《工程力学》弯曲

1、工程力学-弯曲 梁的平面弯曲 等直杆在其包含杆轴线的纵向平面内，若受到垂直于杆轴线的横向载荷的作用，杆件发生变形，轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲为主要变形的杆件统称为粱。 横截面一般具有一对称轴，因此梁就有一个过轴线的纵向对称面，当所有荷载都作用在此纵向对称面内时，梁的轴线也将在此对称面内弯曲，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲。 静定梁及其分类(1) 悬臂梁 梁的一端为固定端支座，另一端为自由端。(2) 简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座。(3) 外伸梁 简支梁的一端或两端伸出支座之外。8.1 平面弯曲和静定梁8.2 平面弯曲内力剪力和

2、弯矩 截面法求内力 现以图8-8(a)所示的简支梁为例，分析梁横截面上的内力。根据梁的静力平衡条件，可以求出梁在载荷作用下的支座反力，在外力均已知的条件下，由截面法求截面m-m上的内力。用假想的平面将梁在截面m-m处截开，取左段为研究对象，如图8-8(b)所示。由平衡条件可知，在截面m-m上有一个与横截面相切的内力Fs和一个内力偶M，Fs为核截面m-m上的剪力，M称为横截面m-m上的弯矩。 根据左段梁的静力平衡方程得即剪力等于左段梁上所有外力的代数和。把所有外力和内力对左段截面m-m的形心C取矩，由得即弯矩M等于左段梁上所有外力对形心C的力矩的代数和。 梁的内力计算规则 为了使左右两端梁在同一

3、截面上的内力符号一致，对剪力和弯矩的正负号规定如下：在所切横截面的内侧切取微段，凡企图使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的相对错动趋势的剪力为正，反之为负。如图8-9(a)(b)所示；使微段梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之为负，如图8-10(a)(b)所示。按此规定，图8-8所示的剪力和弯矩均为正。 综上所述，可将计算剪力与弯矩的方法概括如下：(1)在需求内力的横截面处，用假想截面将梁切开，并任选一段作为研究对象。(2)画所选梁段的受力图，图中剪力Fs和弯矩M可假设为正(3)由静力平衡方程 计算剪力Fs。(4)由静力平衡方程 计算弯矩M。 例8-1 一简支梁受载如图8-11(a)所示，试求图中

4、各指定截面的剪力和弯矩。截面1-1，2-2表示截面位于集中力F作用的左、右两侧，距离F无穷小处；截面3-3，4-4表示截面位于集中力偶Me作用的左、右两侧，距离力偶Me无穷小处。解：(1)求支座反力。设FA，FB向向上，由静力平衡方程得(2)求指定截面的剪力和弯矩。取1-1截面的左段梁为研究对象，如图8-11(b)所示，由静力平衡方程得取2-2截面的右段梁为研究对象，如图8-11(c)所示，由静力平衡方程得 ， =9.5KNm 同理可得3-3截面的剪力和弯矩 FS30.5kN，M39kNm4-4截面的剪力和弯矩 FS40.5kN，M45kNm 图8-11 梁横截面上的剪力和弯矩随截面位量而变化

5、，为了描述其变化规律，若以横坐标x表示横截面的位置，则梁内各个横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x的函数，即 以上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。例8-2 如图8-12(a)所尔，简支梁AB受集中力F作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。解：(1)求A、B处的支座反力，建立静力平衡方程 ， ， ， ， (2)列剪力方程和弯矩方程。出于C点受集中力F的作用，引起AC，BC两段剪力方程和弯矩方程各不相同，须分段列方程。对AC段，取距原点为x的任意截面为研究对象，可得剪力方程和弯矩方程为 （0 xa） （0 xa）同朋，对CB段可得剪力方程和弯矩方程分别为 （ax1） （ax1

6、）(3)绘制剪力图和弯矩图。根据梁各段上的剪力方程和弯矩方程，绘出剪力图，如图8-12(b)所示，绘出弯矩图，如图8-12(c)所示。8.3 剪力图和弯矩图 例8-3 简支梁AB如图8-13(a)所示，在C截面处受集中力偶M的作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩团。解：(1)求支座反力。由静力学平衡方程可得(2)列剪力方程和弯矩方程。对AC段，取x截面的左段为研究对象，可得剪力方程和弯矩方程分别为 （0 xa） （0 xa）同理，对CB段可得剪力方程和弯矩方程 （axl） （axl）(3)绘制剪力图和弯矩图。绘制剪力图，如图8-13(b)所示；绘制弯矩图，如图8-13(c)所

7、尔。从剪力图和弯矩图上可以看出，集中力偶作用处其剪力值不发生变化，弯矩图上由突变，突变值等于集中力偶距。根据以上例子，可得出如下一些结论。 (1)梁上某段，若无均布载荷作用，剪力图是一条水平线，弯矩图是一条斜直线。如果剪力大于零，弯矩图斜率大于零；反之弯矩图斜率小于零，且剪力图的剪力大小等于弯矩图斜率的大小。 (2)梁上某段，若有均布载荷作用，剪力图是一条斜直线，弯矩图是一条抛物线。如果均布荷载向下，剪力图斜率小于零，弯矩图抛物线开口向下；如果均布载荷向上，剪力图斜率大于零，弯矩图抛物线开口向上。 (3)梁上某段，剪力图是一条斜直线，且与x轴相交，交点处剪力等于零，交点两侧剪力异号，弯矩图中该

8、点的弯矩为极值。 (4)在集中力作用处，剪力图上有突变，突变值等于集中力的大小，弯矩图上有转折点；在集中力偶作用处，剪力图不变，弯短图上有突变，突变值等于集中力偶矩的大小。 根据以上规律以及通过求出梁上某些特殊截面的内力值，可以不必再列出剪力方程和弯矩方程而直接绘制剪力图和弯矩图。例8-5 绘制如图8-15(a)所水梁的剪力图和弯矩图。解：(1)求支座反力。取梁AB为研究对象，根据静力平衡方程 ， ，得 ， (2)分段。根据梁上载荷，将梁分为AC，CB，BD三段。用C和C+表示无线接近截面C的左右侧横截面，B点类同。 (3)画剪力图。计算各段起止点横截面上的剪力值。绘制出剪力图，如图8-15(

9、b)所示。 (4)画弯矩图。AC和CB段的弯矩图是斜直线，C处有集中力偶，弯矩图在截面C处有突变，求出以下各分界点的弯矩值。 ， 绘制弯矩图，如图8-15(c)所示。最大弯矩发生在截面B处， 。8.4 载荷集度、剪力和弯矩的关系 分布荷载集度(q)与剪力(FQ)、弯矩(M)之间的微分关系 如图8-16(a)所示，粱上作用有任意分布荷载，荷载集度为q(x)，并规定向上为正。现以梁左端为坐标原点，用坐标为x和x+dx此处的两个横截面，由梁中截取微段dx。微段上的分布荷载q(x)可视为均匀分布，左截面上内力为M(x)和FQ(x)，右截面上则为M(x)+d M(x)和FQ(x)+d Fs(x)，假设内

10、力均为正值，如图8-16(b)所示。由微段的平衡条件，有 ，FQ(x)+ q(x)dxFQ(x)+d FQ(x)=0可得 （8-1）而对右截面形心O，有， ， M(x)+d M(x)M(x) FQ(x)dxq(x)dx =0略去二阶无穷小，得 （8-2）由式（8-1）和式（8-2）又可得 （8-3）以上三式就是剪力FQ(x)、弯矩M(x)与荷载集度q(x)之间的微分关系式。例8-6 一简支梁如图8-18所示，试用剪力、弯矩和荷载集度间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。解：（1）求约束反力，得 ， （2）作剪力图，各控制点处的剪力值可由简便法计算如下： FQA右= FQC左=60kN FQC右=

11、 FQD左=20kN FQB左=20kN作剪力图如图8-18(b)所示，从图中确定FQ0的截面位置。（3）作弯矩图，各控制点处的弯矩值可由简便法计算如下； MA=MD右=MB=0 MC=60kNm MD左=80kNm在FQ =0截面弯矩有极值：ME=10kNm画出弯矩图如图8-18（c）所示。8.5 平面弯曲梁横截面上的正应力 8.5.1 纯弯曲、剪切弯曲的概念 般情况下，梁的横截面上同时存在着弯矩和剪力两种内力。由于弯矩M只能由法向微内力 合成，剪力FS只能由切向微内力 合成，因此，梁的横截面上通常同时存在着正应力 和切应力 。这种平面弯曲称为剪切弯曲 (或横力弯曲)。如果粱的横截面上只有弯

12、矩，而剪力不存在，这时横截面上将只有正应力而无切应力，这种平面弯曲称为纯弯曲。 8.5.2 梁的纯弯曲实验及简化假设1.几何关系 为便于观察变形现象。采用矩形截面的橡皮梁进行纯弯曲试验。实验前，在梁的侧面上画一些水平的纵向线和与纵向线相垂直的横向线，如图8-21（a）所示。然后在梁两端纵向对称面内施加一对方向相反、力偶矩均为M的力偶，使梁发生纯弯曲变形，如图8-21（b）所示。从试验中观察到： (1)变形前互相平行的纵向直线，变形后均变为圆弧线，且靠近梁顶面的纵向线缩短，而靠近梁底面的纵向线伸长。 (2)变形前垂直于纵向线的横向线变形后仍为直线，且仍与纵向曲线正交，只是相对转过了一个角度。 根

13、据上述变形现象，可对梁内变形做出如下假设：梁弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，且仍与纵向曲线正交，称为平面假设。 根据平面假设，梁弯曲时，顶部“纤维”缩短，底部“纤维”伸长，由缩短区到伸长区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴(图8-22)。由于梁的变形对称于纵向对称面，因此，中性轴z轴必垂直于横截面的纵向对称轴y轴。至于中性轴在横截面上的具体位置尚待确定。 现在，我们来研究纵向纤维应变的规律。为此，用横截面m-m和n-n从梁中切取长为dx的一微段，井沿截面纵向对称轴与中性轴分别建立坐标轴y轴与z轴图8-23(a)。梁弯曲后，坐标为y的纵向纤维ab变为弧线

14、 图8-23(b)。设两截面的相对转角为 ，中性层的曲率半径为 ，则纵向纤维ab的线应变为 （a） 上式表明，纵向纤维的线应变与它到中性层的距离y成正比，而与z无关。这也表明，距中性轴等距离各点处的线应变完全相同。 2. 物理关系 假设梁在纯弯曲时各纵向纤维之间互不挤压(称为单向受力假设)，则每根纵向纤维的受力类似于轴向拉伸(或压缩)的情况。当正应力不超过材料的比例极限时，应满足胡克定律，即 （b） 可见，正应力沿截面高度呈线性分布，而沿截面宽度为均匀分布，中性轴上各点处的正应力均为零。 3. 静力学关系 根据以上分析得到了正应力分布规律的公式(b)，但由于在该式中中性层的曲率半径以及中性轴的

15、位置还不知道，故还不能由式(6)计算正应力。这些问题必须利用静力学关系才能解决。 纯弯曲时，横截面上各点处的法向内力元素构成了空间平行力系，它们应满足如下的静力平衡条件(图8-24)： （a） （b） （c）将式（b）代入式（c），得可见，有Sz=0,这表明中性轴z必须过横截面的形心，由此确定了中性轴的位置。将（b）代入式（d），得由此得到Iyz=0，由于y轴是横截面的纵向对称轴，所以该式自然满足。 将式（b）代入式（e），得由此即可得到中性层曲率 的表达式 （8-4）式(8-4)是研究弯曲变形的一个基本公式。从该式可知，在相同弯矩作用下，EIz越大，则梁的弯曲程度就越小，所以，将EIz称为梁

16、截面弯曲刚度(或抗弯刚度)。将式(8-4)代入式（b），得 （8-5） 这就是等直梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。式中，M为横截面上的弯矩，y为所求正应力点到中性轴的距离，Iz为横截面对中性轴的惯性矩。 由式(8-5)可知，肖yymax时，即在横截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为令则式中，Wz是一个仅与截面形状和尺寸有关的量，称为弯曲截面系数(或抗弯截面系数)，其单位为m3。 对于高为h，宽为b的矩形截面，其弯曲截面系数为 对于直径为d的圆形截面，其弯曲截面系数为 对于内、外径之比为 的空心圆截面，其弯曲截面系数8.5.3 纯弯曲时的正应力计算例8-9 图8-25所

17、示梁的工字形截面，由中间的腹板与上、下翼缘所组成，试计算该截面图形对轴z的惯性矩Iz。解：视工字形截面图形由矩形I、II、III所组成。矩形I的水平形心轴为z1，由式(8-8)计算得矩形I对轴z的惯性矩为 =3.6210-7m4矩形II的形心通过截面的轴z，对轴z的惯性矩为矩形III对轴z的惯性短与矩形I相同。于是，工字形截面对轴z的惯性矩为 =8.0910-7m4 例8-10 圆轴在A、B两处安装的滚珠轴承可简化为铰支座，所受载荷和载荷作用的位置如图8-26a所示。己知圆轴的外伸部分是空心的，试求圆轴在载荷作用下横截面上的最大正应力。解：由圆轴的静力平衡方程计算出铰支座A、B的约束力为 FA

18、=2.93kN，FB=5.07kN画出圆轴的弯矩图如图8-26b所示，可以看出，在横截面C上的弯矩为最大，有可能产生最大弯曲正应力。但是，圆轴B处铰支座以右一段为空心截面，这就意味若在横截面B上的弯曲正应力也可能为最大。由此计算圆轴横截面C和B上的弯曲正应力为 =55.2MPa =52.9MPa圆轴在载荷作用下横截面上的最大正应力为 。 8.5.4 剪切弯曲时横截面上的正应力公式 等直梁剪切弯曲时，最大正应力发生在弯矩最大的横截面上，其值为 （8-9） 等直梁的最大弯曲正应力一般发生在弯矩最大的横截面上离中性轴最远的各点处。而该处的切应力一般为零或很小，因而最大弯曲正应力作用点可以看作处于单向

19、受力状态，于是可以仿效轴向拉压杆的强度条件来建立梁的正应力强度条件 （8-10）即要求梁内的最大弯曲正应力不超过材料在单向受拉压时的许用应力 。 利用梁的正应力强度条件式(8-10)，可以进行以下三种类型的强度计算： (1)校核强度： 。 (2)设计截面：对于等直梁，强度条件可改写 Wz利用上式求出Wz，然后根据Wz与截面尺寸间的关系，即可求出截面的尺寸。 (3)确定许可荷载：对等直梁，强度条件改写为 Mmax由上式求出Mmax后，再利用Mmax与外荷载间的关系即可设计出梁中的许可荷载。8.6 梁的正应力强度计算8-12 T形截面的铸铁梁如图8-28a所示，铸铁的许用拉应力 =30MPa，许用

20、压应力 60MPa，T形截面尺寸如图8-28b所示。试校核梁的强度。解：（1）求约束力并绘弯矩图由平衡方程 , ,解得 绘弯矩图8-28c所示。由图可得（2）确定截面形心位置，计算惯性矩Iz。选z为参考轴，则上下边缘距中性轴的距离为 y1=52mm，y2=88mm故惯性矩为 =763104mm4 (3)校核梁的强度。由于此梁横截面相对中性轴是非对称的，材料的抗拉、压强度又不同，所以对梁的最大拉应力和最大压应力均应校核。由于截面上的最大抗应力和最大压应力随弯矩的正负而变化，因此危险截面可能是最大正弯矩或最大负弯矩所在的截面。拉应力和压应力的危险点可根据两截面的弯矩数值和边缘点距中性轴的距离确定。

21、 B截面从M4kNm，B截面上拉下压；C截面Mc2.5kNm，C截面上压下拉，通过对此分析可以确定压应力的危险点一定是在B截面下边缘，而拉应力的危险点可能是在B截面的上边缘，也可能是在C截面的下边缘。这样就需对以上三点进行强度校核。B截面 C截面 故该梁的强度足够。 8.7 弯曲剪应力简介8.7.1 矩形截面梁横截面上最大切应力的计算公式 对于矩形截面梁的任意截面上，剪力Fs皆与截面的对称轴y轴重合，如图8-30(a)所示。关于横截面切应力的分布规律，作以下两个假设：横截面上各点的切应力方向都平行与剪力Fs；切应力沿截面宽度均匀分市，即各点切应力的大小与距中性轴z的距离y有关，与截面宽度b无关

22、，如图8-30(b)所示。 矩形截面梁，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。在上、下边缘的各点处，切应力等零；最大切应力发生在中性轴上，最大切应力公式为 （8-12）式(8-12)说明，矩形截面梁最大切应力为平均切应力 的1.5倍。 8.7.2 常见的典型截面梁横截面上最大切应力的公式 矩形截面梁最大切应力发生在中性轴上，同样，工字形截面梁、圆形截面梁和圆环形截面梁的最大切应力也发牛在中性轴上，如图8-31所示，其值为工字形截面 （8-13）圆形截面 （8-14）圆环形截面 （8-14）式（8-12）中，A=ht；式（8-13）（8-14）中，A为横截面面积。8.7.3 梁切应力的强度条件 粱的

23、切应力的强度条件为 （8-15）式中，为梁所用材料的许用剪应力。 梁是否正常工作取决于弯曲正应力。满足弯曲正应力强度条件的梁，一般情况下都能满足弯曲切府力的强度条件。只有在下述一些情况下，要进行梁的切应力的强度条件校核：弯矩较小而剪力Fs却很大的梁；薄壁截面梁；梁的几部分经焊接、铆接或胶合而成，对焊缝接、铆接或胶合面等要进行剪切计算。 8.8 梁的变形8.8.1 梁变形的概念 直梁在平面弯曲时，它的轴线由原来的直线变成了一条连续而光滑的曲线，称为挠曲线。为表示梁的变形情况，以变形前梁的轴线为坐标轴x，在梁的纵向对称平面内取与轴线x相垂直的轴为y轴，向上为正，建立坐标系Oxy。梁的基本变形可用挠

24、度和转角两个基本量来表示。 1. 挠度和转角 挠度y梁横截面形心在垂直于梁变形前的轴线x方向上发生的线位移y，称为挠度。 转角任一横截面在弯曲变形过程中绕中性铀转过的角位移称为转角。转角的符号规定是：逆时针转动为正，顺时针转动为负，转角的单位是rad。一般情况下，各横截面的挠度是不同的，因此可以把截面的挠度y表示为截面形心位置x的函数，即 y=f(x) (8-16)式(8-16)称为挠曲线方程，挠度与y轴正方向一致时为正，反之为负。2. 挠度与转角之间的关系 （8-17）式(8-17)称为转角方程，它反映了挽度与转角之间的关系，即任意横截面的转角等于挠曲线在该截面形心处的斜率。 8.8.2 用

25、积分法求梁的变形8.8.2 用积分法求梁的变形1. 梁的挠曲线微分方程 （8-18）式(8-18)为确定梁的挠度和转角的微分方程，称为挠曲线近似微分方程。式中的正负号与弯矩的正负规定一致。 挠曲线近似微分方程又可写为 （8-19） 对方程积分，可得转角和挠度y。2. 用积分法求梁的变形 8.9 提高梁承载能力的措施8.9.1 合理布置梁的支撑和载荷8.9.2 采用合理的截面形状8.9.3 采用变截面梁 小 结 本章主要讨论了梁在弯曲变形时的内力，包括弯矩和剪力的大小及符号的规定，弯矩和弯矩方程的建立，剪力图和弯矩图的绘制方法；讨论利用裁荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系快速绘制和检查剪力图和弯矩图的方法及利用叠加法绘制梁的内力图；梁横截面上的应力分布、应力计算公式和强度计算。 (1) 梁的简化和基本形式 梁的支承情况和裁荷情况各种各样，通常用一个计算简图代替梁。在分析梁的内力和变形时，用梁的轴线来代替梁。梁上的作用载荷可简化为集中力、集中力偶和分布载荷；常见的梁的支座有固定端、固定铰支座及活动铰支座。根据支座的不同，静定梁有三种基本形式，即简支梁、悬臂梁、外伸梁。 (2) 剪力和弯矩 1) 梁横截面上的内力可用截面法求得。某截面上的剪力在数值止等于该截面一例所有外力的代数和，截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 2) 剪力和弯矩的