2023届高考数学练习（湖南专版）-考点14 复数压轴题汇总（解析版）

1、考点14 复数压轴题汇总一、单选题（共10小题） 1.若ai+i2+i3+i4+in，则a可能为（）A0Bi，1+iCi，1+i，1Di，1+i，1，0【答案】D【分析】利用等比数列的前n项和公式可得ai+i2+i3+i4+in，对n分类讨论：当n4k时，当n4k+1时，当n4k+2时，当n4k+3时【解答】解：ai+i2+i3+i4+in，当n4k时，i4k1，a0当n4k+1时，i4k+1i，ai当n4k+2时，i4k+21，ai1当n4k+3时，i4k+3i，a1综上可得：a0，i，i1，1故选：D【知识点】复数的运算 2.设A，B是锐角三角形的两个内角，则复数z（ctgBtanA）+（

2、tanBcotA）i对应点位于复平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】先求复数对应的点的坐标，再对实部和虚部分别“切化弦”，进行通分后利用两角和（差）余弦公式进行化简，根据锐角三角函数的符号进行判断，再判断对应的点所在的象限【解答】解：复数z（cotBtanA）+（tanBcotA）i对应点为（cotBtanA，tanBcotA）cotBtanAA，B是锐角，sinB0，cosA0，cos（A+B）0，则cotBtanA0tanBcotAA，B是锐角，sinA0，cosB0，cos（A+B）0，则tanBcotA0所以复数Z对应的点位于复平面的第二象限，故选：B【

3、知识点】复数的代数表示法及其几何意义 3.若z是复数，|z+22i|2，则|z+1i|+|z|的最大值是（）AB5C2+2D3+4【答案】D【分析】设zx+yi（x，yR），由|z+22i|2知，动点P（x，y）的轨迹可看作以C（2，2）为圆心，2为半径的圆，|z+1i|+|z|可看作点P到A（1，1）和O（0，0）的距离之和，可知当|z+1i|+|z|取得最大值时P、A、O共线【解答】解：设zx+yi（x，yR），由|z+22i|2知，动点P（x，y）的轨迹可看作以C（2，2）为圆心，2为半径的圆，|z+1i|+|z|可看作点P到A（1，1）和O（0，0）的距离之和，而|CO|2，|CA|，

4、当|z+1i|+|z|取得最大值时P、A、O共线，最大值为|PA|+|PO|（|CA|+2）+（|CO|+2）3+4，故选：D【知识点】复数的模 4.设zC，且|z|1，当|（z1）（zi）|最大时，z（）A1BiCiD+i【答案】C【分析】可设出复数的三角函数形式，再结合的三角函数知识进行求解特别注意：令sin+cost，则sincos【解答】解：|z|1，设zcos+isin，则|（z1）（zi）|2令sin+cost，则sincossincos+1当t即时，|（z1）（zi）|取最大值，此时，zi【知识点】复数的代数表示法及其几何意义 5.若复数z的虚部不为零，且z3+z+10，则（）A

5、|z|1B|z|1C1|z|D|z|【答案】C【分析】设za+bi，（a，b为实数），由z的虚部不为零，可知b0，代入z3+z+10，化简得a33ab2+a+10，3a2bb3+b0，两边除以b得：3a2b2+10，即b23a2+1，由a2+b24a2+11，得|z|1，代入到，化简得8a32a+10，进一步得到|z|22，则答案可求【解答】解：设za+bi，（a，b为实数），由z的虚部不为零，可知b0，可得：（a+bi）3+（a+bi）+10，展开得：（a3+3a2bi3ab2b3i）+a+bi+10，得a33ab2+a+10，3a2bb3+b0，两边除以b得：3a2b2+10，即b23a2

6、+1，由a2+b24a2+11，得|z|1，代入到，得a33a（3a2+1）+a+10，化简得8a32a+10，变形：（2a）2+（2a）+10，得（2a），由（2a）20，1+（2a）21，得2a1，a2+b24a2+12，|z|221|z|故选：C【知识点】复数的运算、复数的模 6.已知|z|1且zC，则|z22i|（i为虚数单位）的最小值是（）ABCD【答案】D【分析】利用复数|z|1的几何意义即可求得|z22i|（i为虚数单位）的最小值【解答】解：|z|1且zC，作图如图：|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，|z22i|的最小值为：|OP|121故选

7、：D【知识点】复数的模 7.已知zx+yi，x，yR，i是虚数单位若复数+i是实数，则|z|的最小值为（）A0BC5D【答案】D【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得xy+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出【解答】解：复数+i是实数，0，得到xy+2|z|，当且仅当y1，x1取等号|z|的最小值为故选：D【知识点】复数的模 8.已知x、y均为实数，记maxx，y，minx，y若i表示虚数单位，且ax1+y1i，bx2+y2i，x1，y1，x2，y2R，则（）Amin|a+b|，|ab|min|a|，|b|Bmax|a+b|，|ab|max|a|，|b|Cmin|

8、a+b|2，|ab|2|a|2+|b|2Dmax|a+b|2，|ab|2|a|2+|b|2【答案】D【分析】通过转化为向量加法与减法的几何意义，结合题目中的取最大与最小值，对选项中的问题进行分析判断，对错误选项进行排除即可【解答】解：ax1+y1i，bx2+y2i，x1，y1，x2，y2R，可记（x1，y1），（x2，y2），则|a|，|b|，|2|2+|22|，max|a+b|2，|ab|2|a|2+|b|2成立，D正确；对于A，当时，易知不等式不成立，C不正确；对于B，当且均不为零向量时，易知不等式不成立，B不正确；对于C，当且均不为零向量时，易知不等式不成立，C不正确；故选：D【知识点】

9、复数的模、复数的运算 9.已知+3i（i为虚数单位，为z的共轭复数），则复数z3在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：设za+3i，（a0），则a，解得a，于是z3（3）+3i，所以复数z3所在的复平面内对应的点在第二象限，故选：B【知识点】复数的运算 10.给出下列命题（1）实数的共轭复数一定是实数；（2）满足|zi|+|z+i|2的复数z的轨迹是椭圆；（3）若mZ，i21，则im+im+1+im+2+im+30；（4）若“a，b，c是不全相等的实数”，则（ab）2+（bc）2+（ca

10、）20；（5）若“a，b，c是不全相等的实数”，ab，bc，ca不能同时成立其中正确命题的序号是（）A（1）（2）（3）B（1）（3）（4）C（2）（3）（5）D（3）（4）（5）【答案】B【分析】（1）利用共轭复数的定义即可判断出正误；（2）满足|zi|+|z+i|2的复数z的轨迹是线段，即可判断出结论；（3）利用复数的周期性即可判断出结论；（4）若“a，b，c是不全相等的实数”，ab，bc，ca必有一个不等于0，即可判断出结论；（5）若“a，b，c是不全相等的实数”，ab，bc，ca可能同时成立，即可判断出结论【解答】解：（1）实数的共轭复数一定是实数，正确；（2）满足|zi|+|z+i|

11、2的复数z的轨迹是线段，因此不正确；（3）若mZ，i21，则im+im+1+im+2+im+30，正确；（4）若“a，b，c是不全相等的实数”，ab，bc，ca必有一个不等于0，则（ab）2+（bc）2+（ca）20，正确；（5）若“a，b，c是不全相等的实数”，ab，bc，ca可能同时成立，不正确其中正确命题的序号是（1）（3）（4）故选：B【知识点】虚数单位i、复数 二、填空题（共8小题） 11.不等式m2（m23m）i（m24m+3）i+10成立的实数m的取值集合是【答案】3【分析】根据两个复数如果能比较大小，则这两个数都是实数，可得，由此求得m的值【解答】解：由不等式m2（m23m）i

12、（m24m+3）i+10，可得，解得 m3，故答案为 3【知识点】虚数单位i、复数 12.已知2i3是关于x的方程2x2+px+q0的一个根，则p q【答案】【第1空】12【第2空】-23【分析】根据复数实系数方程根的性质进行求解即可【解答】解：2i3是关于x的方程2x2+px+q0的一个根，2i3也是方程2x2+px+q0的一个根，则2i3+（2i3），即6，则P12，（2i3）（2i3）4913，即q23，故答案为：12，23【知识点】虚数单位i、复数 13.已知zC，且|z22i|1，（i为虚数单位），则|z+2i|的最大值为【分析】|z22i|1，表示以C（2，2）为圆心，1为半径的圆

13、，则圆心C到点M（2，1）的距离d，则|z+2i|的最大值为d+r【解答】解：|z22i|1，表示以C（2，2）为圆心，1为半径的圆，则圆心C到点M（2，1）的距离d，则|z+2i|的最大值为d+r故答案为：【知识点】复数的模 14.下列命题，是真命题的有两个复数不能比较大小；若x，yC，x+yi1+i的充要条件是xy1；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集相对复数集的补集是虚数集【答案】【分析】举例说明错误；由两复数相等的充要条件说明错误；由集合间的关系说明正确【解答】解：对于，若两个复数为实数，则能比较大小，故错误；对于，当且仅当x，yR，x+yi1+i的充要条件是xy1

14、，故错误；对于，当a0时，0i0不是纯虚数，故错误；对于，实数集相对复数集的补集是虚数集，故正确故答案为：【知识点】虚数单位i、复数 15.若复数z满足|z2i|1（i为虚数单位），则|z|的最小值为【答案】1【分析】设zx+yi，（x，yR），根据|z2i|1，可得x21（y2）2（y1，3）代入|z|，即可得出【解答】解：设zx+yi，（x，yR），|z2i|1，|x+（y2）i|1，1，x21（y2）2（y1，3）则|z|1当y1时取等号故答案为：1【知识点】复数的模 16.i表示虚数单位，则1+i+i2+i2005【答案】1+i【分析】由i+i2+i3+i40，再结合其周期性，解出即可

15、【解答】解：i+i2+i3+i4i1i+10，复数z1+i+i2+i3+i20051+i，故答案是：1+i【知识点】虚数单位i、复数 17.已知互异复数mn0，集合m，nm2，n2，则m+n【答案】-1【分析】互异复数mn0，集合m，nm2，n2，可得：mm2，nn2；nm2，mn2，mn0，mn解出即可得出【解答】解：互异复数mn0，集合m，nm2，n2，mm2，nn2，或nm2，mn2，mn0，mn由mm2，nn2，mn0，mn，无解由nm2，mn2，mn0，mn可得nmm2n2，解得m+n1故答案为：1【知识点】虚数单位i、复数 18.若复数z满足|z1|1，则|z+2+3i|的最小值为

16、【分析】设zx+yi（x，yR）复数z满足|z1|1，可得（x1）2+y21令x1+cos，ysin0，2）代入|z+2+3i|，化简整理利用三角函数的单调性即可得出【解答】解：设zx+yi（x，yR）复数z满足|z1|1，（x1）2+y21令x1+cos，ysin0，2）则|z+2+3i|31cos1时取等号因此最小值为31故答案为：31【知识点】复数的代数表示法及其几何意义 三、解答题（共8小题） 19.已知复数z满足|z|=，z2的虚部为2，且z所对应的点在第二象限（1）求复数z；（2）若复数满足|1|，求在复平面内对应的点的集合构成图形的面积【分析】（1）设出复数z，利用已知列出方程组

17、，求解可得复数z；（2）把复数z=1+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算|，由复数满足|1|，由复数的几何意义得出在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积【解答】解：（1）设z=x+yi（x，yR），则z2=x2y2+2xyi，由|z|=，z2的虚部为2，且z所对应的点在第二象限，得，解得：，z=1+i；（2）由（1）知：复数z=1+i，=，|=，复数满足|1|，由复数的几何意义得：在复平面内对应的点的集合构成图形是以（1，0）为圆心，为半径的圆面，其面积为【知识点】复数的运算 20.已知z=1+i，a，b为实数（1）若，求|；（2）若，求a，b的值【

18、分析】（1）直接把z=1+i代入化简，再由复数求模公式计算得答案；（2）直接把z=1+i代入化简，再由复数相等的条件计算即可求出a，b的值【解答】解：（1）z=1+i，=（1+i）2+3（1i）4=1i|=；（2）z=1+i，=2+a（a+b）i=1i，解得a，b的值为：1，2【知识点】复数的运算 21.已知复数z+（m22m15）i，mR（1）m取何值时，z为实数？（2）m取何值时，z为虚数？（3）m取何值时，z为纯虚数？【分析】（1）由z为实数可得虚部等于0且分式的分母不等于0，联立求解即可；（2）由z为虚数可得虚部不等于0且分式的分母不等于0，联立求解即可；（3）由z为纯虚数可得实部等于

19、0，虚部不等于0且分式的分母不等于0，联立求解即可【解答】解：（1）z为实数，解得m5当m5时，z是实数；（2）z为虚数，解得m5且m3；当m5且m3时，z是虚数；（3）z为纯虚数，解得m3或2当m3或2时，z是纯虚数【知识点】虚数单位i、复数 22.已知复数x+ai（aR），zx|x|+（1i）（1）若z为纯虚数，求a的值；（2）若z在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围【分析】由x+ai得|x|a+1|，再根据2a+10，可得a+1，得到|x|a+1，求出z（a）+（a1）i，（1）若z为纯虚数，则，求解即可得a的值；（2）若z在复平面内对应的点在第二象限，则，求解即可得a的取值范围

20、【解答】解：由x+ai得|x|a+1|2a+10，a，a+1|x|a+1z+ai（a+1）+（1i）（a）+（a1）i（1）若z为纯虚数，则，解得a1+；（2）若z在复平面内对应的点在第二象限，则，解得a1+【知识点】复数的代数表示法及其几何意义 23.已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），（1）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围（2）若复数z1cos+isin（0），求复数|zz1|的取值范围【分析】利用已知条件求出复数z，（1）列出复数的实部与虚部满足的不等式，求出范围即可（2）利用复数模求解三角函数的最值即可【解答】解：z是复数，z+2i、均

21、为实数，设zx2i，则，x4z42x（1）复数（z+ai）2（42i+ai）216（2a）28（2a）i复平面上对应的点在第一象限，解得2a6（2）复数z1cos+isin（0），复数|zz1|42icosisin|tan2，复数|zz1|的取值范围：【知识点】复数的运算 24.设i为虚数单位，n为正整数，0，2）（1）用数学归纳法证明：（cos+isin）ncosn+isinn；（2）已知z+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数za+bi（a，bR，a2+b20），求证：|zn|z|n（nN*）【分析】（1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用（2）利用（1）的结论即可得出（3）由于，可，利用（1）的结论【解答】（1）证明：1当n1时，左边右边cos+isin，所以命题成立；2假设当nk时，命题成立，即（cos+isin）kcosk+isink，则当nk+1时，（cosx+isin）k+1（cos+isin）k（cos+isin）当nk+1时，命题成立；综上，由1和2可得，（cos+isin）ncosn+isinn（