线性代数讲义(2)矩阵课件

1、第1节 矩阵的定义第2节 矩阵的运算第3节 逆矩阵第4节 线性方程组的矩阵解法 第 2 章 矩 阵 1第1节 矩阵的定义第 2 章 矩 阵 矩阵的概念很简单，就是一个表格，但它的用途却很广。 实际问题和线性代数中许多问题都可以表示成矩阵的问题。使用矩阵语言可以使许多问题变得更清晰，解决问题的思路也变得更清楚。 现在，矩阵已成为数学中的一个最基本的概念。2 矩阵的概念很简单，就是一个表格，但它的用途却很广。2第1节 矩阵的定义第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义1. 某位商人分别从 3 处购进 4 种货物，他可以用一个 3 行 4 列的表格来表示购入货物的数量(或价格或金额)，这里 aij 表

2、示从 i 处购进的 j 货物的数量一、矩阵概念的引入 货物1 货物2 货物3 货物4产地1 a11 a12 a13 a14 产地2 a21 a22 a23 a24 产地3 a31 a32 a33 a34 3第1节 矩阵的定义第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义2. 线性方程组 的解取决于系数 aij ( i = 1, , m, j = 1, , n ), 常数项 bi ( i = 1, 2, , m ) a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2

3、 x2 + + amn xn = bm 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组完全由下面的表格确定a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm 4第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义2. 线性方程组 BA C D3. 某航空公司在 A, B, C, D四城市之间开辟了若干航线, 如图所示表示了四城市间的航班图, 如果从 A 到 B 有航班, 则用带箭头的线连接 A 与 B.第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义5 B3. 某航空公司在 A, B四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站 到站 其中 表示有航班.为了便于计算, 把表中的 改

4、成 1, 空白地方 填上 0, 就得到一个数表:ABCDA B C D 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义6四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站 到站 其中 0 0 0 0 00 0 0 这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDA B C D 11111011第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义7 二、矩阵的定义 设 m 1, n 1, 由 m n 个数(有时是表达式) aij ( i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n ) 排成的 m 行 n 列的表格a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 称为 m 行 n 列矩阵. 简称 m

5、n 矩阵. 记为 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义8二、矩阵的定义 设 m 1, n 1a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn A = 简记为 矩阵 A 的(m, n)元素元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线 副对角线 A = Amn = ( aij )mn = ( aij ). aij 称为 A 矩阵的 i 行 j 列元素, 或 ( i, j ) 元素. 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义9a11 a12 a1n A = 简记为 例如 1 0 3 5 9 6 4 3 是一个 2 4 实矩阵, 124 是一个 3 3 复矩阵

6、, 13 6 2 i 2 2 2 2 2 2 是一个 3 1 矩阵, ( 2 3 5 9 ) 是一个 1 4 矩阵, ( 4 ) 是一个 1 1 矩阵(是一个数). 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义10例如 1 0 3 5 是一个 2 4几种特殊矩阵 (1) 只有一行的矩阵( 1 n 矩阵) 称为行矩阵 或行向量. A = ( a1 a2 an ), 只有一列的矩阵( m 1 矩阵) 称为列矩阵 或列向量. b1b2 bm B = , 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义11几种特殊矩阵 (1) 只有一行的矩阵( 1 n 矩阵) a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1

7、am2 amn 记 A = 称 ( ai1 ai2 ain ) 为 A 的第 i 个行向量; a1ja2j amj 称 为 A 的第 j 个列向量. 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义12a11 a12 a1n 记 A = 称 例如 是一个 3 阶方阵. (2) 行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶方阵. 也可记作 An.13 6 5 1 2 3 2 2 2 (3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零矩阵记作 0mn 或 0.注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.例如 0 0 0 0 ( 0 0 0 0 ). 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义13例如 是一个 3 阶方阵.

8、(2) 行数与列数都等于 n 的1 0 0 0 2 0 0 0 n (4) 形如 的方阵, 不全为 0 称为对角矩阵 ( 或对角阵 ).记作 A = diag( 1, 2, , n ). 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E = En = (5) 方阵 称为 n 阶单位矩阵 ( 或单位阵 ).全为 1 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义141 0 0 (4) 形如 2. 两个矩阵 A = ( aij ) 与 B = ( bij ) 为同型矩阵,并且对应元素相等, 即则称矩阵 A 与 B 相等, 例如 为同型矩阵. 同型矩阵与矩阵相等的概念 1. 两个矩阵的行数相等, 列数相等时, 称为同

9、型矩阵.1 2 14 35 6 与 8 43 7 3 9 aij = bij ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n ), 记为 A = B. 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义15 2. 两个矩阵 A = ( aij ) 与 B线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 (I) am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm 完全由矩阵a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm确定。称此矩阵为线性方程组 (I)

10、的增广矩阵。第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义16线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + + aa11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn A = 称矩阵是线性方程组 (I) 的系数矩阵。第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义17a11 a12 a1n A 1 2 33 1 2A = , 1 x 3 y 1 zB = 补充例1 设解 已知 A = B, 求 x, y, z. A = B, x = 2, y = 3, z = 2. 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义181 2 3A = 三、小结(1) 矩阵的概念 m 行 n 列的一个数表 a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn A = 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义19三、小结(1) 矩阵的概念 m 行 n 列的一个数表 a1(2) 特殊矩