选修2-3第04讲二项分布及其应用

1、文档编码 : CC5T9H1T5F10 HW1Y1A8K4S1 ZS10U4D5H8R1第 4 讲二项分布及其应用A 组一、选择题1某人投篮一次投进的概率为 2 ,现在他连续投篮 6 次,且每次投篮相互之间没有影3响,那么他投进的次数 听从参数为（ 6 ,2 ）的二项分布,记为B 6 , 2 ,计3 3算 P 2 （）A. 20 B. 8 C. 4243 243 729D. 427【答案】 A【解析】由题意得, 依据二项分布概率的运算可得P22 C 62 2 132420,应选 A32432已知离散型随机变量X听从二项分布XB n p且E X12,D X4,就 n与 p 的值分别为A18,2

2、B18,1 C12,2 D12,13333【答案】 A【解析】由二项分布的数学期望和方差公式可得np1124, 解之得n18 p2, 故应选npp 3A.3随机变量听从二项分布B n p ,且E300,D200,就 p 等于（）A2 3 B1 3 C 1 D 0【答案】 B【解析】由题意可得E Dnp300200,解得n900,p1,应选 B.）30.64np1p34如随机变量,且E X3,就P X1的值是（A24 0.4 B25 0.4 C34 0.4 D【答案】 C【解析】由题意E X0 6 n3,n5,P X11 C 50.60.4430.44应选 C试卷第 1 页,总 13 页5随机变

3、量听从二项分布Bn ,p,且E300 D200,就 p 等于（）A. 2 B. 31 C. 1 D. 0 3【答案】 B【解析】由E300 D200,可知np300,np1p200p21（）36已知随机变量X听从二项分布XB6,1,就P X3A3 16 B4 C13 243 D80 243243【答案】 D【解析】由题意得,随机变量X服从二项分布XB6,1,就3P X2 21 C32 14 18 0,应选 D2 4 36, 那么播下 4 粒种子至少有2 粒发芽的3二、填空题7某一批花生种子, 假如每 1 粒发芽的概率为4 5概率是 . （请用分数表示结果）【答案】608 625【解析】由对立大

4、事可知所求概率为P10 C 4401441 C 44114360855556258李老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布如下表：” 处字迹模糊,请小王同学运算的数学期望,尽管“ ？” 处完全无法看清,且两个“ ！但能确定这两个“ ！ ” 处的数值相同据此,小王给出了正确答案E_【答案】 2【解析】设 .x ,.y ,就 2xy1,E4 x2y2 2xy210,2 5, 就 D .9设随机变量B【答案】12 5试卷第 2 页,总 13 页【解析】：随机变量听从二项分布,且B2 10, 5, D102 5 （ 1-2 5）=12 5, 故答案为：12 5三、解答题10某食品企业一个月内被消费者投

5、诉的次数用表示,椐统计,随机变量的概率分布如下：（）求 a 的值和 的数学期望；（） 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,消费者投诉 2 次的概率【解析】求该企业在这两个月内共被（1）由概率分布的性质有0.10.32 aa.1,解得a0.2, 的概率分布为0.43 0.21.7E00.11 0.32（ 2）设大事 A 表示“ 两个月内共被投诉2 次” 大事 A1 表示“ 两个月内有一个月被投诉2 次,另外一个月被投诉0 次” ；大事A2 表示“ 两个月内每月均被投诉1 次” ,就由事件的独立性得P A 11 C P2P020.40.10.08,0.17.P A 2P122 0.30.

6、09,0.17,P AP A 1P A 20.080.09故该企业在这两个月内共被消费者投诉2 次的概率为11某校举办中同学“ 珍爱地球 爱惜家园” 的环保学问竞赛, 竞赛分为初赛和复赛两部分, 初赛接受选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有 5 次答题机会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止竞赛,答对 3 题者直接进入复赛,答错 3 题者就被剔除已知选手甲答对每个题的概率均为 3,且相互间没有影响4（）求选手甲进入复赛的概率；（）设选手甲在初赛中答题的个数为【解析】X ,试求 X 的分布列和数学期望（）设“ 选手甲进入复赛” 为大事A ,就选手甲答了3题都对进入复赛概率为

7、：C33327；3381,或选手甲答了 5464或选手甲答了 4 个题,前 3 个 2 对1错进入复赛C23213444256试卷第 3 页,总 13 页个题,前 4 个 2 对 2错进入复赛,C 4 2 3 2 1 2 3 81,4 4 4 512 选手甲进入复赛的概率 P A 27 81 81 45964 256 512 512（） X 的可能取值为 3, 4 , 5 ,对应 X 的每个取值,选手甲被剔除或进入复赛的概率P X33 C 333C31372314534416P X42 C 332132 C 31 444444128P X52 C 4 34212274128X 的分布列为：X3

8、451和1 4,试求：P X7452716128128EX374455274831612812812812甲、乙两人破译一密码,它们能破译的概率分别为31 两人都能破译的概率；2 两人都不能破译的概率；3 恰有一人能破译的概率；4 至多有一人能破译的概率；5 如要使破译的概率为 99%,至少需要多少乙这样的人？【解析】设大事 A为“ 甲能译出” , 大事 B为“ 乙能译出” , 就 A、B 相互独立, 从而 A与 B 、 A与 B、 A 与 B 均相互独立1 “ 两人都能译出” 为大事 AB,就PAB PAPB 111 .3 4 122 “ 两人都不能译出” 为大事 A B ,就P A B P

9、 A P B 1 PA1PB1 11 11 .3 4 23 “ 恰有一人能译出” 为大事 P A B PAP B P A PBAB A B,又 AB 与 A B互斥,就 PA B A BPA B 试卷第 4 页,总 13 页1 3111115 12.4344 “ 至多一人能译出” 为大事 PA B A B A B AB A B A B ,且 AB 、 A B、 A B 互斥,故 PAP B P A PB P A P B 1 311111111111 12.11n,故 n 个乙433445 设至少需n 个乙这样的人,而n 个乙这样的人译不出的概率为4这样的人能译出的概率为111 4n99%.解得

10、 n16.故至少需 16 个乙这样的人,才能使译出的概率为 99%.13如图,由 M到 N的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2, T3,T4,电流能通过 T1,T2,T3的概率都是 p,电流能通过 T4的概率是 0.9. 电流能否通过各元件相互独立已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999.1 求 p；2 求电流能在 M与 N之间通过的概率【解析】解 : 记 Ai 表示大事：电流能通过 Ti, i 1,2,3,4.A 表示大事： T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流 B 表示大事：电流能在 M与 N之间通过1 A A1A2A3,A1,A2,A3相互独立,P A

11、P A 1A 2A 3 P A 1P A 2P A 3 1 p 3,又 P A 1PA 10.999 0.001 ,故 1 p 30.001 ,p0.9.2B A4 A4 A1 A3 A4A1 A2 A3PB PA4 P A 4 A1 A 3 A 4A 1 A2 A3 , PA4 P A4PA1PA3 P A4P A1PA2PA3 0.9 0.1 0.9 0.9 0.1 0.1 0.9 0.9 0.9891.试卷第 5 页,总 13 页14生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品,小于82 为次品,现随机抽取这两种元件各100 件进行检测,检测结果统计如下：

12、（ 1）试分别估量元件 A、元件 B 为正品的概率；（ 2）生产一件元件 A,如是正品可盈利 50 元,如是次品就亏损 10 元；生产一件元件 B,如是正品可盈利 100 元,如是次品就亏损 20 元,在（ 1）的前提下；（ 1）求生产 5 件元件 B所获得的利润不少于 300 元的概率；（ 2）记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望【解析】（1）由题可知 元件 A 为正品的概率为 P 1 40 32 8 4,100 5元件 B 为正品的概率为 P 2 40 29 6 3； 2 分100 4（ 2）（ 1） 设生产的 5 件 元件

13、中正品 件数 为 x ,就 有次品 5 x 件 ,由 题意知100 x 205 x 300 得到 x 4,5,设“ 生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300元” 为大事 C ,就 P C C 5 4 3 4 1 C 5 5 3 5 81；4 4 4 128（ 2）随机变量 X 的全部取值为 150,90,30 ,-30 ,就 P X 150 4 3 3,P X 90 1 3 3,P X 30 4 1 1,5 4 5 5 4 20 5 4 51 1 1P X 30,所以 X 的分布列为：5 4 203 3 1 1E X 150 90 30 30 1085 20 5 2015 某 计 算

14、机 程 序 每 运 行 一 次 都 随 机 出 现 一 个 五 位 的 二 进 制 数 A1aa 2a 3a 4a 5,其中 A的各位数中, a11,akk 2,3,4,5显现 0 的概率为1 3,显现 1 的概率为2 3. 记 Xa1a2a3a4 a5,当程序运行一次时,1 求 X3 的概率；2 求 X的分布列【解析】 1已知 a11,要使 X3,只需后四位中显现2 个 1 和 2 个 0. PX3 C42 22 12 8 27.33试卷第 6 页,总 13 页2 令 Ya2a3a4a5, Y0,1,2,3,4.易知 YB4,2,XY1,4 1 81.3 X的可能取值为1,2,3,4,5.P

15、X1 PY0 C40 20 133PX2 PY1 C41 21 13 8 81.33PX3 PY2 C42 22 12 8 27.33PX4 PY3 C43 23 1.1 32 8133PX5 PY4 C44 24 10 16 81.33 X的分布列为X12345P18832168181278181B 组 一、选择题1已知随机变量X 听从二项分布B n p ,如E X30,D X20,就 p（）A1 3 B2 3 C1 5 D2 5【答案】 A【解析】由题意得, 根 据二项分布的期 望与 方差的公式可知 ：E Xnp30,D Xnp 1p 20,解得p1,应选 A.3 天乘车32已知某人每天早

16、晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为,就他在中,此班车至少有2 天准时到站的概率为（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】此班车正好有2 天准时到站的概率为=,=此班车 3 天都准时到站的概率为试卷第 7 页,总 13 页故他在 3 天乘车中,此班车至少有2 天准时到站的概率为+=,应选 C3在高三的一个班中,有 1 的同学数学成果优秀,如从班中随机找出 5 名同学,那么4数学成果优秀的同学数 B5 ,1 ,就 P k 取最大值的 k 值为 4A0 B1 C2 D3【答案】 B【 解 析 】 依 题 意 ,k C 53 45 k 1 4kCk13 45 k 1 1 4k 1 且k C

17、 5 35 5,4k 1 4kCk13 45k 1 1 4k1,解得 1 2k3 2, k1,应选 B54将三颗骰子各掷一次,记大事A“ 三个点数都不同”,B“ 至少显现一个点”就条件概率 P A B, P B A 分别是（）A.60 91,1 2B.1 2,60 91C.5 18,60 91D.91 216,1 2【答案】 A【解析】由题意得大事 A 的个数为 6 5 4 120,大事 B 的个数为 6 35 391,在 B 发生的1 2 1 2条件下 A 发生的个数为 C A 5 60,在 A 发生的条件下 B 发生的个数为 C A 5 60,所以 p A B 60,P B A 60 1.

18、 故正确答案为 A.91 120 25如随机变量 X B 6,1,就 P X 3 等于（）2A5 B 3 C 5 D 716 16 8 16【答案】 A【解析】：随机变量XB（ 6,1 2）, P（X=k） =Ck1 26k1 2k=Ck1 26,66 P（x=3）=C316= 5 16 ；6X表示击中目标的次数,26某人射击一次击中目标的概率为06,经过 3 次射击,设就P X 2等于（）A81 125 B 54 125 C 36 125 D 27 125【答案】 A【解析】至少有两次击中目标的对立大事是最多击中一次,有两类情形：一次都没击中、击中一次；试卷第 8 页,总 13 页一次都没击

19、中： 概率为（1-0 6）3=0 064；击中一次： 概率为 C3,1 06 （1-0 6）2=0 288所以最多击中一次的概率为 为 1-0 352=06480 064+0 288=0 352,所以至少有两次击中目标的概率7在一次反恐演习中,我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各 发射一枚导弹） ,由于天气缘由,三枚导弹命中目标的概率分别为 09,09,08,如至少有两枚导弹命中目标方可将其摧残,就目标被摧残的概率为（）A0998 B 0046 C 0002 D 0954【答案】 D【解析】设 Ak表示“ 第 k 架武装直升机命中目标” k=1,2, 3这里 A1,A2,A3

20、独立,且 P（ A1） =09, P（A2）=09,P（A3）=08恰有两人命中目标的概率为P（ A1.A2.A +A 1.A .A 3+A .A 2.A 3）P（A3）+P（1A ）P（A2）P（A3）=P（A1）P（A2）P（A ）+P（A1）P（A 2=09 09 01+09 01 08+01 0 9 08=0306三架直升机都命中的概率为：09 0 9 08=0648目标被摧残的概率为：P=0306+0648=0954二、填空题8箱中装有标号为 1,2,3, 4,5,6 且大小相同的 6 个球,从箱中一次摸出两个球,登记号码并放回,假如两球号码之积是 4 的倍数,就获奖现有 4 人参加

21、摸奖,恰好有3 人获奖的概率是 _.【答案】96625【解析】2由题意知,第一求出摸一次中奖的概率,从 6 个球中摸出 2 个,共有 C 6 15 种结果,两个球的号码之积是 4 的倍数,共有 1,4 , 3,4 , 2, 4 , 2,6 , 4,5 , 4,6 ,摸一次中奖的概率是 6 2,4 个人摸奖,相当于发生 4 次试验,且每一次发生的15 5概率是 2 ,有 4 人参加摸奖,恰好有 3 人获奖的概率是 C 4 3 2 3 3 96.5 5 5 6259投掷两个骰子,至少有一个 4 点或 5 点显现时,就说这次试验成功,就在 10 次试验中,成功次数 X的期望是 _【答案】509【解析

22、】在一次试验中成功的概率为 1445,6 6 9 XB 10, 5, EX np10550 .9 9 910甲、乙两人进行乒乓球竞赛,接受“ 五局三胜制” ,即五局中先胜三局为赢,如每场竞赛甲获胜的概率是2,乙获胜的概率是1,就竞赛以甲三胜一负而终止的概率为33_试卷第 9 页,总 13 页【答案】827【解析】甲三胜一负即前 3 次中有 2 次胜 1 次负,而第 4 次胜, PC3 2 2 2128,3 3 3 27甲三胜一负而终止的概率为 8 .2711甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8,0.6,0.5,就三人都达标的概率为 _,三人中至少有一人达标的概率为 _【

23、答案】 0.24 0.96【解析】 每个人是否达标是相互独立的,“ 三人中至少有一人达标” 的对立大事为“ 三人均未达标” ,设三人都达标为大事 A,三人中至少有一人达标为大事 B,就 PA 0.8 0.6 0.5 0.24 ,PB 10.2 0.4 0.5 0.96.12有一道数学难题,在半小时内甲能解决的概率是1 2,乙能解决的概率为1,两人3试图独立地在半小时解决,就两人都未解决的概率为_【答案】13【解析】都未解决的概率为11111 3.23三、解答题13甲、乙、丙三名射击选手,各射击一次,击中目标的概率如下表所示k,k0p1：选手甲乙丙01 2 3,概率1pp2如三人各射击一次,恰有

24、k 名选手击中目标的概率记为P kP X（ 1）求 X的分布列；（ 2）如击中目标人数的均值是 2,求 P 的值【解析】（1）P 01 1 2p2；P 111P221p1p 1p21,31p22p1,2222P 22 12p1p1p21p2p,P 312 p ,222X的分布列为23X01P1 1 2p21p211p2p12 p2222（2）EX011p 211p2121p2p2222222p12,p3241 个密码,他们能译出密码的概率分别为1和1 4,求14甲、乙两人独立地破译3试卷第 10 页,总 13 页（ 1）恰有 1 人译出密码的概率；（ 2）如达到译出密码的概率为99,至少需要多

25、少乙这样的人100【解析】（1）P A 1,P B 1 P P A B P A B 1 3 2 1 53 4 3 4 3 4 12n n（ 2） n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 1 11 1 199解得4 4 100n17；设“ 甲译出密码” 为大事 A；“ 乙译出密码” 为大事 B,就 P A 1,P B 13 4（ 1）P P A B P A B 1 3 2 1 53 4 3 4 12n n（ 2） n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 1 11 1 199解得4 4 100n17达到译出密码的概率为 99,至少需要 17 人10015一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球, 假设

26、袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的；（）从袋子中任意摸出 3 个球,求摸出的球均为白球的概率；（）一次从袋子中任意摸出3 个球,如其中红球的个数多于白球的个数,就称“ 摸球成功” （每次操作完成后将球放回）,某人连续摸了3 次,记“ 摸球成功” 的次数为,求的分布列和数学期望；【解析】（）设从袋子中任意摸出3 个球 , 摸出的球均为白球的概率是P3随P3 C 41 . 303 C 10（） 由一次” 摸球成功” 的概率P3 C 62 1C C 6 423 C 103机变量听从二项分布B3,2, 分布列如下3012P1612827272727E216“ 蛟龙号” 从海底中带回的某种生物,甲乙两

27、个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情形进行争论,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为1 ,乙 3试卷第 11 页,总 13 页组能使生物成活的概率为1 ,假定试验后生物成活,2就称该试验成功, 假如生物不成活,就称该次试验是失败的（ 1）甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率；（ 2）假如乙小组成功了 4 次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率；（ 3）如甲乙两小组各进行2 次试验,设试验成功的总次数为,求的期望【解析】（1）甲小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率为P A C 3 2 1 2 1 1 C 3 3 1 3 74 分3 3 3 27（ 2）依据乙小组在第四次成功前共有三次失败,可知乙小组共进行了 6 次试验,其中2三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,所以各种可能的情形数为 A 4 12 种,所以所求的概率为 P B 12 1 3 1 3 1 3.2 2 2 32（ 3）由题意 的取