选修2-3教案：121排列

1、文档编码 : CQ1M10Z8Z2Q8 HV10I3Z10J7S8 ZA9Q1V8Z8J81 2 1 排列教学目标：学问与技能：明白排列数的意义,把握排列数公式及推导方法,从中体会“ 化归” 的数学思 想,并能运用排列数公式进行运算；过程与方法：能运用所学的排列学问,正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观：能运用所学的排列学问,正确地解决的实际问题 .教学重点： 排列、排列数的概念 教学难点： 排列数公式的推导 授课类型： 新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入：1 分类加法计数原理：做一件事情,完成它可以有 n 类方法,在第一类方法中有 m 种不同的方法,在其次类方法中

2、有 m 种不同的方法, ,在第 n 类方法中有 m 种不同的方法 那么完成这件事共有 N m 1 m 2 m 种不同的方法2. 分步乘法计数原理：做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m 种不同的方法,做其次步有 m 种不同的方法, ,做第 n 步有 m 种不同的方法,那么完成这件事有 N m 1 m 2 m n 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区分在于 :分类加法计数原理针对的是“ 分类”问题 ,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类 ,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“ 分步” 问题

3、,各个步骤中的方法相互依存 ,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤 ,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原懂得题 :1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成仍是分步完成 ,“ 类” 间相互独立, “ 步” 间相互联系；3.有无特别条件的限制二、讲解新课：1 问题：问题 1从甲、乙、丙3 名同学中选取2 名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法？分析： 这个问题就是从甲、乙、丙 3 名同学中每次选取 2 名同学, 依据参加上午的活动在前, 参加下午活动在后的次序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有 6 种不同的排

4、法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙,其中被取的对象叫做 元素解决这一问题可分两个步骤：第 1 步,确定参加上午活动的同学,从 3 人中任选 1 人,有 3 种方法；第 2 步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选, 于是有 2 种方法 依据分步乘法计数原理,在 3 名同学中选出 2 名,依据参加上午活动在前,参加下午活动在后的次序排列的不同方法共有 3 2=6 种,如图 1.2 一 1 所示图 1.2 一 1 把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题可表达为：从3 个不同的元素 a , b ,；中任取 2 个,然后依据确定的次序排

5、成一列,一共有多少种不同的排列方法？全部不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3 2=6 种问题 2从 1,2,3,4这 4 个数字中,每次取出3 个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数？分析 ：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数,在 4 个字母中任取1 个, 有4 种方法； 其次步确定中间的数,从余下的 3 个数中取, 有 3 种方法； 第三步确定右边的数,从余下的 2 个数中取,有2 种方法由由分步计数原理共有：4 3 2=24 种不同的方法, 用树型图排出, 并写出全部的排列此可写出全部的排法明显,从 4 个数字中,每次取出 3 个,按“ 百” “

6、十” “ 个” 位的次序排成一列,就得到一个三位数 因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第 1 步,确定百位上的数字,在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个,有 4 种方法；第 2 步,确定十位上的数字, 当百位上的数字确定后, 十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取,有 3 种方法；第 3 步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取,有 2 种方法这 4 个不同的数字中,每次取出 3 个数依据分步乘法计数原理,从 1 , 2 , 3 , 4 字,按“ 百”“ 十” “ 个” 位

7、的次序排成一列,共有4 3 2=24 种不同的排法,因而共可得到24 个不同的三位数,如图1. 2一 2 所示由此可写出全部的三位数：123,124, 132, 134, 142, 143,213,214, 231, 234, 241, 243,312,314, 321, 324, 341, 342,412,413, 421, 423, 431, 432 ；同样,问题 2 可以归结为：从 4 个不同的元素 a, b, c,d 中任取 3 个,然后依据确定的次序排成一列,共有多少 种不同的排列方法？全部不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, b

8、ca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4 3 2=24 种. 树形图如下 a b 2排列的概念：从 n 个不同元素中,任取 m （ m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）依据确定的次序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素,按确定的次序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同,元素的排列次序也相同 3排列数的定义：n 个元素中取 从 n 个不同元素中,任取 m （ m n ）个元素的全部排列的个

9、数叫做从出 m 元素的 排列数 ,用符号 A 表示 n m留意区分排列和排列数的不同：“ 一个排列” 是指：从 n 个不同元素中,任取 m 个元素 依据确定的次序 排成一列,不是数； “ 排列数” 是指从 n 个不同元素中,任取 m （ m n ）m 个元素的全部排列的个数,是一个数 所以符号 A 只表示排列数,而不表示具体的排列4排列数公式及其推导：由2 A 的意义：假定有排好次序的 n2 个空位,从 n 个元素a a 1 2,a 中任取 2 个元素去 n填空, 一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,全部不同的填法的种数就是排列数述

10、填空共有n n1种填法,2 A = n n12 A 由分步计数原理完成上求由此,求3 A 可以按依次填3 个空位来考虑,3 A = n n1n2,m A 以按依次填 m 个空位来考虑m A nn n1 nm1,2n排列数公式：m A nn n1 n2nm1（m nN,mn）说明：（ 1）公式特点：第一个因数是n ,后面每一个因数比它前面一个少 1,最终一个因数是 n m 1,共有 m 个因数；（2）全排列 ：当 n m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：A n nn n 1 n 2 2 1 n （叫做 n 的阶乘 ）另外,我们规定 0. =1 . 4 5 18 13例 1用运算器

11、运算： 1 ）A ； 2 ）A ; 3）A 18 A 13 .解：用运算器可得：由（ 2 3 ）我们看到,5 A 1818 A 1813 A 13那么,这个结果有没有一般性呢？即m A nn A n nn. n m A n mm .排列数的另一个运算公式：即m A nn n1 n2nm1. 0,n n1n2nm1nm 3 2 1nn.=n A nnm nm13 2 1m .n mA n mm A =nn.10m .例 2解方程： 33 A x22 A x12 6 A 解：由排列数公式得：3 x x1x22x1x6 x x1,x3,3x1x22x16x1,即3 x217x解得x5或x2,x3,且

12、 xN ,原方程的解为x53例 3解不等式：x A 96x A 92解：原不等式即99.69.x.,x11也就是91x .11x6x 9x .,化简得：x221x1040, 10解得x8或x13,又 2x9,且 xN ,所以,原不等式的解集为2,3,4,5,6,7例 4求证：（1）n A nm A nn mA n m；（2）2 . n2 n .1 3 52n1证明：（ 1）m A nn m A n mnn.nm .n.n A ,原式成立m .（2）2 . n2 n .2n2n1 2nn24 3 2 1n 2.2nnn12 1 2n12n33 1n 2n.n. 1 32n.32n11 3 52n

13、1右边n原式成立说明：（ 1）解含排列数的方程和不等式时要留意排列数m A 中,m nN 且 mn 这些限制条件,要留意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范畴；式（2）公式m A nn n1 n2nm1常用来求值,特别是m n 均为已知时,公m A =nn .,常用来证明或化简n.1； 1 1.22.3 3.nn.m .例 5化简：1232.3.4.n解：原式1.11111n11.1112.2.3.3.4.n.n.提示：由n1 .n1n.nn .n ,得n n.n1 .n ,原式n1 . 1说明：n.1n11.1nn.其次课时例 1课本 例 2某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14 个队参加

14、,每队要与其余各队在主、客场分别竞赛一次,共进行多少场竞赛？解：任意两队间进行 1 次主场竞赛与 1 次客场竞赛, 对应于从 14 个元素中任取 2 个元2素的一个排列因此,竞赛的总场次是 A =14 13=182. 例 2课本 例 31 ）从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法？2 ）从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法？解：1 ）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学, 对应于从 5 个不同元素中任取3 个元素的一个排列,因此不同送法的种数是3A =5 4 3=60. 2 ）由于有

15、5 种不同的书,送给每个同学的 给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是 5 5 5=125. 1 本书都有 5 种不同的选购方法,因此送例 8 中两个问题的区分在于： 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题；而（ 2 ）中,由于不同的人得到的书可能相同,因此不符合使用排列数公式的条件,只能用分步乘法计数原理进行运算例 3课本 例 4用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？分 析：在本问题的；到 9 这 10 个数字中,由于；不能排在百位上,而其他数可以排在任意位置上,因此； 是一个特别的元素题一般的,

16、我们可以从特别元素的排列位置人手来考虑问解法 1：由于在没有重复数字的三位数中,百位上的数字不能是 O,因此可以分两步完成排列第 1 步,排百位上的数字,可以从 1 到 9 这九个数字中任选 1 个,有 A 种选法；第 12 步,排十位和个位上的数字,可以从余下的 9 个数字中任选 2 个,有 A 种选法（图 9 21.2 一5 依据分步乘法计数原理,所求的三位数有1 A 92 A =9 9 8=648（个） . 解法 2 ：如图 1.2 一 6 所示,符合条件的三位数可分成 3 类每一位数字都不是位数有 A 母个,个位数字是 O 的三位数有揭个,十位数字是 0 的三位数有揭个依据分类加法计数

17、原理,符合条件的三位数有3 A 92 A 92 A =648 个3解法 3：从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A ,其中 O 在百位上的排列数是 A ,它们的差就是用这 210 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数,即所求的三位数的个数是3 2A -A =10 9 8-9 8=648. 对于例 9 这类计数问题,可用适当的方法将问题分解,而且摸索的角度不同,就可以有不同的解题方法解法 1 依据百位数字不能是；的要求, 分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事,依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否显现以及显现的位置为标准, 分类完成这件事情,依

18、据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向摸索方法：先求出从 10 个不同数字中选 3 个不重复数字的排列数,然后从中减去百位是；的排列数（即不是三位数的个数） ,就得到没有重复数字的三位数的个数从上述问题的解答过程可以看到,引进排列的概念,以及推导求排列数的公式,可以更加简便、快捷地求解“ 从 n 个不同元素中取出 m m n）个元素的全部排列的个数” 这类特别的计数问题1.1 节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的学问解决它吗？四、课堂练习 ： 1 如 x n .,就 x（ ）3. A A n 3 B A n n 3 C A 3 n D A n 332与 A 10 3A 不等的

19、是 7（ ）9 8 9 10 A A 10 B 81A 8 C 10A 9 D A 105 33如 A m 2 A ,就 m 的值为（ ） A 5 B 3 C 6 D 75 64运算：2 A 9 36 A 9；n 1 m 1.9. A 10 A m 1 m n .5如 2 mm 1.1 42,就 m 的解集是A m 1m6（ 1）已知 A 10 10 9 5,那么 m；（ 2）已知 9. 362880 ,那么 A = ；7（3）已知 A n 256,那么 n；（4）已知 A n 27 A n 24,那么 n7一个火车站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火车,有多少种不同的停放方法（假定每股岔道

20、只能停放 1 列火车）？8一部纪录影片在 4 个单位轮映,每一单位放映 1 场,有多少种轮映次序？答案： 1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. 2,3,4,5,66. 1 6 2 181440 3 8 4 5 7. 1680 8. 24 巩固练习： 书本 20 页, ,4,5,6课外作业：第27 页习题 1.2 A 组 1 , 2 , 3,4,5 教学反思：排列的特点：一个是“ 取出元素” ；二是“ 依据确定次序排列” , “ 确定次序” 就是与位置有关, 这也是判定一个问题是不是排列问题的重要标志；依据排列的定义,两个排列相同,且仅当两个排列的元素完全相同,而且元素的排列次序也相

21、同 . 明白排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“ 化归” 的数学思想,并能运用排列数公式进行运算；对于较复杂的问题,一般都有两个方向的列式途径,一个是“ 正面凑”,一个是“ 反过来剔” 前者指,依据要求,一点点选出符合要求的方案；后者指,先按全局性的要求,选出方案, 再把不符合其他要求的方案剔出去明白排列数的意义,把握排列数公式及推导方法,从中体会“ 化归” 的数学思想,并能运用排列数公式进行运算；第三课时例 1（1）有 5 本不同的书,从中选3 本送给 3 名同学,每人各1 本,共有多少种不同的送法？（2）有 5 种不同的书, 要买 3 本送给 3 名同学, 每人各 1 本,共

22、有多少种不同的送法？解：（1）从 5 本不同的书中选出3 本分别送给3 名同学, 对应于从 5 个元素中任取3 个元素的一个排列,因此不同送法的种数是：3 A 55 4 360,所以,共有60 种不同的送法（ 2）由于有 5 种不同的书,送给每个同学的1 本书都有 5 种不同的选购方法,因此送给3 名同学,每人各1 本书的不同方法种数是：555125 ,所以,共有125 种不同的送法说明： 此题两小题的区分在于：第（1）小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题；而第（2）小题中,给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 种,各人得到那种书

23、相互之间没有联系,要用分步计数原理进行运算例 2某信号兵用红、黄、蓝3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的次序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号？解：分 3 类：第一类用1 面旗表示的信号有1 A 种；33232 115,其次类用 2 面旗表示的信号有2 A 种；第三类用 3 面旗表示的信号有3 A 种,3由分类计数原理,所求的信号种数是：1 A 32 A 33 A 3答：一共可以表示15 种不同的信号例 3将 4 位司机、 4 位售票员支配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员,共有多少种不同的支配方

24、案？分析： 解决这个问题可以分为两步,第一步： 把 4 位司机支配到四辆不同班次的公共汽车上,即从 4 个不同元素中取出 4 个元素排成一列,有 A 种方法；4其次步：把 4 位售票员支配到四辆不同班次的公共汽车上,也有 A 种方法,4 4利用分步计数原理即得支配方案的种数解：由分步计数原理,支配方案共有N4 A 44 A 4576（种）答：共有 576 种不同的支配方案例 4用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法 1：用分步计数原理：所求的三位数的个数是：1 A 92 A 999 8648数字都不解法 2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位是 0 的三位

25、数有3 A 个,个位数字是0 的三位数有2 A 个,十位数字是0 的三位数有2 A 9个,由分类计数原理,符合条件的三位数的个数是：A 9 3 A 9 2 A 9 2 6483解法 3：从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A ,其中以 0 为排头的排列2 3 2 2数为 A ,因此符合条件的三位数的个数是 A 10 A 9 648-A 说明： 解决排列应用题,常用的摸索方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步,直接运算符合条件的排列数如解法 1,2；间接法：对于有限制条件的排列应用题, 可先不考虑限制条件,把全部情形的种数求出来,然后再减去不符合限制

26、条件的情形种数如解法 3对于有限制条件的排列应用题,要恰当地确定分类与分步的标准,防止重复与遗漏第四课时例 5（1）7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7 个元素的全排列A 50407 7（2）7 位同学站成两排（前 解：依据分步计数原理：3 后 4）,共有多少种不同的排法？7 6 5 4 3 2 17！ 5040（ 3）7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6 个元素的全排列A =7206（ 4）7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：依据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有 A 种；2其次步 余

27、下的 5 名同学进行全排列有 A 种,所以,共有 5 5A 2 2 A =240 种排列方法 5 5（5）7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法 1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5 位同学中选 2 位同学站在排头和排2 5尾有 A 种方法；其次步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列（全排列）有 A 种方法,所以2 5一共有 A 5 A 2400 种排列方法解法 2：（排除法）如甲站在排头有 A 种方法；如乙站在排尾有 6A 种方法；如甲站在 6排头且乙站在排尾就有 A 种方法, 所以,甲不能站在排头,5 5乙不能排在排尾的排法共有 A 7 76 52A

28、 A =2400 种说明： 对于“ 在” 与“ 不在” 的问题,常常使用“ 直接法” 或“ 排除法”,对某些特别元素可以优先考虑例 6. 从 10 个不同的文艺节目中选6 个编成一个节目单,假如某女演员的独唱节目确定不能排在其次个节目的位置上,就共有多少种不同的排法？解法一：（从特别位置考虑）1 5A 9A 9136080；6 A ,9解法二：（从特别元素考虑）如选：5 5 A ；如不选：9就共有55 A 96 A 9136080种；解法三：（间接法）6 A 105 A 9136080第五课时例 7 7 位同学站成一排,（1）甲、乙两同学必需相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“ 捆绑

29、” 在一起看成一个元素与其余的5 个元素（同学）一起 2 A 种方法所以这样的进行全排列有6 A 种方法；再将甲、乙两个同学“ 松绑” 进行排列有排法一共有6 A 62 A 21440种（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上,一共有5 A 53 A 720 种（3）甲、乙两同学必需相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“ 捆绑” 在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,由于丙不能站在排头和排尾, 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾,有 A 种 5 24方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A 种方法；最终将甲、

30、乙两个同学“ 松绑” 进行排列有 A 种方法所以这样的排法一共有 2A 5 2A 4 4A 960 种方法 2解法二：将甲、乙两同学“ 捆绑” 在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,如丙站在排头或排尾有 2 A 种方法,56 5 2所以,丙不能站在排头和排尾的排法有 A 6 2 A 5 A 2 960 种方法解法三：将甲、乙两同学“ 捆绑” 在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,由于丙1不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有 A 种方法,再将其余的 5 个元5素进行全排列共有 A 种方法,最终将甲、乙两同学“ 松绑”,所以,这样的排法一共有1 5 2A 4 A 5 A

31、 960 种方法（4）甲、乙、丙三个同学必需站在一起,另外四个人也必需站在一起解：将甲、乙、丙三个同学“ 捆绑” 在一起看成一个元素,另外四个人“ 捆绑” 在一起看成一个元素,时一共有2 个元素,一共有排法种数：3 4 2A A A 3 4 2288（种）说明： 对于相邻问题,常用“ 捆绑法”（先捆后松） 例 8 7 位同学站成一排,（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）7 A 76 A 62 A 23600；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有5 A 种方法,此时他们留下六个位置（就称为“ 空” 吧） ,再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有2 A 种方法,所以

32、一共有5 2A 5A 63600种方法（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？4 解：先将其余四个同学排好有 A 种方法,此时他们留下五个“ 空”,再将甲、乙和丙三3 4 3 个同学分别插入这五个“ 空” 有 A 种方法,所以一共有 A 4 A 1440 种说明： 对于不相邻问题,常用“ 插空法” （特别元素后考虑）第六课时例 95 男 5 女排成一排,按以下要求各有多少种排法：次序排列（1）男女相间；（2）女生按指定解：（1）先将男生排好,有A 种排法；再将 5 55 名女生插在男生之间的6 个“ 空挡” （包5A 种排法；余下括两端）中,有5 2A 种排法故此题的排法有N25

33、A 55 A 528800（种）；（2）方法 1：NA 10 105 A 1030240；5 A 5方法 2：设想有 10 个位置,先将男生排在其中的任意5 个位置上,有的 5 个位置排女生,由于女生的位置已经指定,所以她们只有一种排法故此题的结论为N5 A 10130240（种）高考题1（ 天津卷）如图,用6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,就不同的涂色方法共有 390 种（用数字作答） 2（ 江苏卷）某校开设 9 门课程供同学选修,其中 A B C 三门由于上课时间相同,至多项一门,学校规定每位同学选修 4 门,共有 75 种不同选修方案； （用数值作答）3（ 北京卷）记