2023届高三数学小题狂练-向量新定义2（含解析）

1、试卷第 =page 5 5页，共 =sectionpages 6 6页试卷第 =page 6 6页，共 =sectionpages 6 6页一、单选题1设向量=(a1，b1)，=(a2，b2)，定义一种运算“”，向量=(a1，b1)(a2，b2)=(a2b1，a1b2).已知，点P(x，y)在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m+n(其中O为坐标原点)，则y=f(x)的最小值为（）A-1B-2C2D2如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，则（）AB8C16D203对于个向量，若存在个不全为0的示数，使得：成立；则称向量

2、是线性相关的，按此规定，能使向量，线性相关的实数，则的值为（）AB0C1D24向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（）ABCD5定义：，其中为向量与的夹角，若，则等于（）ABC或D6定义：，其中为向量与的夹角，若，则等于（） ABC或D7对于非零向量，定义运算”：，其中为的夹角设为非零向量，则下列结论中不成立的是（）

3、AB若，则CD8若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量，即为“等模整向量”，那么模为的“等模整向量”有（）A4个B6个C8个D12个9定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)，且、和构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2) 的模(表示向量、的夹角).如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，正确的有（）A与方向相反BC与正方体表面积的数值相等D与正方体体积的数值相等10设非零向量，的夹角为，定义运算“”，为任意非零向量，下列命题：若，则；若，则；若，则.其

4、中正确命题的个数是（）A0B1C2D311对于非零向量，定义一种向量积：.已知非零向量，的夹角，且，都在集合中，则（）A或B或C1D12向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：为同时与，垂直的向量；，三个向量构成右手系（如图1）；若，则，其中如图2，在长方体中，则下列结论正确的是（）ABCD长方体的体积13互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，

5、记，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中，下列选项错误的是（）A当时与距离为B点关于原点的对称点为C向量与平行的充要条件是D点到直线的距离为二、填空题14已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量如图所示，顶角的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为、，则顶点R的坐标为_15已知向量，规定，之间的一种运算.若向量，运算，则向量_.16设=(a,b),=(c,d),规定两向量，之间的一个运算“”为=(ac-bd,ad+bc),若=(1,2),=(-4,-3),则=_ .17若两个向量与的夹角为，则称向量“”为向量的“外积”，其长度为.已知两个向量与的模长分别为1和5，数

6、量积为 ，则_.18对于任意的两个向量,规定运算“”为.设,若,则_.19已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量=(a，b)，对应复数z=a+ib，向量x逆时针旋转一个角度，得到复数，于是对应向量.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC的两个顶点坐标是A(1，2)，B(3，4)，则C的坐标是_.(任写一个即可)答案第 = page 13 13页，共 = sectionpages 13 13页答案第 = page 12 12页，共 = sectionpages 13 13页参考答案：1B【分析】根据平面向量新定义可得，由题意可得点Q的纵坐标在上变化，结合的值域

7、即可得出最小值.【详解】由题意知，点P的坐标为，则=+=.则是满足当横坐标为时，纵坐标为的函数，又，所以点Q的纵坐标在上变化，因此的最小值为.故选：B2C【解析】利用平面向量数量定义求出夹角的余弦值，进而可得其正弦值，再根据向量积的定义可求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：C【点睛】关键点点睛：根据平面向量数量积的定义求出夹角的余弦值,进而求出其正弦值是解题关键.3B【分析】由题可得，结合条件可得，即得.【详解】由题可知，所以，两等式两边相加可得.故选：B4D【分析】先求出的坐标，再根据旋转角求出的坐标，然后设出点P的坐标，解出即可.【详解】解：由题意可知，把点绕点A逆时针方

8、向旋转，得到点，设，则，所以，解得，所以点的坐标为，故选：D.5A【分析】利用平面向量数量积的定义以及同角三角函数的基本关系可求得的值，结合题中定义可求得的值.【详解】由已知可得，则，因此，.故选：A.6A【分析】由向量数量积定义可求得，根据同角三角函数关系可得，代入定义式即可求得结果.【详解】，又，.故选：A.7C【分析】根据已知条件中新定义的运算逐项分析即可.【详解】A：因为，故A正确；B：因为，所以，即或，所以，故B正确；C：因为（为与的夹角），而（为的夹角，为的夹角），所以与不一定相等，故C错误；D：因为，故D正确.故选：C.8D【分析】把，分别写出向量即可.【详解】因为 所以模为的等

9、模整向量有， ，所以模为的等模整向量共有12个.故选：【点睛】在求向量模的有关问题时通常的处理方法有：(1)a2aa|a|2或；(2)；(3)若a(x，y)，则|a|.9C【解析】由向量与的外积的定义，根据外积的定义逐项判断即可得到结果.【详解】A选项，在正方体中, 根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，错，B选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，不可能相等，错，C选项，根据向量外积的第二个性质可知，则与正方体表面积的数值相等，故C对，D选项，与的方向相反，则，故D错，故选：C.10C【分析】根据新定义计算可判断ABD的正误，利用反例可判断C是错误的，从而可得正确的选项.【详解】

10、对于A，若，则，因为，均为非零向量，故，而，故或，故，故A正确.对于B，其中为，的夹角，为，的夹角，所以，因为均为非零向量，故，该式推不出，故B错误.对于C，如图：，的夹角为，共线反向，故，而，故C错误.对于D，因为，故，当且仅当时等号成立,，故D正确.故选：C.【点睛】思路点睛：对于与向量有关的新定义问题，首先要弄清楚新定义运算的实质，并根据它结合已知的一些常见计算来判断衍生出的性质是否成立.11D【解析】由新定义运算求出，相乘后根据的范围得出，从而可得结论【详解】.同理可得.再由与的夹角，可得，两式相乘得，故选：D.【点睛】本题考查新定义运算，解题关键是把新转化定义运算转化实数运算，再进行

11、分析12C【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.【详解】解法一：同时与，垂直；，三个向量构成右手系，且，所以选项A错误；根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误；因为，且与同向共线；又因为，且与同向共线，与同向共线，所以，且与同向共线，故选项C正确；因为长方体的体积为又因为由右手系知向量方向垂直底面向上，与反向，所以，故选项D错误；故选：C解法二：如图建立空间直角坐标系：，则，所以选项A错误；，则，故选项D错误；，故选项B错误；，则，则所以，故选项C正确；故选：C13D【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设轴正方向的单位向量为，轴正方向的单

12、位向量为，对于A选项：由已知得，所以.由及斜坐标的定义可知，故A选项正确；对于B选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点，则，设关于原点的对称点为，则，由于不共线，所以，故B选项正确；对于C选项：，若是零向量，则成立，同时，所以成立，此时；若是非零向量，则存在非零常数，使，所以.故C选项正确；对于D选项：设直线上的动点为,，因为，所以，设，则点在直线上，所以直线过点，因为，则，由于，所以.所以，所以，所以点A到直线的距离为，故D选项错误.故选：D14【分析】设，表示出，根据已知列出式子即可求出.【详解】设，则，因为，所以，解得，即顶点R的坐标为.故答案为：.15【分析】设，利用向量运算的新定义，即可求解.【详解】设，所以，解得：，所以.故答案为：16【详解】令q=(x,y),由题意可得p=(1,2),pq=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),则x-2y=-4,且y+2x=-3,求解可得x=-2,y=1, 则q=(-2,1).173【分析】由数量积的定义求出向量的夹角，再结合新定义得到结果【详解】解：因为若，所以，所以，所以故答案为：318【解析】根