【2021年】高考全国卷1理科数学试题及答案

1、 10/10【2021年】高考全国卷1理科数学试题及答案 2015年高考理科数学试卷全国卷1 1设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B （C （D ）2 2o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）（B （C ）12- （D ）12 3设命题p ：2 ,2n n N n ?，则p ?为（ ） （A ）2 ,2n n N n ? （B ）2,2n n N n ? （C ）2,2n n N n ? （D ）2,=2n n N n ? 4投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，

2、且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 5已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ? ，讨论h （x ）零点的个数. 22（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交 于E. （）若D 为AC 的中点，证明：DE 是的切线； （）若OA = ，求ACB 的大小. 23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，

3、圆2C ：()()22 121x y -+-=,以坐标原点 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （）求1C ，2C 的极坐标方程； （）若直线3C 的极坐标方程为()4 R = ，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求 2C MN ?的面积. 24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a0. （）当a=1时，求不等式f （x ）1的解集； （）若f （x ）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由 11z i z +=-得，11i z i -+= +=(1)(1) (1)(1)i i

4、i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等. 2.【答案】D 【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1 2 ，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3.【答案】C 【解析】p ?:2 ,2n n N n ?，故选C. 考点：本题主要考查特称命题的否定 4.【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 22330.60.40.6C ?+=0.648，故选A. 考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5.【答案】A 【解析】

5、由题知12(F F ，22 0012 x y -=，所以12MF MF ?= 0000(,),)x y x y -?- =2220 003310 x y y +-=-时，()g x 0，所以当1 2 x =-时，max ()g x =1 2-2e -， 当0 x =时，(0)g =-1，(1)30g e =，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故 (0)1a g -=-，且1(1)3g e a a -=-，解得 3 2e a 1，故选D. 考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 13.【答案】1 【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x

6、x +- =2 2 ln()ln 0a x x a +-=，解得a =1. 考点：函数的奇偶性 14.【答案】223 25()24 x y -+= 【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则2 2 2 (4)2a a -=+，解得3 2 a =，故圆的方程为22325()24 x y -+= . 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 15.【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， y x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故y x 的最大值为3. 考点：线性规划解法 16.【答案】） 【解析】如图所示，延长BA ，C

7、D 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得 sin sin BC BE E C = ，即 o o 2sin 30sin 75 BE =，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知， sin sin BF BC FCB BFC =，即o o 2 sin 30sin 75BF = ，解得-AB 的取值 ）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 17.【答案】（）21n +（）11 646 n - + 【解析】 试题分析：（）先用数

8、列第n 项与前n 项和的关系求出数列n a 的递推公式，可以判断数列n a 是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列n a 的通项公式；（）根据（）数列n b 的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和. 试题解析：（）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a ，所以1a =3， 当 2n 时， 2211 n n n n a a a a -+-= 14343 n n S S -+-= 4n a ，即 11 ()()2()n n n n n n a a a a a a +-=+，因为0 n a ，所以1n n a a -=2， 所以数列n a 是首项为3，公

9、差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （）由（）知，n b =1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-+， 所 以 数 列 n b 前n 项和为 12n b b b + +=1111111()()( )23557 2123 n n -+-+ +-+ =11 646n - +. 考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 18.【答案】（）见解析（） 3 【解析】 试题分析：（）连接BD ，设BD AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG AC ，通过计算可证EG FG ，根据线面垂直判定定理

10、可知EG 平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC 平面AEC ；（）以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值. 试题解析：（）连接BD ，设BD AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1， 由ABC=120，可得 由BE 平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ， 又AE EC ，EG AC ， 在Rt EBG 中，可得，故DF= 2 . 在Rt FDG 中，可得FG= 2 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，DF=

11、2 可得EF=2， 222 EG FG EF +=，EG FG ， AC FG=G ，EG 平面AFC ， EG ?面AEC ，平面AFC 平面AEC. （）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB 为单 位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（）可得A （00），E （）， F （1,0，2），C （0，0），AE =（1），CF =（-1，2 ）.10分 故cos ,| AE CF AE CF AE CF ?= =-. 所以直线AE 与CF 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 19.【答案】（）y c =+

12、适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型； （）100.6y =+46.24 【解析】 试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令 w =先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（）（） 利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析： （）由散点图可以判断，y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方

13、程类型. （）令w = ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于 8 1 8 2 1 ()() () i i i i i w w y y d w w =-= -= 108.8 =6816 ， c y dw =-=563-686.8=100.6. y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+， y 关于x 的回归方程为100.6y =+ （）（）由（）知，当x =49时，年销售量y 的预报值 100.6y =+， 576.60.24966.32z =?-=. （）根据（）的结果知，年利润z 的预报值 0.2(100.620.12z x x =+-=-+， = 13.6 =6.82 ，即

14、46.24x =时，z 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 20.【答案】 0y a -= 0y a +=（）存在 【解析】 试题分析：（）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（） 由

15、题设可得)M a ，()N a -， 或(2M a - ，)N a . 1 2y x =，故24x y =在x = ，C 在,)a 处的切线方程为 y a x -=- 0y a -=. 故2 4x y =在x =-处的到数值为 C 在(,)a -处的切线方程为 y a x -=+ 0y a +=. 0y a -= 0y a +=. （）存在符合题意的点，证明如下： 设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440 x kx a -=. 12124,4x x k x

16、x a +=-. 121212y b y b k k x x -+= +=1212122()()kx x a b x x x x +-+=() k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM=OPN ，所以(0,)P a -符合题意. 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 21.【答案】（）34 a = ；（）当34a -或54a =，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数. （）若3a -或0a ，则2 ()3f x x a =+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f = ，5 (1)4 f a =+，所以当3a -时，()f x 在（0，1）有一个零点；当 a 0时，()f x 在（0，1）无零点. （）若30a - 或54a 1化为一元一次不等式组来解；（）将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围. 试题解析：（）当a=1时，不等式f （x ）1化为