 析解：三个小题都是确定函数的解析式，且有一个共同特点，所确定的解析式都是开放型的。解答这类题，一定要抓住所求函数解析式具有的条件或性质来思考。 （1）设点P的坐标为(a, 3a)，过点P的一次函数的解析式为y=kx+b(k0) 取a=1, 把P(1,3)代入y=kx+b, 得k=3-b。 令b=1, 则k=2, y=2x+1； 令b=2, 则k=1, y=

39、x+2； 令b=4, 则k=-1, y=-x+4； 可见仅取a=1，满足条件的一次函数的解析式就有无数个。 （2）根据所学的几个函数的图象特征，可知在一、三象限的反比例函数具有所述的性质。如y=,y=等。 （3）依题意，得解得：； y=x2-4x+3，或y=x2-4x。 例3.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字： 已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点(1,0)，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称。 根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（） (A)、过点(3,0)； (B)、顶点是(2,-2)； (C)、在x轴上截得的线段长是2； (D)、与y轴的交点是(0,3)。

40、 （江苏盐城） 析解：本题的迷惑性在于部分题设条件被墨水污染，既已污染不能复原，说明并不影响问题的解答，应果断弃之，另辟蹊径。 其实，可将结论中“二次函数的图象关于x=2对称”也作为已知条件，所以：，从而易求得二次函数的解析式: y=x2-4x+3。由此，逐一验证选择题项，只有(B)不成立。 例4.聊城市委、市政府为进一步改善投资环境和居民的生活环境，并吸引更多的人来聊城观光旅游，决定古运河城区段实施二期开发工程。现需要A、B两种花砖共50万块，全部由某砖瓦厂完成此项生产任务。该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克。已知生产1万块A砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，

41、造价1.2万元；生产1万块B砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元。 (1)利用现有原料,该厂是否能按要求完成任务?若能，按A、B两种花砖的生产块数，有哪几种生产方案?请你设计出来(以万块为1个单位且取整数)； (2)试分析你设计的几种生产方案哪种的总造价最低?最低造价是多少？ 析解：如何利用现有原料，按规定要求完成生产任务，使造价控制在最底限度内，是生产经营者追求的主要的经济效益指标。命题者出于考查学生的社会活动能力，有意设计这样的考题，其目的是让学生进行科学决策。 如本考题，首先让考生明确在现有原料数量的范围内安排A、B两种花砖的生产块数，这样安排就不允许超过甲、乙两种原

42、料所需数量，故可设安排生产A砖x万块，则生产B砖为(50-x)万块。依题意，便得不等式组： 解得 30 x32。 因为题中隐含着x为整数，所以x只能取30、31、32；相应地(50-x)的值为20、19、18。故相对应形成三种生产方案，这是第(1)问的解题思路。 对于第(2)问需建立造价与砖块数的函数关系式,设总造价为y万元。 依题意，得y=1.2x+1.8(50-x)-0.6x+90。 此一次函数y随x的增大而减小。 要使总造价最低，x只能取32，所以最低造价为：-0.632+9070.8(万元)。 例5.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件。为了获得更好的

43、效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投人的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表： x(十万元) 0 1 2 y 1 1.5 1.8 （1）求y与x的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为1030万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ 析解：近年来，取材于利润问题的应用题比较普遍。解答此类应用题，重在构建函数模型。 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c。 由关系表，得解得：

44、 因此，所求函数的解析式是y=-x2+x+1。 （2）根据题意，得S=10y(3-2)-x=-x2+5x+10。 （注意：单位统一成十万元） （3）S=-x2+5x+10=-(x-)2+，因为图象开口向下，对称轴为x=, 又由于1x3, 所以当1x2.5时，S随x的增大而增大。 故当广告费在1025万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大。 例6.已知二次函数y=4x2+mx+m2+m，当m取任一实数值时，它的图象都是一条抛物线。 （1）甲同学说:当m取任何不同的实数值时，所对应的这些抛物线都是完全相同的形状；乙同学说：m取不同的实数值时，所对应的抛物线的形状也不相同，你认为谁的说法正确

45、，为什么？ （2）若m=-1, m=2时，所对应的抛物线的顶点分别为A、B，请你求出直线AB的解析式；并说明，无论m取任何实数值所对应的抛物线的顶点总在直线AB上。 （3）当y值恒大于零时，试求m的取值范围。 析解：第（1）问是一道评述题，可以把所给的二次函数解析式化为 y=4x2+mx+m2+m=4(x+)2+m。因为抛物线的形状，只与二次项的系数有关，所以当m取任何不同的实数值时，对应的这些抛物线都与抛物线y=4x2有完全相同的形状。因此，可断定甲同学的说法是正确的。对于第（2）问，将m=-1, m=2代入顶点坐标(-, )，得到两个顶点A、B，易求得直线AB的解析式为y=-x, 抛物线的

46、顶点为(-, )，将顶点坐标直接代入即可验证。 第（3）问，利用抛物线的图象分布规律，知其抛物线的开口向上，故要使y的值恒大于零，抛物线与x轴必无交点，这说明必须有0，也就是：=m2-44(m2+m)=-m0。 当m0时，y的值恒大于零。 解直角三角形 一、知识点精讲：1.同角三角函数的关系sin2+cos2 =1, tancot =1, tan=, cot=。2.解直角三角形 (1).直角三角形角的关系A+B=90 (2).直角三角形边的关系a2+b2=c2 (3).直角三角形的边角关系sinA=cosB=, sinB=cosA=, tanA=cotB=, tanB=cotA=。 3.应用问

47、题(1).仰角、俯角的概念如图1所示，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角。(2).坡度（坡比）、坡角的概念如图2所示，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即i=tan=。这里，是坡面与水平面的夹角，这个角叫坡角。 二、例题分析：例1.已知sincos=, 且045，则cos-sin的值为（ ）A、B、-C、D、- 解：0sin, cos-sin0, cos-sin=。 故选A 说明：三角函数的计算除了要熟记特殊三角函数值外，还应熟练运用sin2+cos2=1, tancot=1，互余角的三角函数关系，锐角范

48、围内三角函数值随角度的增减规律等。 例2.若锐角A满足tan A-cot A=2, 则tan2A+cot2解： tanA-cotA=2, tanA-=2, tan2A-2tanA-1=0, tanA=1。 A是锐角， tanA=1+, cotA=-1, tan2A+cot2A=(1+)2+(1)2=6。 说明：利用同角关系tancot=1转化已知条件，可以求出tan或cot，问题容易解决。 方法二：将等式tanAcotA=2两边平方，得到：tan2A+cot2A24，所以：tan2A例3.已知ABC的两边长a=3, c=5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两个正整数根之一

49、，求sinA的值。 分析:这个题目是三角和方程的综合题目。利用方程的根为正整数,可以求出b。 解：设x1, x2是关于x的方程x24x+m=0的两个正整数根， x1+x2=4, x1=1, x2=3或x1=x2=2或x1=3, x2=1, b只能取1，2，3， 2br)，圆心距为d，若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有相等的两实数根，则两圆的位置关系是（） A、一定内切B、一定外切C、相交D、内切或外切 析解：（1）、（2）小题从正反两方面考查了直线与圆的位置关系；（3）小题着重考查了圆与圆的位置关系。 对于第（1）小题，有两种情形：其一，以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB相切，易求

50、出R=2.4；其二，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边AB相交于一点，那么半径R应满足ACRBC，即3r, R+r=d,或R-r=d. 说明两圆的位置关系是外切或内切。 故应选D。 例3计算 ：（1）已知圆的面积为81cm2，其圆周上一段弧长为3cm，那么这段弧所对圆心角的度数是_。 （2）如图，AB、CD是O的直径，O的半径为R，ABCD，以B为圆心，以BC为半径作，则与围成的新月形的面积为（）平方单位。 A、(-1)R2B、R2C、(+1)R2D、R2 析解：（1）先由圆的面积，可求出其半径R=9cm;又知圆周上一段弧长l=3cm，由扇形的弧长公式： l=, 得n=60，所以圆心角为60.

51、（2）把不规则图形分割成几个规则的图形，是求阴影部分面积的常规思路，但其分割方法一般不惟一。 S阴影ACED=SO-S弓形CED S弓形CED=S扇形BCED-SBCD， S扇形BCED=R2， SBCD=2RR=R2， S阴影ACED=R2-R2+R2=R2，故应选B。 例4已知：O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是，求BAC的度数。 解：如图所示，作ODAB，OEAC，则AD=，AE=， OA=1，在RtODA中，cosOAD=， OAD=45, 在RtOAE中，cosOAE=，OAE=30， 当AC、AB位于OA两侧时，有BAC=OAB+OAE=75； 当AC、AB位于OA同侧时，有

52、BAC=OAB-OAE=15 说明：有关弦长，弦心距的问题，往往需要作垂直于弦的直径（半径或弦心距），利用垂径定理平分弦以及半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的。 例5已知：如图所示，ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，交O的切线BF于点F，B为切点，求证：（1）BD平分CBF；（2）ABBF=AFCD。 证明（1） AD平分BAC，1=2， BF切O于点B，3=1， 又2=4，3=4，即BD平分CBF。 （2）在DBF和BAF中， 3=1，F=F， DBFBAF， ，即ABBF=AFBD 1=2， BD=CD， ABBF=AFCD 说明：证明三角形相似，常常通过圆内、

53、外的角进行转化。 例6如图，AD是ABC外角EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D，AC，BD相交于点P，求证：（1）DBC为等腰三角形；（2）ABBD=BPPC。 证明：（1）AD是EAC的平分线，EAD=DAC， EAD是圆内接四边形ABCD的外角， EAD=DCB， 又DAC=DBC DCB=DBC，DBC是等腰三角形。 （2）在ABP和DCP中， BAP=CDP，APB=DPC， ABPDCP， ABDC=PBPC， 又BD=DC， ABBD=PBPC。 说明：当遇到四边形内接于圆时，应考虑圆的内接四边形的性质定理，它是证明角相等或互补的常用依据之一。 例7如图，AB为O的直径，

54、C为O上一点，AD和过C点的切线相交于点D，和O相交于点E。若AC平分DAB，（1）求证：ADC=90；（2）若AB=2r, AD=r,求DE的长。 （1）证明：连结OC， CD是O的切线， OCCD， OA=OC，1=2， 2=3，1=3， AD/OC，ADCD， 即ADC=90。 （2）解：连结BC，则ACB=90，由（1）得RtABCRtACD， ， AC2=ABAD=2rr=r2. 又 CD2=AC2-AD2=r2,，且CD2=DEAD， DE=r. 说明：证明一条直线是圆的切线，通常选择：（1）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆

55、的切线。而涉及切线问题时，应灵活运用切线的性质，通常连结切点和圆心。 例8如图，O1与O2相交于A、B两点，过点A作O2的切线CF交O1于C，直线CB交O2于D，直线DA交O1于E，连CE。 求证：（1）CAE是等腰三角形； （2）DADE=CD2-CE2 证明：（1）连结AB， CA是O2的切线，FAD=ABD， 又ABD=E， E=FAD=EAC， CAE是等腰三角形。 （2）CA2=CBCD，DADE=BDDC， CA2+DADE=CBCD+BDDC=CD2， 又CA=CE， DADE=CD2CE2。 说明：两圆相交时，公共弦是重要的辅助线。一条公共弦，使弦切角与圆周角之间，圆内接四边形

56、的外角与内角之间的关系得以沟通；常见的辅助线还有，两圆相切，作公切线。 例9已知：如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，1为半径的圆与x轴相切于原点O。点P在x轴的负半轴上，PA切O于点A，AB为C的直径，PC交OA于点D。 （1）求证：PCOA； （2）若点P的坐标为(-2,0)，求直线AB的解析式； （3）若点P在x轴的负半轴上运动，原题的其他条件不变，设点P的坐标为(x,0)，四边形POCA的面积为S，求S与点P的横坐标x之间的函数关系式； （4）在（3）的情况下，分析并判断是否存在这样的一点P，使S四边形POCA=SAOB。若存在，直接写出点P的坐标（不写过程）；若不存在，简要说

57、明理由。 析解：这是一道坐标几何题，融合了函数，四边形，圆等有关知识，其综合性极强。 （1）易从PO、PA与C相切，推出PA=PO，APC=OPC， PCOA； （2）可设直线AB的解析式为y=kx+b. 作BEx轴于E，由OC=1，OP=2，可得PC=，CDOCOP，则，CD=， 又OBOA，PCOA，OB/PC， 又AC=CB， OB=2CD=， 由BOECPO，得， 即， BE=，OE=， B点坐标为(，). 又C(0,1),解得k=-, b=1, y=-x+1, （3）易求出S四边形POCA=2SPOC=2(-x)1=-x, 即S=-x(x0). （4）如图，存在这样一点P，其坐标为(

58、-1,0), 不妨设S四边形POCA=SAOB， SAOB=2SAOC， S四边形POCA=2SAOC， SAOP=SAOC 又OAPC， PD=CD， PO=OC=1， P(-1,0). 圆一、课标要求：理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。了解三角形的内心和外心。了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。二、例题例1：如图， 和 内切于点P.C是 上任一点（与点

59、P不重合）.实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点 ，另一直角边所在直线交 于点A、B，直线PA、PB分别交 于点E、F，连结CE探究：（1）你发现弧CE、弧CF有什么关系？用你学过的知识证明你的发现；（2）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现.解析： 探究（1）结论：CE = CF.证法一：过点P作两圆外公切线MN，连结EF.MN为两圆的公切线 NPB = PEF = A EF / AB又 C AB C EF又 C为 的半径CE = CF.证法二：过点P作两圆外公切线MN，连结CP. C AB ， C为 的半径AB切 于CBCP = CEPMN为两圆

60、的公切线 MPA = B = PCE CPE = CPBCE = CF.探究（2）结论： 证法一：过点P作两圆外公切线MN，连结CP、CF.AB切 于C BCF = CPBCPE = CPB BCF = CPE 是四边形ECFP的外接圆CFB = CEPBCFCPE CE = CF CE = CF 证法二：过点P作两圆外公切线MN，连结CP、CF.AB切 于C PCB= PECCPE = CPB PECPCB AB切 于C BCF = CPB又B = BCFBPCB CE = CF CE = CF 相关题 例2：如图，若将上述问题的 和 由内切改为外切，其他条件不变，请你探究线段CE、PE、B