20182019版高中数学第二章推理与证明23数学归纳法学案新人教A版选修22

1、2.3数学归纳法学目1.认识数学法的原理.2.能用数学法明一些的数学命知点数学法于一个与正整数有关的等式n(n1)(n2)(n50)0.思虑1当n1，2，n50等式建立？n答案建立思虑2能否通以上等式出当n51等式也建立？什么？答案不能够，上面的等式只n取1至50的正整数建立梳理(1)数学法的定一般地，明一个与正整数n有关的命，可按以下步行：(确定)明当n取第一个0(n0N*)命建立；n*nk1命也建立(推)假当nk(kn，kN)命建立，明当0只要完成两个步，就可以判断数从n0开始的所有正整数n都建立种明方法叫做数学法数学法的框表示1与正整数n有关的数学命的明只能用数学法()2数学法的第一步n

2、0的初始必然1.()3数学法的两个步缺一不能()型一例1考点点用数学法明等式用数学法明：1427310用数学法明等式利用数学法明等式n(3n1)n(n1)2，其中nN*.明(1)当n1，左144，右1224，左右，等式建立假当nk(k1，kN*)等式建立，1427310k(3k1)k(k1)2，那么当nk1，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1等式也建立依照(1)和(2)可知等式任何nN*都建立反思与感悟用数学法明恒等式，一是弄清n取第一个0等式两端的情况；n二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些

3、，减少了哪些；三是明nk1也建立，要法将待式与假建立系，并朝nk1明目的表达式形11111111*追踪1求：12342n12nn1n22n(nN)考点用数学法明等式点利用数学法明等式11明(1)当n1，左122，11右，左右112假当nk(k1，kN*)等式建立，11111即12k12342k111，k1k22k当1，nk111111112342k12k2k12k211111k1k22k2k12k21111.k2kk2312k1即当nk1，等式也建立合(1)，(2)可知，所有nN*，等式建立型二用数学法明不等式1115*例2求：n1n23n6(n2，nN)考点用数学法明不等式点利用数学法明不等

4、式111157明(1)当n2，左345660，故左右，不等式建立假当nk(k2，kN*)，命建立，即1115，k1k23k6当nk1，111111k11k123k3k13k23k11111111k1k23k3k13k23k3k151111.(*)63k13k23k3k1方法一(解析法)下面(*)5式6，1111即3k13k23k3k10，只要(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，只要(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0，只要9k50，然建立因此当nk1，不等式也建立方法二(放法)1155式33k3k166，因

5、此当nk1，不等式也建立由(1)(2)可知，原不等式所有n2，nN*均建立引申研究把本例改求：111n1n2n31nn1124(nN*)111明(1)当n1，左224，不等式建立(2)*，不等式建立，假当nk(k1，kN)111111即k1k2k3kk24，当1，11111nkk2k32k2k12k21111111k1k2k32k2k12k2k111111，242k12k2k121112k12k122k11k12k212k1212k1210，kkk11111111111111k1k2k32k2k12k2k1242k12k2k124，当nk1，不等式建立(1)(2)知于任意正整数n，不等式建立反

6、思与感悟用数学法明不等式的四个关第一个n的，要注意n0不用然1，若nk(k正整数)，n0k1.(2)明不等式的第二步中，从k到1的推程中，必然要用到假，不nnk用假的明不是数学法，因缺少假(3)用数学法明与n有关的不等式一般有两种详尽形式：一是直接出不等式，按要求行明；二是出两个式子，按要求比它的大小，第二形式经常要先n取前几个的情况分比，省得出判断失，最后猜出从某个n开始都建立的，常用数学法明(4)用数学法明不等式的关是由k建立得1建立，主要方法有比法、nnk解析法、合法、放法等2an*追踪2在数列an中，已知a1a(a2)，an1(nN)，用数学法明：an2(nN*)考点用数学法明不等式点

7、利用数学法明不等式明当n1，aa2，命建立；12*ak假当nk(k1，kN)，命建立，即ak2，当nk1，ak122ak12ka222ak10，当nk1，命也建立由得，任意正整数n，都有an2.型三猜想明nn2a*例3已知数列a足关系式1(0)，an12，N)，(aaa1an1nn用a表示a2，a3，a4；猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学法明考点数学法明数列点利用数学法明数列通2a解(1)a21a，22a221a43aa，a1a2a13a211a24aa42a313a8a1a4a.17a3113a0a因a1a1201a，21aa21211a，2n1a猜想ann1.121a下面用数学法

8、明当n1，20a因a1a1201a，因此当n1猜想建立*假当nk(k1，kN)猜想建立，2k1a即ak12k11a，因此当nk1，2ka2ak12k11aak11ak2k1a112k11a2ka12k11a2k1a2ka122k1aa2k11a12k111a，因此当nk1猜想也建立*依照与可知猜想所有nN都建立追踪3察看以下各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能明你的猜想？考点用数学法明等式点等式中的，猜想、明解由意得，221,34413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用数学法行明

9、当n1，猜想然建立；假当nk(k1，kN*)，猜想建立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，那么当nk1，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)2k(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k1k1)11352(因此当nk1猜想建立依照(1)(2)可知任意正整数猜想均建立.1已知f(n111*f35，(32)7)1(N)，算得(2)，(4)2，(8)，(16)3，23nn2ff2ff2由此计算：当n2，有()Af(2n)2n1*2(nN)Bf(2n)2n11*2(nN)Cfn21(2)n(nN*)2Dnn2*(2)(N)f2n考点利用

10、数学法明不等式点不等式中的、猜想、明答案D2225332442解析f(4)2改写成f(2)2；f(8)2改写成f(2)2；f(16)3改写成f(2)2；7552n2，nn2*f(32)改写成f(2)，由此可得出：当f(2)(nN)2222n222n11a2用数学法明“1aaa1a(a1)”在n1，左端算所得()A1aB1aa2C1aa2a3D1aa2a3a4考点数学法定及原理点数学法第一步：确定答案C解析将n1代入a2n1得a3，故C.3若命A(n)(nN*)在nk(kN*)建立，有nk1命建立知命nn0(n0N*)建立，有()A命所有正整数都建立B命小于n0的正整数不能立，大于或等于n0的正

11、整数都建立C命小于n0的正整数建立与否不能够确定，大于或等于n0的正整数都建立D以上法都不正确考点数学法定及原理点数学法第二步：推答案C解析由已知，得0(0N*)命建立，n01命建立，nnnn在nn1命建立的前提下，又可推得，n(n1)1命也建立，00依此推，可知C.4用数学法明12222n12n1(nN*)的程以下：当n1，左1，右2111，等式建立(2)假当nk(k*2k1kN)等式建立，即122221，当nk1，122k1k12k1k1因此当nk12221221.，等式也建立由此可知于任何*nN，等式都建立上述明，是_考点数学法定及原理点数学法第二步：推答案未用假解析本在由nk建立明nk

12、1建立，用了等比数列的求和公式，而未用上假，与数学法的要求不符5用数学法明：1222n2nn1*2n12n122n1(nN)1335考点用数学法明等式点利用数学法明等式明当n1，左121，1331111右22113，左右，等式建立假当nk(k1，kN*)，等式建立1222k2kk1即22k，13352k12k11当nk1，左1222k2k122k12k113352k12k3kk12k122k12k12k3kk12k32k1222k12k3k12k25k222k12k3k1k2，22k3右边k1k11k1k2，22k1122k3左边右边，等式建立即对所有nN*，原式都建立在应用数学归纳法证题时应

13、注意以下几点：(1)考据是基础：找准起点，确定要稳，有些问题中考据的初始值不用然是1.递推是要点：正确解析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；利用假设是核心：在第二步证明中必然要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、选择题1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为1(3)条时，第一步应试据n等于()2nnA1B2C3D4考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳确定答案C解析由凸多边形的性质，应先考据三角形，应选C.2某个命题与正整数有关，若是当(N*)时，该命题建立，那么可推适合1时，nkknk该命题也建立现在已知

14、当n5时，该命题建立，那么可推导出()A当n6时命题不能立B当n6时命题建立C当n4时命题不能立D当n4命建立考点数学法定及原理点数学第二步：推答案B11113Skk1k2k32k，Sk1()Ak1Bk11S2k2S2k12k211DS11CS2k12k22k22k1kk考点数学法定及原理点数学法第二步：推答案C解析因式子右各分数的分母是正整数，k111，由Sk1k22k11111得Sk1k2k32k2k12k1.111由，得Sk1Sk2k12k1k1112k12k1.11故Sk1Sk.2k12k14一个与正整数n有关的命中，当n2命建立，且由nk命建立，能够推得nk2命也建立，()A命于n2

15、的自然数n都建立B命于所有的正偶数都建立C命何建立与k取没关D以上答案都不考点数学法定及原理点数学法第二步：推答案B解析由命建立，能够推出n2命也建立，且使命建立的第一个正偶数nkkn02.故所有的正偶数都建立5f(x)是定在正整数集上的函数，且f(x)足：“当f(k)k2建立，可推出f(k1)(k1)2建立”，那么，以下命建立的是()A若f(3)9建立，当k1，均有f(k)k2建立B若f(5)25建立，当k5，均有f(k)k2建立C若f(7)49建立，当k8，均有f(k)n3”，第一步不等式建立所取的第一个n最小当是_0考点数学法定及原理点数学法第一步：确定答案109明：假当nk(kN*)等

16、式建立，即242kk2k，那么242k2(k1)k22(k1)(k1)2(k1)，即当1等式也建立因此于任何knknN*等式都建立以上用数学法明“242nn2n(nN*)”的程中的_考点数学法定及原理点数学法第二步：推答案缺少步确定111*nnn1n10已知f(n)123n，nN，用数学法明f(2)2，f(2)f(2)_.考点数学法定及原理点数学法第二步：推111答案2n12n22n1三、解答1111n1*11用数学法明14191161n22(n2，nN)n考点用数学法明等式点利用数学法明等式3明(1)当n2，左144，213右，因此左右，因此当n2等式建立(2)假当n(k*等式建立，2，N)

17、kk1111k1即14191161k22k，那么当1，11111111k11111nk4916k222k2k1k1k1kk222kk1k2k112k12k1，即当nk1时，等式建立综合(1)(2)知，对任意n2，nN*，等式恒建立12用数学法明：1212121211(n2，nN*)234nn考点用数学法明不等式点利用数学法明不等式(1)当n2，左式11明224，11右式1.2211因，因此不等式建立2假当nk(k2，kN*)，不等式建立，11111223242k21k，当nk1，1111111223242k2k121kk12k12kk2k1kk11kk121kk121kk1211k1，因此当nk1，不等式也建立上所述，任意n2的正整数，不等式都建立四、研究与拓展13用数学法明“34n152n2(nN*)能被14整除”，当nk1，34(k1)152(k1)2形_考点数学法定及原理点数学法第二步：推答案34(34k152k2)52k2144解析4(k1)12(k1)244k122k244k142k222k242k23533553335553544k12k22k24244k12k22k2