2023届高考数学练习（湖南专版）-考点04 一元二次函数、方程和不等式基础题汇总（解析版）

1、考点04 一元二次函数、方程和不等式基础题汇总一、单选题（共15小题） 1.已知a、bR，且ab，则下列不等式恒成立的是（）ABlnalnbCa2b2D2a2b【解答】解：当a1，b1时显然ab，但A不成立，当0ab时B显然不成立，当a1，b1时，C显然不成立，由于y2x单调递增，由ab可得2a2b，D成立故选：D【知识点】不等式比较大小 2.一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x2，则不等式ax2+bx+c0的解集为（）Ax|x1或x2Bx|x1或x2Cx|1x2Dx|1x2 【解答】解：一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x2，所以不等式对应方程ax2+bx+c0的两个

2、实数根是1和2，且a0；所以不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x2故选：D【知识点】一元二次不等式及其应用 3.函数f（x）x2+2（a1）x+2在区间（，4上单调递减，则a的取值范围是（）A（，5B（，5C（5，+）D5，+）【解答】解：函数yx2+2（a1）x+2的图象是开口向上，且以直线x1a为对称轴的抛物线，若yx2+2（a1）x+2在区间（，4上单调递减，则1a4，解得a5，所以a的取值范围为（，5故选：A【知识点】二次函数的性质与图象 4.某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高

3、一3班的男生宿舍可能的房间数量是（）A3或4B4或5C3或5D4或6【解答】解：设房间为x，由题意可得5（x1）+13x+65x，解得3x5，x为正整数，x4或5，故该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是4或5，故选：B【知识点】不等关系与不等式 5.若函数f（x）x22ax3在区间1，2上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A（，1B2，+）C1，2D（，12，+）【解答】解：求得f（x）x22ax3的对称轴为xa，函数的单调性以对称轴为界所以对称轴xa在区间1，2的左侧或右侧，即a2或a1即a的取值范围是（，12，+）故选：D【知识点】二次函数的性质与图象 6.若函数f（x）x2+mx+

4、5在区间1，5上单调递增，则m的取值范围为（）A2，+）B（，2C10，+）D（，10【解答】解：f（x）x2+mx+5在区间1，5上单调递增，故m2故选：A【知识点】二次函数的性质与图象 7.不等式x2+x20的解集为（）Ax|2x1Bx|1x2Cx|x2或x1Dx|x1或x2【解答】解：不等式x2+x20可化为（x+2）（x1）0，解得x2或x1，所以不等式的解集是x|x2或x1故选：C【知识点】一元二次不等式及其应用 8.不等式x（x+1）0的解集为（）A（，1（0，+）B（，10，+）C1，0D1，0）【解答】解：x（x+1）0的两根为1、0，又函数yx（x+1）的图象开口向上，x（x

5、+1）0的解集是x|x1或x0，故选：B【知识点】一元二次不等式及其应用 9.若x0，y0，且满足，则x+y的最小值是（）A6B7C8D9【解答】解：当且仅当，即x5，y1时取“”，故x+y的最小值是6，故选：A【知识点】基本不等式及其应用 10.已知a0，b0，且+，则ab的最小值是（）A24BC5D【解答】解：a0，b0，+，即，ab2，当且仅当时取等号，ab的最小值是2，故选：B【知识点】基本不等式及其应用 11.已知m0，xy0，当x+y2时，不等式恒成立，则m的取值范围是（）AB1，+）C（0，1D【解答】解：xy0，且x+y2，x0，y0，（）（x+y）（4+m+）（4+m+2）（

6、4+m+2），当且仅当即x2y时，等号成立，不等式恒成立，（4+m+2），化简得，m+450，解得1，即m1，m的取值范围是1，+）故选：B【知识点】基本不等式及其应用 12.已知实数a0，b0，且2a+b2ab，则a+2b的最小值为（）ABCD【解答】解：a0，b0，且2a+b2ab，1，则a+2b（a+2b）（）当且仅当且1，即ab时取等号a+2b的最小值为故选：B【知识点】基本不等式及其应用 13.若log3m+log3n5，则m+3n的最小值为（）A54B12C27D72【解答】解：因为log3m+log3nlog3（mn）5，所以mn35，则m+3n54，当且仅当m3n时取等号，此时

7、m+3n取得最小值54故选：A【知识点】基本不等式及其应用、对数的运算性质 14.已知二次函数f（x）ax2x+c（xR）的值域为0，+），则的最小值为（）A3B6C9D12【解答】解：由题意得：a0，14ac0，ac，c0，故+212，当且仅当，即a，c时取“”，故选：D【知识点】二次函数的性质与图象 15.下列结论正确的是（）A当x2时，2B当x2时，x+的最小值是2C当x时，4x2+的最小值是5D设x0，y0，且x+y2，则的最小值是【解答】解：对于A，取等号的条件为x1，显然取不到故A错误；对于B，当且仅当x1时，取等号，显然取不到故B错误；对于C，因为，故，显然取不到最小值5故C错误

8、；对于D，x0，y0，且x+y2，则，当且仅当，即时取等号故D项正确故选：D【知识点】基本不等式及其应用 二、填空题（共10小题） 16.已知x2，y1，且（x+y3）（x+2y3）9，则3x+4y的最小值为【解答】解：令x+y3m，x+2y3n，则m0，n0，所以mn9，x2mn+3，ynm，所以3x+4y2m+n+9，故由基本不等式，得3x+4y2m+n+96当且仅当x3，y时，等号成立故答案为：6【知识点】基本不等式及其应用 17.设b、c均为实数，若函数在区间1，+）上有零点，则b2+c2的取值范围是【解答】解：f（x）x+c在区间1，+）上有零点，x+c0在区间1，+）上有解，x2+

9、cx+b0在区间1，+）上有解，令g（x）x2+cx+b，或，即或，当时，画出关于b，c的约束条件，如图所示则b2+c2表示到可行域内点的距离，当d2此时为最小值，即b2+c2，当时，画出关于b，c的约束条件，如图所示，此时b2+c24，综上所述b2+c2故答案为：，+）【知识点】基本不等式及其应用 18.对于正数a、b，称是a、b的算术平均值，并称是a、b的几何平均值设x1，y1，若lnx、lny的算术平均值是1，则ex、ey的几何平均值（e是自然对数的底）的最小值是【解答】解：由题意可得，lnx+lny2，故xye2，ex、ey的几何平均值，当且仅当xye时取等号故答案为：ee【知识点】基

10、本不等式及其应用 19.已知2x+y1，且x，yR+，则的最小值为【解答】解：由于：6+4（当且仅当等号成立）故答案为：6+4【知识点】基本不等式及其应用 20.已知x，yR，x2xy+9y21，则x+3y的最大值为【解答】解：x2xy+9y21，x2+9y21+xy6xy，即xy，当且仅当x3y，即x，y时，等号成立，（x+3y）2x2+6xy+9y21+7xy1+7，x+3y，x+3y的最大值为故答案为：【知识点】基本不等式及其应用 21.若x，y3x+，当x时，y的最大值为【解答】解：由x得3x50，y3x+3x5+5（53x+）+5+53，当且仅当53x，即x时取等号，此时y3x+取得

11、最大值3故答案为：，3【知识点】基本不等式及其应用 22.已知正数a，b满足a+b1，则+的最小值为【解答】解：正数a，b满足a+b1，+12+13，当且仅当ab时取“，故答案为：3【知识点】基本不等式及其应用 23.函数f（x）（ax1）（x+2b），若不等式f（x）0的解集为（1，2），那么ab【解答】解：函数f（x）（ax1）（x+2b），且不等式f（x）0的解集为（1，2），所以（ax1）（x+2b）0的解为x1或x2，且a0；所以ax2+（2ab1）x2b0，由根与系数的关系知，整理可得2a2+a10，解得，a1或a（不合题意，舍去），所以ba1，所以ab1故答案为：1【知识点】一元

12、二次不等式及其应用 24.函数f（x）x2+4（a1）x+1在区间4，+）上单调递增，则实数a的取值范围是【解答】解：因为f（x）x2+4（a1）x+1在区间4，+）上单调递增，所以2（a1）4，解得，a1，故答案为：a|a1【知识点】二次函数的性质与图象 25.已知不等式x23x40的解集为A，不等式x2x60的解集为B，若关于x的不等式x2+ax+b0的解集为AB，则a+b【解答】解：不等式x23x40可化为（x+1）（x4）0，解得1x4，所以该不等式的解集为A（1，4）；不等式x2x60可化为（x+2）（x3）0，解得2x3，所以该不等式的解集为B（2，3）；若关于x的不等式x2+ax

13、+b0的解集为AB（1，3），则1和3是方程x2+ax+b0的解，由根与系数的关系知，解得a2，b3，所以a+b5故答案为：5【知识点】交集及其运算、一元二次不等式及其应用 三、解答题（共10小题） 26.（1）计算：；（2）解不等式：x（x4）+405（2x1）【解答】解：（1）1+32232+2+7276；（2）不等式x（x4）+405（2x1）可化为x214x+450，即（x5）（x9）0，解得x5或x9，所以不等式的解集为x|x5或x9【知识点】一元二次不等式及其应用、有理数指数幂及根式 27.解下列不等式（1）5x2+3x+140；（2）（52x）（x+3）9【解答】解：（1）令5x

14、2+3x+140，解得x或x2，所以不等式5x2+3x+140的解集为（，2，+）；（2）由题意，不等式（52x）（x+3）9，可化为2x2+x60，令2x2+x60，解得x或x2，所以2x2+x60的解集为（2，），即（52x）（x+3）9的解集为（2，）【知识点】一元二次不等式及其应用 28.设正数x，y满足下列条件，分别求的最小值（1）x+y2；（2）x+2y1【解答】解：（1）x+y2，x0，y0，+2（+）（x+y）（+）（2+）（2+2）2，当且仅当xy1时取“，（+）min2；（2）x+2y1，x0，y0，+（+）（x+2y）3+3+2，当且仅当时取“，（+）min3+2【知识点

15、】基本不等式及其应用 29.（1）解不等式2x2x30；（2）若3x2+bx+30的解集为R，求实数b的取值范围【解答】解：（1）不等式2x2x30可化为（x+1）（2x3）0，解得x1或x，所以不等式的解集为（，1）（，+）；（2）3x2+bx+30的解集为R，所以b24330，解得6b6，所以实数b的取值范围是6，6【知识点】一元二次不等式及其应用 30.关于x的不等式x2+bx+c0解集为x|1x2，解关于x不等式cx2+bx+10【解答】解：关于x的不等式x2+bx+c0解集为x|1x2，所以1和2是对应方程x2+bx+c0的两根，由根与系数的关系知，解得b1，c2；于是不等式cx2+

16、bx+10可化为2x2x+10，整理得2x2+x10，即（2x1）（x+1）0，解得1x；所以所求不等式的解集为 【知识点】一元二次不等式及其应用 31.已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+20的解集为R（1）求函数f（m）m+的最小值；（2）求关于x的一元二次不等式x2+（m3）x3m0的解集【解答】解：（1）不等式x2+2mx+m+20的解集为R，所以4m24（m+2）0，化简得m2m20，解得1m2，所以1m+24，所以函数f（m）m+（m+2）+22222，当且仅当m+2，即m2时取“”；所以f（m）的最小值为22（2）不等式x2+（m3）x3m0，可化为（x+m）（x3）0，因

17、为1m2，所以2m13，所以该不等式的解集为（，m）（3，+）【知识点】一元二次不等式及其应用 32.解不等式：ax2+（2a1）x20（1）当a2时，解不等式；（2）当aR时，解不等式【解答】解：（1）a2时，不等式ax2+（2a1）x20为2x2+3x20，即（x+2）（2x1）0，解得2x，所以不等式的解集为x|2x（2）当a0时，不等式化为x20，解得x2；当a0时，不等式化为（x+2）（ax1）0，解得2x；当a0时，不等式化为（x+2）（x）0，若a0，则2，解不等式得x2或x；若a，则2，解不等式得xR；若a，则2，解不等式得x2或x；综上知，a0时，不等式的解集为x|x2；a0

18、时，不等式的解集为x|2x；a0时，不等式的解集为x|x2或x；a时，不等式的解集为R；a时，不等式的解集为x|x2或x【知识点】一元二次不等式及其应用 33.（1）已知a，b均为正数，且ab，比较与的大小；（2）a，b都为正数，a+b2，求的最小值【解答】解：（1）a，b均为正数，且ab，（）（ab）+（ba）（）（ab）（）2（）0，（），（2）a，b都为正数，a+b2，3，当且仅当ab1时取等号，即的最小值3【知识点】不等式比较大小、基本不等式及其应用 34.已知函数f（x）3x2+（b8）xaab，f（x）0的解集为（2，3）（1）求f（x）的解析式；（2）当x0时，求的最小值【解答】解：（1）由题可知，即，即a3，b5，所以f（x）3x23x18（2）由（1），得由