第12-19届北京市大学生数学竞赛全部试题解答

1、第十二届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛本科甲、乙组试题C2000 年 10 月 14 日 上午 9:00-11:30 ) 准考证号 姓名 学校 注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题. .填空题(满分20分，甲组限半小吋做完.于9 30收回)u r o tall x+/?(l-cos a)fzInn =2，则= ln(l - lx) + c(l - f )n =0,且当 x = 0 时，2 = sin y:当 y = 0. z = siiix,则 程为 . 程为 . TOC o 1-5 h z 没数列fx;满足：nsin-xn 0 f 一 1设/(j)满足 f(tx)dt = /

2、(x) + xsinxj=0 11打一阶导数，则当 吋，f9(x) = o没C足从球面r + y3 + z2 = a2上任一点到球面A2 + / + z2 = b2上任一点的任一条光滑曲线 (a0，/?0)，则 jI-3(xdx + ydy + zdz) =.其屮 r = x2 + y2 + z2 c二、设/(x)足(0，+的)上递减的连续函数，且f(x) 0，证明数列an收敛，其屮 三 没s为椭球|ftly+-+z若函数an7在x=0处可导.则正粮数的敁小值为 10J=o 设由y轴、若函数an7在x=0处可导.则正粮数的敁小值为 10J=o设由y轴、y = x2. y = a(0al)所M的

3、平而阁形,由y = a. y = x x = l所围的平而阁形都为原点到平而n的距离.求/ = jjz绕y轴旋转所得旋转体的体积相等，则6/=绕y轴旋转所得旋转体的体积相等，则6/=. spq、没一元函数U=f( r)当0 r0, r-0 x五、没w = /(x，)，z)，证明f(-l)/()收敛，/()发散一个冬季的早辰幵始卜雪，且以恒定的速度不倥地卜一台扣雪机.从上午8点开始在公路上扫雪，到 9点前进了 2公里，到10点前进了 3公TL假定tl雪机付小时扫去积雪的体枳为常数，问何时开始卜雪？ 以下两题乙组同学不做 f(x)在W区川卩，门有连续的二阶导数.且f(a) = f(b) = 0,当

4、xe(a,b)吋.f(x) 0 .证明：九、f(x) = anx + -+x+aQ&实系数多项式，n2.且某个ak = 0(1 k n-l)及当i本k时，a*0,证明：rf(x)Hn个相讦的实根.WH 0 第十三届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛本科甲、乙组试;2001 年 10 月 13 日 上午 9:00-11:30) 准考证y-姓名学校 注意：本考题共九甲组九全做.乙组只做前七题一、填仝题(满分20分，卩织限半小吋做完，T 9 30收回)x2 0 x-ifn s(x) = + cos nnx 2-x+的ifn s(x) = + cos nnx 2-x+的，K 屮l-x -X0)，?V

5、y = /(x)的一个拐点是(a0,3),则 dxp= 5. y = =,5. y = =,则)，(10yjl-XA=0 TOC o 1-5 h z j f_设/只有一阶迮续导数.且/(0) = 0,/(0) = 1, Wijlini A-0 J.、(7_20 设q为区域x2 + r+z2l为正幣数，a;，足(1 + .r)如屮妒的系数，则它丄=0n二、没/(x)在0，1】上只有二阶导数.且/a)= /(O)=/a)=/(O)=O.证明：存在l. 证明翻aj她(2) ann2.。)醐四、从Lilli aABC的内部的点尸14边作二条市线，求使此二条乖线长的乘积为记人的点P的位筲 五唁微_醐及_

6、数六、设柯一半径为尺的球形物体，Jt内仃:怠一点P处的体密度p = i，其屮G为一定点，且到球心的距离4人丁尺,求该物体的质吊:当一架超&速IS机在商空沿水平方liij以速度V作H线匀速飞行时.由飞机的速度比&速快，所以人 们常常是先肴到IS机在空屮掠过.片刻之后才听到误坏的隆降卢.那么在M-时刻，大空屮的什么区域可 以提到6机的和音呢？（设兩音在空（屮的传播速度为v0,v0l00九、（1）构造一正项级数，使得吋用根仇中敛法判定H:敛散性，而不能m比侦屮敛法判定敛散性. 2）构造二级数和匕，使得iiiiA=/rr在，no|/|0 为常数.则 j exedx =且孪=(4-)/(戶0)，f y

7、= f(x)的一个拐点是(戈，3)，则（i + x4）i/i+x9-没彻只有一_续导数.且/(OXHOW则以-(P() 1 七、设 1七、设/W是0,1】上的连续函数，证明，e,Mdxefdyl10. &m 1为正整数.a/，是(1 + x)n+m屮x的系数，则X =二、设/(x)在0，11 上H.有二阶导数，且/0) = /(0)=/,(1) = /(0)=0.证明：存在 ，準位，盂分别增加单位和单 位的投资.这时销总收入将增加3x+4y单位.现用A单位的投资生产这两类产品.问如何分妃投资， 才能使销总收入增頊鉍人？n4四、设化=taun.vJ.v,l./i.从已知ABC的内部的点P向三边作

8、三条通线，求使此三条垂线K:的籴积为最人的点P的位莨六、求的收敛区问及和函数( + !)!第十四届北京市大学生(非数学专业)Ip/学竞赛第十四届北京市大学生(非数学专业)Ip/学竞赛本科甲、乙组试题2002年2002年10月13日准考证弓. 姓名 学校准考证弓. 注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题. 填空题(毎空2分，满分20分)1.limn-a1.limn-a ,其中aQ，b0为常数，且办类1矜函数/在x = l处可导，几/=1则lim.厂& + )+ 0+28111 v)-(i-3tanA) a-or3. 3. 没不繼的结果屮不含反應数.则= 4. 4.2k n + nen

9、函数w = yjx2 + y2 + z2在点A/(1,1,1)处沿曲而2z= x2 + y2在点M处的外法线方14 n的方14导数 J JaJe2dy = -1 1*1没/(x)迕续，且/(0) = 0, F(r) = Jfz2 + J(.r + y2)dxdydz .其屮 Qf: x2 + y2 /2,0 z 1,Q. 的时，4 =C1C中劃周= &与？为同阶无削、，则 没曲面Z 为a2 + y2 十 z3 = 4,则jj(x2 + y2)J5 = 10 女!+(女+1)!十(人十2)!二、设/(.r)在W区|川0， I.几仃：阶牙数，n.在开xfii (0,)内达到足小依，又|.厂(.v)

10、|A/Ue0，a)， 证明:|/(0)| + |/(a)Ma.叫、没/(W)只有迮续导函数，计/ = /(+ - /(+ zdxdv，z y y x y其屮2是y = x2 + f + 6,y = 8- x2 - ?所阳立体的外侧 (?)五、已知 j f (x，y)dx + x cos ydy = r, f(x，) 一阶述续偏牙数，求 /(a，少).(0,0)六、己知方ffi (6y+x2y2)dx+ (8a + y)dy = 0的两边乘以y3f(x)便成为全微分方程，试求出uj导函数 /(x),并解此微分方程.七、根据经验，-架水平 W的 讓，其降落曲线为一条三次抛物线如阁.已知匕机的1S行

11、髙度为A. 机的若陆点为原点a.且在整个降落过程屮.机的水平速度始终保w看常数w，出r安全考虑，t机埵 貞方14的加速度绝对侦不得超过I,此处g为取力加速度10u) r:飞机从x=Ao处开始卜*降.试确定其降落曲线：C2)求开始卜降点凡所能允许的敁小ffi以下两题乙组同学不做八、设函数Z = f(x,y)有二阶连续偏导数.M 0,证明：X4任意常数C. /(x，v) = C为一克线的先分必盟条件是(f;. )2 /： - 2f：f；f：y + /；(/：)2 = 0co -.4九、设函数z() = X1)求 2(0)，2(1)和 Z(2)的值2)试证当*取il:数时,Z(幻亦为正整数本科丙组试

12、题2002 年 10 月 13 口 上午 9:00-11 30) 准考证弓 姓名 学校 注意：本试题共七题一，填空题(毎空2分，满分20分)11. Iim(cosx)v vOx4 + x4 + ax- 3 &fM = Q，8. : hQ，则当 之frt足人.3. 荞函数 f(x) 在 x=i处可导.且 r(i)=ilim /(I + x) + /(I + 2 sillx) - 2/(1 -3tan v) x-or 4.卿分的结果屮不含反正切函数.则戶 |sin2002 x . 5. jsin.r+cos2002 !- 6-憋g1 n + ne lim -tjdxedy = -i He,Zjdx

13、edy = -i H岡(x- R)2十/ = r2(0 r 尺)绕y轴旋转一周所成岡环体的体积V =. 证明曲+Jy=72上任一点的切线的横截距与纵截距之和等12三、设某产品的成本函数为C(7)= 72 + 2Z7 +/?. 求函数为 = 1(4-p).其屮C为成本.z?为求黾(即产鼠)，p为该产品的单价，a,/?,/都是正常数.求利润敁人时的产黾四、证明：五、没/(.r)在W区问0,a上只有二阶导数，且在开区|Hl(0,n)内达到鉍小ffi.又fx)M(xe0,a), 证明：|/(。)|+|/(a) 2)，1)证明(|r_1 f 2“：2)级数f _L和V收敛？为什么？Sin/；七、设平而区

14、域D = (x,y)| y 1,-1 l)上的任意迮续函数， 试求 jj 2 vt(AH.l)/(,r) + (x- l)/(-x Wv第十二届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题答案一、填仝题:1 -4：2. sill x+siny: 3. 2e: 4. (0, 6)：5 (e-1) ；6 )一)， = 0:67. 1；8. 0；9. -2siilA-ACOSX :10. j(/5-0,知h界综上所述，由甲调釘界必W极限t-11k可知数列收敛PU Z)=-三、解：没切平面上的点为x,y,z),则平而；f的方程为令PU Z)=-,由 S 的方程 Z= 1- -,得 p(.r，v，Z)= =，以

15、及 V 224 - .V - y由对称性同理可拊：pq、解：由尝=/V)營，故 =r(r)-+r(r)l由对称性同理可拊：2 2222 2 2 2$=尸+尸二1，=尸(，)|7+尸二 代入方程，衍厂+ |/W = o这是 可降阶的髙阶微分方程，故令f(r) = p(r),得rp, + 2p = 0解得p占，则，(0 =马,积分得/(r) = C-i，代入初始条件得/(r)=l-. rrrr五、证：利用球坐标.则w = f(x,ytz)= /(rsin供cos沒，rsin史sin沒，rcos的 令f = r.则 f： = t.xj； = tyj； = tz，F 足二=f. r (一 sn0)sn

16、(p+ f:r cos sin(p= txr(- an 0) sin(/+ tyr cossiii(p=，(一 A) + xy) = 0: d3=f / coscosf/ r iin(p=tr (cor(pcos (/k an2 sii xx)s - sin )cas=tr2 (sin 沪 cos 炉一 sin 炉 cos 炉)=0 故w仅为r的函数.六，证：由W/(0) = 0,/(0) = d又由/在义=0的某个邻域内有一阶连续导数，及 r- X广(0)=a0，知存在0 ,使衍在(0,J)上尸0 .于是存在/V ,使得 TOC o 1-5 h z 1 1 1 1 1 Vn/V，/(-)0，

17、/()/(-), niim/(-) = 0， 0 故 2/(-)发散.n nnnn=I nii七，解：设h(t)表示从幵始卜雪起到时刻Hl、t的积雪深度，则由卜雪的速度是恒定的. =C (常数) d/.v(r)为扫雪机从幵始卜雪起到时刻/走过的距离.则山假定扫雪机毎小时f l去积雪的体积为常数.有妇 雪机前进的速度与积雪深度成反比.up=y.其屮为常数没r为开始F雪到妇雪机启动丁作这段时 cl/ h间.则当 t = T 时，x=Ot 当 t = T+l 时，x=2, t = T+2 时，x=3 是山=C, h = Ct + C. d/ TOC o 1-5 h z kdr Ak因r = o时.h

18、 = o,故c1 = o.从riuh = ct把它代入土=士，于是=-(A = -为常数).分离变黾 d/ /?di tC后积分，得x=Alnt + B(B为任怠常数)把t = T吋，x = 0, t = T+吋，x=2, t = T+2时，x = 3代AhiT + B = Q入有y41ii(T + l) + B=2 ,解得r = i0.618 (小时)，约等予37分5秒，即雪是从上午7点22 An(T + 2) + B = 32入有_，故只证微|洲-miw|/(.v)| = y|/(Ao)|,.Vo * a，b. Xj/(.t)在【a，.r0】分别用拉格朗曰屮j|/XA)|dv j|rw|d

19、v /-(x)dv = |/*()-/)|九、证明:K /(i_1)(x) = Co + C2Jt2 + + Cxn-k,这里 Co = (k-iy.aC. =由罗尔定理，在承数的两个岑点之问其异数在某点为璀,W此f(klx)有n- + l相讦的实似.Ifu f(kx)n-k个实根，且fw(x)的根位r/Cv)的毎两个相邻根之问假同号，不失一般性可从rfuC0,C20,则fklx)在点x = 0左方 减，右方増，而广)(0) = 0,广-1)(0) = (7。0为极小值矜/(A)无Jt它根，则到处有(0) = 6；0, Wlfu/(Cv)也无实根，矛盾！矜气是/w(.co 0,这与/a_1(A

20、)在 此区叫上存在报扣矛质！第十三届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题答案一、填空题：31.2;2. 一 ；3.;84. Z? = 3：3917!X6.7 *.210，w8 人+A+人）15 a- b_ c-:9 4x-z-2=0； 10mw-1二、作辅助函数F(x) = (/(x) + /r(x)x或F(x) = (/(x)-/W)ev，则F(x)在0, 1上满足罗尔定理的条件，且F (x)=(厂(J) - /(%)厂或广=(/-厂(X)，则由罗尔定理的结论知存在 o(o，i)，使得广=o,即/()=m（1）当0 j 时，0tanjl，0tan:+1 xtannA：， 4单调递减有K界，从

21、而收敛tan-v（tan + l）dv=? /卜1 .中-凋递减及(2有，lan att + atl =，即有an _- 同珂介 -/卜 12(/卜 1)叫、解：设三边的长分别为a，b，c，从尸所作的垂线分别为ABC的而积为5，J是令F: = )7 + =0 F: = xz +Ab = 0 F；=xy+Ac = 0 ax+by + cz = 25解Wx=,y = F: = )7 + =0 F: = xz +Ab = 0 F；=xy+Ac = 0 ax+by + cz = 25解Wx=,y = r = Hj问题的实际意义，/确有鉍大tfi,故当尸到长为X=,J = ,Z = 3a 3/? 3c3

22、a 3b 3c吋，三垂线长的乘积达到最人xyz,ax+by+cz = 2S , F(x,y,z) = xyz + A(ax +by+cz-2S) 9 令、五、解：由 lim (+1)3(+1)L0 ， 一 ir(n+2)1见R =的，收敛区pij为（-co，+的），又_二）丄.得以(+ 1)! 2 么(，卜 2)! n!ffe(n + l)!-%斤(-义广2丨f 1兮(- | = r + r-2rr0 cos，则该物质的质诏 TOC o 1-5 h z w= fff狀卜?_?+?+?/?2 r 0 o o o7r2 + ,o -2r,ocos4 r 厂：, 4 r4/?3=rdr + G -

23、2i7cosp ar=rar =.0 0f0 Q0七、解:以r = 0时飞机的位罝作为坐标原点，以飞机飞行的方向作为jc轴，逮立空间直角坐标系设/ = a 时达机的位置在A（va，0,0），考虑此时能听到飞机卢的范ffl.在时fuJOJ内任意时刻J.飞机作为一个主 声源，都在发出球Ifli波，这个球Ifll波到?时刻的波前t衿为V0（a-5），球心位筲即为.?时刻匕机的位莨 故波前方程为 (x (x - vs)2 + y2 + Z2 = Vo(a-5)2(0sa)(x (x - vs)2 + y2 + Z2 = Vo(a-5)2(0sa)由r在t = a时卢&不会超出这些球而，所以这个球Ifi

24、i族所允斥的区域就足所能听到飞机的区域，而在球 而族之外，则听不到飞机的辫音.V2 一为了消去参数s，(*)式两边对J求偏导，得v(x-vj) = i(a-s) .s= VX V2 一loV-%，代入(*)得y +这是一个以 A(va，0,0)为V-%顶点,x轴为对称轴的圆锥面，即我们所求的马赫锥方程.八、证：&D = (x,y)0 xt0yl+/(x)-/(y),故e-/)dvdyI1 1 1 1 1 1 1(1 + /(a)- /(y)dy = j dvj dv + j /Cr)dvj dv 一 J dvj/(y)dv = 1 00 0 0 0 0 0 0另一方法:e/(x)e/(x)dv

25、 e-似4、，=似-則 dvdj=JJvWWdvd.v = -JJe/(xW(v) + e儿vW(AdYd) -jj2dxdy = 1 DDD九、解:级数g学 学二卜，緬数收敛.，彆，!鵠?不存在2)* 注意到2)* 注意到收敛，而CD 1麵第十三届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题答案一、填空题:1、冗.12 . 4 Y.5 r(o+30)+/7w(o：In34 d2 b2)6: (a + i)e_a 7/? = 3 ； 8. -=J=:9, 2：iji77in10 ./w 1.、同甲、乙组第二题试题答案三，没这两类产品分别用单位，则由题意即求函数Mj,) = 3x- + 4v2在条件x+y=

26、A, x0,y0 F*的最大值.利用拉格朗日乘数法求得x = $A，y = A是唯一驻点，但是L(*4,争A) = A2, (0M) = 4ALM，0) = 3A2,故当x = Q,y=A时，才能使总收入増黾人为4A2.pq五pq五A七、同甲、乙组第四题试题答案.、同甲、乙组第五题试题答案、M甲、乙组第八题试题答案第十四届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题答案、填空题:1. 4(ib 1. 4(ib :9；3. -1: 4. arctan e5.6. e-1；7. -； 83310128/r109 3:、由题设知存在ce(0，a),使/为/(a)的最小值，从而尸(0 = 0.对导函数尸在0，

27、c与【c，a分別用拉格朗日中值定理，得/(c)-r(0)=-尸(0) =名 c，/-/(c) = f(a)=a.f-|r(0)|A/c,从而|广(0) + fa) cosx-sinx tf cosx-siiix t ? cos a-sin x t t n、二、证： 5= v+ ax(u =x)n cos.r-sin.rn cos.r-sin.r 444. r Sin/ - COSH . r COSX-S111X ./ sinx- cosx f， 0。(l+X2)l+(y-X)2 叫、解：设Q足S所Ifl的区域，它在Ifll上的投影为X2+221,由高斯公式衍:=較I dvdv(t TOC o

28、1-5 h z =Jff -4 f r-)- A- /r(-)+Mdxdydz = jjf ckdvdz， nJ y y y yq2n 1 S-r1利用杜坐标可以算得：/= JJ j rdvdrd = n0 0五、解:由 cosy=/:(x，y). S/Cv,.y) = sin y+C(a).而 (M2)iflj siii y + C(x)dr + xcos ydy = r .即 JC(.)dv + jf cosydy = f， _oof|c(.r)dv+rsinr2 = r .两边求导得 C(/) = 2/- sin r - 2r2 cos/2, r 是得 0f(x，y) = sin y +

29、 2x sin x2 一 lx2 cos.v2六、解：= (6/ + y5)/(.r),e(x, _v) = (8a/ + .y)/W .山 f = f 份(8.V3 + 3xy )/(x) + (8分3 + x3y4)f(x) = (24y3 + 5x2y4)/(x)，fl 去 / 得16./ (.0 - ZxfXx) + )f2 %7(.v) - x3f卜 0 .于是有IL全微分方稅为IL全微分方稅为(6.r4 + x2y5)Cix2dx+ (8x)3 += 0.(a，y) = J* (6x4+xWck+(8.x+?y4)rdv=jodv+ | (8.n3 +).rdv = 2.x3/ +

30、 -(ao)o o故微分万的通解为lO.v3/ + / = C七、解：(1 )设降落路线dA的方稈为y = a.e + bx2-cx+d ,则巾)，(0) = 0,y(0) = 0及)(戈)=)(Ao) = 0c = / = 0，a =-三$，/，= $J足S的方程为J足S的方程为y=-4-r3 + Ao3/?.入.0 v02)w为里h方向的速度人小为卷所以里直方向的加逨度大小为由醐窄i,即/_ 所以允许下降点4由醐窄0,从而等式成立册性因为o.故由隐函数求导公翊=醇關代入芸=一，即有代入芸=一 = f=(vK.n=0 Hl其屮 A(a-) Hi,/；(.r)三 x,Pk(x) = At/：,

31、(.)+/_,(A-) Pk(x)玷正幣数系数多项式，巾6得Z(幻3d:整数.n=0!故G玷正整数，而第十四届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题答案、填空题3.9: 4. -1；3.9: 4. -1；5.-46 _ne+ 7 e-b 8 H 9 r 10 、(x0,y0)j曲线上的任意一点，则+ = 2.曲线方程两边对a求导，得-L+-y = Ot 解出/ = -#,则曲线在点(.vQ，ye)处的切线斜率k =-畢，切线方ffi为y-% = - AAy = o,得切线的横鉞距为.Vo + 7令*=0,得切线的纵截距为y0 + 4，所以切线的横截距与纵截距之和为令y = o.得切线的横距为+ TV

32、o + )fl +=(V +Vyo)2 = 2L、由 = (4- p),得 p = 4-yq，因 ifu总收入函数 R(q) = pq= q(4 - yq),且总利润 7L=Rd C(q) = q(4-/g)- (acf + 2+/?) = -( + /)q26q+p，且由W-( + /)0 时，乙(7)有最人ftt 由 Lq) = -2(a + /)q + 6 = 0 ,解得唯一驻点 / = ，且由tz + 7 Lrf(q) = -2(a + /)0 .知q = -是的极人侦点，因而当产q = -时，总利润ZXW取得 o,且单增.因此 = _1 + /；_2 !/；_, 222”-卞=2“，

33、另一方而，由 Fn_x (|)2(|广 =(昏广 1，即有200 1111 C2)由(1)知：可见x发散F” 3FnluFzr (n-l)ln 2glnf； 第十五届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛本科甲、乙组试题C2004 年 10 月 10 II 上午 9:00-11:30)准考证3 姓名 学校 注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题. 一，填空题(毎题2分，满分20分1.在x = 0的附近与函数/(a) = secx的差为x2的高阶无穷小的二次多项式为 解疢填 1 + x2 因为/(0) = 1，/(0) = 0，尸(0 = 1,由泰勒公式知：/(x) = l + yx2没曲

34、线)= f(.x)与没曲线)= f(.x)与y = sin x在原点扣切，则极限lim解：应填W .因为/(0) = sin 0 = 0, /r(0) = (sill xy|xXJ = 1由导数的定义知n =a/2 7/ (0) =Z = fy) = sin xyn =a/2 7/ (0) =Z = fy) = sin xy cos yjy + 2 - (y-1) cos x1 + sinx+ sin(y-l)，则尝dy 0,1)解:应填-1.因为人:(0，l) = lim 7=lim hi 没/有连续导数且lini 2 = a0,又F(x) = j(.r-，当%-0时F与x”足M阶无穷小，则

35、= XX解咴填 2. W 为尸= x2j f_ - j,a0,/(.v) ar .注意到002/尸=0,2/尸=0,F(.v) = 2xj f (t)dt 十 x2f (.v) - xf (.v) - -xf (a) - -ar，故=2.没二阶线性微分方程/ + p(x)y + q(x)y = f(x)有三个特解为=ex y2 = ex +. y3 =+ f，则该方柷为. 解 迎填/ += 因为y.-Vp-v,足对应的齐次方程的解，代入齐次力程可求得p(x) = |,(A)= - |W将y,代入te方程可彷f(x)=没MW 数J=x(0巾方程sinf- J(p(u)du = 0所确定，其中吋导

36、函数喇 0 R炉(0)=0 (0) = 1，则，(0)= 解应填-3 .因为将/ = 0代入方程，可得x(0) = 0 在方程两边对/求导，得cos/-.v(/)/(0+0 = 0 J-是得V(0) = 2，在此方程两边对f求导,得-sin/-/)广一zK4r)r(0 + 州 =0，j足可得X (0) = 一 32 ,D全平面，则 jj f (x)y(y-x)dxdy = 解:应填(L-cos2)2.因为/W/Cy-A)仅在区域D,:.r A + 2,0 a2 内非零,V+2jj f (v)f (y-x)dxdy= f (x)/(y-x)dxdy = jdx | sinxsin(y- xdy

37、= (1-cos2)2 D10 x8设二元可微分。数/在点p处有 0 时 1 - ln(1 土 幻 -x x 2所以limp= Lr = 1.8知x = -l时级数收敛，x = lM级数发散 10.没连续非负哦数满足/(a)/(-x) = 1(-W x +oo) J|J | ” dx =. 51+/CO00a*21，办0，求a，Z?hV满足的条件解设/(A) = lOg, X-.?( fx) = 1 -.驻点礼=xina当0又0，/W单增，当x0 x+ Qr0，即有r-040v-4w_ lnln)1一 之 o dn(办ina)i所以 a、b 应满足：0 in a 2)，证明当|.v| 1 吋滅

38、级数anxn 收敛.并求 +1-)Jt和函数5(a).1Jt和函数5(a).1，/=1,所以气|义|26/L、（10分）、颗地球Hj步通讯卫星的轨道位十地球的赤道刊!1内，且可以近似地认为是圆地球半径 R = 6400,下.帛离地面的ih = 3600km，试计兑通讯卩項蒗品地球的面枳（限用爲等数学的万法）.解：卫星覆盖地球的而积为ds，为上半球而被圆锥角所限部 zD:x- + y2R2 sin2/?-5=JJ+(;r+(2；)2帧=Jf=戶!、D:x- + y2JR2 - r2R+ n六、(10分)没函数f(x.y)二阶偏导数迕续，满足- = 0,且在极坐标卜川表成/Xx，v) = /?(/

39、 , JC屮oxdy=扣”2=扣”2 .求/h”(r)-h(r) = 0 .特征方程r-r = 0=r = 05l 于是方程的通解为h(r) = Cl + C2er 、从而 /CmX+c，柯(io分)没弘/打迕续导数.xrruii上任意条分段光滑的曲线积分/ = j2(av) + 2.x)?2 - 2.xp(y)dy 勹路择无关L1)当科0) = -2，时0) = 1 时，求(p(x)x),Q)没L足从0(0,0)到JV(,y)的分段)t滑曲线，计箅I解(1)由题 K衍(又2时 y) + 2xy- - lx，+ C2 sin y + y2- 2巾 _ = 一2, v/(0) = (0) = 1

40、，解得 c； = 0，C2 = 1. 所以(p(x) = sinx+ x2 -2，/(a) =(p(x) = cosx+ lx 2)取折线OMTV为积分路以下两题乙组同学不做11J,八、没/(A)在W区fnJO,l上迹续，且 1/(X)3,证明：l/AjyZx .i/w=i又由于(/-1)(/-3) 0 ,故有(.“)-0(/( v)_3) o,U|Jf/(x) +fMdX4由不等式心4(一、是卜!f/(x) +fMdX4由不等式心4(一、是卜!77(a.)Ja +04.掠上所述，1 13九、x2 + y2 + Z2 1.证明：4十 见+)-2: + 5加所以函数/(x,y,：)在区域Q上的最

41、人侦为S.最小侦为2由j /(.v,y,z) *v相同的极tfi点，所以函数/Cr,y,z) 4区域Q上的敁人侦为2,敁小值为 V2所以= jj|*x/2t/v jjjx+ y-2z + 5dv 0 v-ln(l + sin lim = lim01- cos x m0 2T 2崎=卿程!叫恥賴定4解应填-2evsinx2方R两边对 J求导 g/+2ASlu r =0，解出 / = -2ey sinx2. 己知级数g(l-sin l)a收敛,则常数a的収仇范W为解应填a-因为i一sini，所以a- TOC o 1-5 h z n n 6/r3由拉格朗日中值定理有-1 = xe則，其中0 0(x)

42、 0解.hxift-.tlev-l = xel(r)，解出 (a) = -ln,冈为 2x xe -1 x+ yx2,ln(l + x) J，所以 lim0(x)=全 5.没肿船作)+咖=，)= O%=解极填1原式=(O) .di题没解出g(O)=l6.设曲线y = f(x) j y = sin x在fe点相切，则极限lim 解：应jfl 1 因为/(0) = sin 0 = 0, f(0) = (sill xy|= 1 ，由牙数的定义知lim )=a/2 lini n-w/()-烟 厂,_ r =7277(0) = 2a 0 x2re7.没/(和 TOC o 1-5 h z H Z1 (a0

43、，a足常数 D足全平而，则二重积分II /(A)/(y- x)y = 7.没/(和0 具他；解应填4因为/(x)/(V-a)R在区域:1 + 2.0.2内非零,Jj fMf(y -/(x)/(.y - x)dxdy = JJ adxdy = 4aDqq HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 8. lill/ -:-P V sin 2x _填忐因为Sinxl.则 n=l+1 解:应填2.因为11 A an A an 1 A a 1;人+，1*11、5+7j = 7+Sth+S7- = 7+Syr=7+2S7=7+2(s77) l Z =1 Z W=1

44、 2 Z n=i 2 Z W=1 L LZ 4由此解s=2、没/在(-co,+co)内满足 f (x) = /(x-) + x,n.在【0，及】上 f(x) = e j f (x、dx.解当a:e2龙，3开时，x-ln G0,tWJ/(x) = /(x-) + x= f(x 27T) + (A 7T)+ x=+ 2x n 33-j sin irdu = J sin u2 du i0叫、没某工厂生产甲、乙两种产品，产虽分别为和y件，利润函数为sin 厂 +cos 厂L(x,y) = 6x- x2 +16y-4y2-2 (万元)已知生产这两种产品吋，毎件产品均芯消耗某种原料2000公斤，现Yf该t

45、e料12000公斤，义两种产品冷生产多少件时总利润W大?鉍大利润为多少?(限用高等数学的方法)解求_数 L(x，)，)= 6x- J2 +16)，- 4y2 - 2 在0 x+ y 6 卜的最人值解出L(x，y)的惟一驻点为(3,2),且0 3 + 2 (3,2)L(4,2) = 22L(3,3) = 19(3,2) = 23 (力儿)故敁人利润足在中、乙两种产品分别生产3件和2件时产生的挝人利润为23(力丸)五、icq和为通过原点的曲线称曲线c 卜分曲线q.qzfHj的而积，如果对rc上任意点尸，两个阴 影区域的而积相等(如啲，已知c的力程为y=x2,q的力程为y = |2,求曲线c2的方程

46、解没c2的方程为x = T(y),岀题意，点P的坐杯为y),则s= =，么=j7y-(y)lv =-h(.y)dy.o 20oJ oSA = SB =-y = fx(y)J)1 =-yy = x(v)即曲线C的方程为y = x2 2 0 4 * 91六、己知方程log。x =存在实W.常数a l，b 0、求a、b吨满足的条件1W 没/(A) = log. x-x/ (A)=卜”1“ .驻点札= AlUd当0 J 0，/(A)单増，当J。 X +的时，/ o o ln(/?hia) 5-1 所以 a，/?应i茜足：0 In bnabln abe 七设 a0 =11= -2，a2 = 4+ 士2)

47、，证明当 |xwco=1,所以当闵3 6 coX、(-irj(/r + l)x=l-2X+yX-+7，7 4 r3 + 3.r4=l-2x+ x- +厂- |26 (1+x)-(1 + x)-1 3兰+兰+1| 2第十六届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题(2005 年 10 月 16 (I 上午 9:00-11 30) 姓名学校 注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题.一、粧题(毎题2分，满分20分) 1.没函数y = y(.v)满足/ + (.vl)y+x2y = e 且/(0) = 1，若lim=a，Wa = A 一0 义-谁考iiF/ 解 I、填 1 由题设 /(0) -

48、y(O) = l, j是/(0) = 2，所以 r-0 Y- 2.已知/(-r)=, e :b ,、在处为无穷间断点，在又=1处为可去间断点，则办= (x_a)(x-b)WJ、VWt由题总知必j 1e 1 -v-e当 a = e,b = 1 时，lim /(.r) = lim /(.r)= V-1wr 3. i =足g=x+y，nj_ = A/(o，y) = y.则/U加.1+/1-cos.v1+/1-cos.v解醐 L(x2y + xy-)+x2 + y由题设有-= xy + +Cx) z = -x2y + -xy2- ci(x)dx+C.(y) ox222 J*Z(o)= -2=JiW+c

49、2(o)= a2，/(o,)，) = )，= C2(y) = y，C(o) = o o.己知函数 u = u(x.y.z)可微，且 du = (x2 -2yz)dx+ (/ - 2x)Jy +(Z2 - 2xy)dz ,则 解碎填i(x2 + y2 + 22)-2x) + C由韪没知：du = (x2dx + y2dy + z2dz) - 2()，油 + xzdy + xydz)l 己知函数 /=3x-/l-x2 j fx)dx，则 /(.r) = 0 解:应 填 3x-3Jl-x2 成 3x-|/l-v2 -令 4 = | f(x)dx ，则 f(x) = 3x-yJl-x2A 尸(.v)

50、= 9.V - 6A.Xll-x2 + A2(l- x2)，方稈两端积分4得 4 = 3-2A + -A: A = 3y4 = -i2Dr:x2 + y2 0+ r解:应填；r.由积分中值定理，3(77)eDr.使得cos(x+ y)dxdy = cos + ) ./n. j玷原式=lim* cos(+ = n r-0*解应填2 In 2.因为 1+/(V)1 一 COSA= lim .wO/(V)(2 1+/(V)1 一 COSA= lim .wO/(V)(2r1)(1 - cos j)=lim A-0/(.V)xn2-x2 2limlu 2 -wo乎4故8.芥尸(r) = Z,且/(l)

51、= a.则/(2)= X解极坝la因为 / ( v) =二厂= =nf (r) = lnx+lnC= f (a.) = Cx,I /(A) A：由/(l)=a WC = a 所以/(2) = 29.设曲线L:+y2 = 1的周长为/,则(fc (x + 2y)2ds = 4解 应填4/因为原式 =兔(x2 + 4y2 )ds +令4xyds =炎4ds = 4/10设以仏-1醐的和为 解应填In 2闪为Inn=in=l1十(/卜1)%l+2(/i-l)x闪为Inn=in=l1十(/卜1)%l+2(/i-l)xIn1+ itx1 + 2nx=-limlnl+/u1 + 2似= hi2.、(10

52、分)没/CO 吋导，ELJx3/Xx)Ja = x2 cosx-4.vsinx-6cosx+C ,求/(a)所以 xVWdsinx-ZACosr-sinx./V):：-所以= f.r 2 COS X所以= f.r 2 COS X . rSillX .ax- 5dx dxJ XJ X. sin x cosx 八 ax =+ C，士士，作_形并填解单增区间（-的，0），（1，2单减区阆（0，1），（2，+的）最大值43最小值无极大值43极小值1拐点无四、（10 分）没/（.r）足（-的，十W） I:的连续非负函数，n. /（x） J/（.v-/）Jr = siii4x求/（.V）在区fj0，；7

53、h 0的平均解令x-t = u,则= jf心，F(.x) = f(u)du f 则FGr)F(.x) = siiTx,两端积分衍FGr)F(.x) = siiTx,两端积分衍/在区问0，上的平均侦为-f/(.v)- = 五、(10分)求常数a，b，c的ffl.使函数f(xiy = ax)- + byz + cx3z2在点M(l,2,-1)处沿z轴正Zfl4的 方向导数有最人俏64解:gradf (1，2,一 1) = 4a + 3c,4a - b,2b- 2c,由题意有仰视2，-1)0,0，1，且 | 奶视2，_1)| = 64 ,4a + 3c = 0故有4“一/? = 0 ,且扣b_2c)

54、: =64，解得a = 6，/?=24，c=-82厶一 2c02 2 2 1六、(10分)SillufiiE:+-+l = l上的点(.r,y,z)处的切平而为;F，计算曲血积分其屮；I足a- D cv A坐标原点到;r的距离设&为2：屮坐标原点到;r的距离设&为2：屮20的部分，Dxv Z,在.wy平面卜.的投影，则dxdy = A- j rVl- r2dr = cdxdy = A- j rVl- r2dr = c 0 o七.(10分)K函数/(x)在【0，1】上迕续II单调増加，证叫不等A:f(x)dxo,gD:0 xl,0y 0,而Dfj Cv-+ #()-_- yfMdxdy DDI1

55、=2xf(x)dx- f x)dx，0011所以 f2j(x)dx00111 1成者：令/ = jxdxf(A)f/.v- Jdxjxf(.v)Ja000 0则1 = yf(y)dxdy =|jj (x- 、)(/(.、) / ()一 o厶DD以下两题乙组同学不做八、证明力程2=.r2+1有且仅有三个实根.iiE明:令/(J) = 2V x2-l.显然/(0) = /(1) = 0,又/(2) = -10，R/(x)连缒，连续函数的零点定现知/(.0在(2, 5)内至少介:在一个零点，从iiij/(.v)至少介在三个；点.有个或叫个以上的枣点，则由罗尔定理知/7) = 2vln32 4i少存在

56、一个枣点，这是小可能的故/(J)至多有三个零点.综上所述/(X)打且仅有三个零点九，(io分)(1举例说明存在通项趋r零仴发散的交错级数：2)挙例说明存在收敛的正项级数fx，但a(7(i)，此处0(1)当时比i高阶的无穷小 。：1nnn 唁為婢- 由于收敛，发散.所以f (zir_=-1】发散 /卜1iz?xM +(-i)w-1t卜iC2)定义人：当w是整数的平方时，a =-:当/i不是槟数的T方吋，afl = -L itrr所以af，(i)，而的部分和SAr*.,-i 第十六届北京市大学生数学竞赛本科丙组试 第十六届北京市大学生数学竞赛本科丙组试(2005 年 10 (2005 年 10 月

57、 16 口 上午 9:00-11:30 ) 准考证g- 姓名 学校 一、填空题(每题3分，满分30分) 1.设函数y = y(x)满足y + (x-l)yr+x2y = e 且/=1，hmyX = a. AT解醐1山题没/(o) - y(o)=1, r是/(o) = 2,所以=limwO/(又)-1 2x =limwO/(又)-1 2x 已知f(x) =在处为无穷隨在w处为可去_点. 解应填e由题意知必有a = l，/ = e 或a = e，b = l 当 a = l,b = e 时,lim f (x) = Jim f (x) = co : x-l1 xe当 a = e，b = 1 时，lim

58、 /(a) = lim f(x) = z = -x2y + -xy2 +G(y)ox22.2 . JX你，0) = x2cx)dx+ C2(0) = x2，f(0,y) = y=C2(y) = y，C2(O) = 0 0 1 己知函数 f(.x) = 3x-y/l-x2j f2(x)dx，则 /(.r) = o W :应填 3x-3i77 或 3x-/f7?.令 A = |/(a)Ja，则 /(xyx-yjlA .于是 2o /2(a) = 9x2 -6Axy/l-x2 + A2(l-x2)，方程两端积分|可衍 A = 3-2A + -42=4 = 3Wt4 = -.没 D : x2 + /

59、2 cos(.r+ y)dxdy =cos( + ) 7rr2.F是原式=limcos(/ +rf) 7r = 7r r-0*6-已知16-已知1 ill 1+/(V)-1 一 cos.r =4.则lim增 .40 x3解:应填2ln2因为/(A)1-COSA/(.V) /(A)1-COSA/(.V) =(2r-l)(l-cosx)=物 J丄:牿竽=21。2/W=(X-l)V 则/二 解：，職-10 x9x8x7x6 =-30240f(x) = (x-lf(x) = (x-l5er=(j-l) W = ”，10!5!J 玷/(10)(1) =-10X9x8x7x6e =-30240-1f 2

60、t 5inf -pr | f yJl + liAdlldt = dx- b 0 解：l、V填 cos xVl +siii4 xi2 x sin/ f sui.v j J ll+u4dudt = J yll + it4du=cosjVl + sin4x o oo若尸：逆，且/(l) = a.则/(2)= 解应填2n 因为作)=竽，:=卜咖七+1心仲)=&，由/(l)=a 柯C = a 所以 f(2) = 2a10没”0心-職的和为 解:成填in 2. Wyin1+(n-1)Al(1+2/tV)=Y|ln 1 + (/2-1)Y -ln- = -lHnin- = ln2 (l + 7n)l+2(/