2023届高三数学小题狂练-向量新定义3（含解析）

1、试卷第 =page 5 5页，共 =sectionpages 6 6页试卷第 =page 6 6页，共 =sectionpages 6 6页一、单选题1设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（）ABCD2定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（）ABCD3向量与向量的向量积仍是向量，记作，它的模是，则（）ABCD04向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知

2、平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（）ABCD5已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫着把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（）ABCD6已知单位向量，满足.若常数的取值集合为，则的最大值为（）ABCD7如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为在的斜坐标系中，则下列结论中，错误的是（）；在上的投影为ABCD8定义，若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（）A6，12B0，6C

3、-1，5D0，129定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足下列条件：()；()；()对于任意的，恒有，现给出下面结论的编号，.则以上正确的编号为（）ABCD10定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中：； ； ；若，则其中恒成立的有ABCD11设非零向量的夹角为，定义运算“*”：下列命题若，则/；设中，则；（为任意非零向量）；若，则.其中正确命题的编号是（）ABCD12已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（）ABCD13给定两个不共线的

4、空间向量与，定义叉乘运算：规定：为同时与垂直的向量；，三个向量构成右手系(如图1)；如图2，在长方体中，则下列结论错误的是（）AB长方体的体积CD14记，设，为平面内的非零向量，则（）ABCD二、填空题15定义是向量 和的“向量积”，其长度为，其中为向量 和 的夹角若，则=_16若两个向量与的夹角为，则称向量“”为向量的“外积”，其长度为.已知两个向量与的模长分别为1和5，数量积为 ，则_.17已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为_.18设V是已知平面M上素有向

5、量的集合，对于映射，记的象为若映射满足：对所有及任意实数都有，则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：设f是平面M上的线性变换，则；若是平面M上的单位向量，对，设，则f是平面M上的线性变换；对，设，则f是平面M上的线性变换；设f是平面M上的线性变换，则对任意实数k均有其中的真命题是_（写出所有真命题的编号）19如图，在平面斜坐标系中，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴同方向的单位向量），则P点和向量的斜坐标为(x，y)给出以下结论：若，P(2,1)，则；若，则；若，则；若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为其中所有正确的结论的序号是_20设平面中所有向量

6、组成集合，为中的一个单位向量，定义.则下列结论中正确的有_（只需填写序号）.若，则；若，则；若，则有唯一解.答案第 = page 13 13页，共 = sectionpages 13 13页答案第 = page 12 12页，共 = sectionpages 13 13页参考答案：1B【分析】根据，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式求解.【详解】 则，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2B【分析】求得，设，整理可得为关于的关系式，进而求解.【详解】因为，所以，设，由向量为单位向量，所以，因为，所以，

7、故选：B3A【分析】由向量的新定义，结合平面向量数量积的运算律，即可求目标式.【详解】.故选：A.4D【分析】先求出的坐标，再根据旋转角求出的坐标，然后设出点P的坐标，解出即可.【详解】解：由题意可知，把点绕点A逆时针方向旋转，得到点，设，则，所以，解得，所以点的坐标为，故选：D.5C【分析】由已知可得，然后根据所给的定义可得的坐标，从而可求出点的坐标【详解】解：由，得，则由题意可得所以点的坐标为，故选：C6B【分析】由条件，化简为，再根据条件判断和的取值，再根据，求的最大值.【详解】由条件得，和的取值只有三种可能，分别为，但二者不可能同时一个取，另一个取，的化简结果只有四种形式：，而，故所有

8、可能取值只有或两种结果，的最大值为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断和的取值，从而利用，求的最大值.7D【分析】借鉴单位向量夹角为 时的情况，注意夹角为； ；数量积为；在上的投影为 .【详解】对于. ，所以，故正确；对于. ，故错误；对于. ，故错误；对于. 在上的投影为 ，故错误.故选：D8A【分析】设，则,由即得解.【详解】由题意知，设，则又，故选：A9B【分析】根据题意可得，转化为对于任意的恒成立，即，整理得，再利用向量的数量积逐一判断即可.【详解】由于，又对于，恒有，显然有，即，则对于任意的恒成立，显然有成立，即，则，故序号错误，进而，于是，得，即序号正确.再由得，得，显然

9、序号正确.从而序号错误，再由，故序号错误.综上知本题正确的序号为.故选：B.【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.10A【分析】由新定义逐一判断即可求解【详解】因为，所以，故成立，所以正确；，故当时，不成立，所以错；，显然当不共面时不成立，例如为两两垂直的单位向量，则，所以错；由，可知，所以，故正确故选：A11D【解析】根据新运算的定义，对选项进行逐一分析即可

10、求得.【详解】，解得或，故/，则正确；由的定义可知，其结果表示以为一组邻边的平行四边形的面积，故，则正确；不妨取，故可得，而，显然不相等，故错误；若，则，故正确.故选：D.【点睛】本题考查向量新定义问题，属中档题.12D【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解【详解】由题意可得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，即把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则，设，则，解得，所以故选：D13C【分析】根据新定义可判断A，C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断B；根据新定义计算等号左右两边可判断D，进而可得正确答案.【详解】对于A：同时与，垂直；，三个向量构成右手

11、系，且，所以，故，所以选项A正确；对于B：长方体的体积为，又因为，所以长方体的体积，故选项B正确；对于C：根据定义可得：，所以，故选项C不正确；对于D：因为，且与同向共线，且与同向共线，又因为与同向共线，所以，且与同向共线，故选项D正确；所以结论错误的是选项C，故选：C.14D【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题.【详解】对于A选项：考虑，根据向量加法减法法则几何意义知： ，所以A错误；B选项：根据平面向量数量积可知：不能保证恒成立，所以它们的较小者一定小于等于，所以B错误D正确；C选项：考虑 ，所以C错误. 故选：D【点睛】此题考查向量相关新定义问题，其本质考查

12、向量加减法运算的几何意义，平面向量数量积的运算和辨析，综合性较强，解题中结合排除法得选项.15【分析】根据数量积,求出夹角,然后再根据向量积的定义,即可求解.【详解】，,进而,所以 由“向量积”的定义可知: 故答案为: 163【分析】由数量积的定义求出向量的夹角，再结合新定义得到结果【详解】解：因为若，所以，所以，所以故答案为：317.【分析】求得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点P，由定义求得，进而可求得点的坐标.【详解】由题意得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点P，则，又，设，则，解得，即点的坐标为.故答案为：.18【分析】取，可判断；取，可判断；根据线性变换的定义验证即可判断.【详解】取，可知为真；因为，所以，当时，所以为假；因为，所以，所以，故正确；取，可知为真.故答案为：19【分析】根据点的斜坐标得到向量的斜坐标，进而得到向量用基底，的线性表达式，直接利用向量的模的性质和平面向量的数量积的运算求解|OP|即可判定；利用向量的加法运算性质求得两个向量的和向量关于基底，的线性表达形式，再根据协作表的定义即可判定的正确性；利用两个向量关于基底的线型表达式相乘，利用平面向量的数量积的运算法则运算后即可判定一般情况下不成立；利用轨迹方程的求法，结合向量的模和数量积的运算即可得到以原点为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程，从而