高一数学必修一第二讲函数的概念 意义概念(老师)

1、欧博教育 高一数学 内部资料 翻版必究 15 -第二讲 函数及其表示1、函数的概念一、考点聚焦1函数的定义函数概念的理解需注意以下几点：A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数中称为实数集到实数集的函数。对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了。函数符号的含义：是表示一个整体，一个函数，而记号“”可以看作是对“”施加的某种法则（或运算），如当时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当为某一个代数式（或某一个函数记

2、号）时，则左右两边的所有都用同一个代数式（或函数记号）代替，如等，与的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。2函数的定义域求函数定义域的一般原则是：如果为整式，其定义域为实数集R；如果为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；如果是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；的定义域是如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义；不给出解析式，已知的定义域为，则的定义域是求使的的取值范围；已知的定义域为A，则的定义域是求在A上的值域。3函数的对应法则与的区别与联系：表示当时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，在一般情况

3、下，它是一个变量，是的一个特殊值。如一次函数，当时，是一常量。当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则，比如，左端是对施加法则，右端也是关于的解析式，这时此式是以为自变量的函数的解析式；而对于，左端表示对施加法则，右端是关于的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于的函数解析式，也不是关于的函数解析式。4函数的值域求函数值域的常用方法（1）观察法：（2）配方法： （3）反比例函数法： （4）反表示法（后续还会学习不等式法、单调性法、判别式法、导数法等，希望同学们不断学习，不断总结）5、相同函数的定义。定义域、对应法则相同。注意：定义域、值域相同的函数不一定为相同

4、函数。6区间的概念注意对于区间或等，一定满足，它和不等式有区别。二、点击考点考题1（1）、由下列式子是否能确定是的函数？；考题2已知四组函数：；其中表示同一函数的是（ ）A没有B仅有 C仅有 D有解析在中的定义域为的定义域为；在中两函数的对应关系不同，故中的两个函数不是相同的函数。在中，且两函数定义域均为R，故中两函数表示同一函数。在中虽然自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应关系都相同，所以表示同一函数，故选C。点评只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：（1）定义域不同，两个函数也就不同。（2）对应关系不同，两个函数也是不同的。（3）即使定

5、义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。考题3求下列函数的定义域：（1）；（2）解析（1）令故函数的定义域为（2）令故函数的定义域为点评分式要使分母不为零；二次根式要使根号内的式子非负。考题4（1）已知求；（2）已知若求；（3）已知的定义域为，且，若，求解析对于（1），求该函数的函数值，要本着“先内后外，逐层击破”的原则。对于（2），谁的函数值是10呢？从而产生分类讨论。对于（3），联系已知中有9，未知中有3，抽象函数关系式中有式子，所以必有解：（1），（2）当时， ，当时，（舍去，）。由以上可知（3）令，则即点评已知函数解析

6、式，求某个数的函数值，只要将这个数代入函数解析式，就可求出它的函数值。问题（3）中的函数，由于没有具体的对应关系，我们称之为抽象函数。解决抽象函数的有关问题，常常采用“特殊值法”，达到化抽象为具体的目的。考题5已知的值域为，试求的值域。解析因为，所以令，则且，所以所以即为所求。评注本题利用换元法转化为二次函数问题。考题6已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解析由所给式子，确定出对的限制，再转化为方程根的问题。依题意，要使函数有意义，必须.要使函数的定义域为R，必须方程无解。当时，方程无解；当时，方程的判别式，即，综上可得时，已知函数的定义域为R。点评由函数的定义域概念，得到了构造不等式（组

7、）的途径，然后再处理这个不等式得到的范围。考题7求下列函数的值域。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解析由值域的定义所有函数值的集合可知，求函数的值域可看作求出所有函数值的问题，可由定义域逐步推出函数值的集合值域。（1）将分别代入计算得：函数的值域为.（2）运用观察法可知：的值域是函数的定义域为，.即的值域为（3），且定义域为，（反比例函数法），的值域是（4），函数的定义域为R。又，（运用不等式法），函数的值域为（5），（运用配方式）， 函数的值域为（6），（运用配方法）且，函数的值域是.2函数的表示法一、考点聚焦1函数的表示方法（1）表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法。

8、2映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则，对A中任一元素，在B中有且仅有一个元素与对应，则称是集合A到集合B的映射，记作A中元素称为原象，A所对应的B中的元素称为象。映射这个概念，应注意以下几点：集合A到B的映射，A、B必须是非空集合（可以是数集，也可以是其他集合）；对应关系有“方向性”。即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；A中元素的象是集合B的子集。A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多。3映射与函数（1）映射，其中A、B是两个“非空集合”；而函数为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射。由此

9、可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。4分段函数有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数。分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的值域也是各部分上的函数值的取值集合的并集，最好的求解办法是“图象法”。重要的是，分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数。二、点击考点：考题1如图直角梯形OABC中，直线截该梯形所得位于左边图形面积为S，则函数的图象大致为（ ）分析根据;，求出面积的函数关系式，由分析图象。解析当时，阴影

10、为直角三角形，它的面积为当时，阴影为梯形，它的面积为它的图象应为C。考题2（1）图中各图表示的对应构成映射的个数是（ ）A3B4C5D6（2）已知在映射作用下的象是在在作用下的象。若在作用下的象是，求它的原象。解析（1）这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应。对于，A的每一个元素与B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射。对于，A中的元素在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射。综上可知，能构成映射的个数为3。选A。（2），在作用下的象是 解得或在作用下的原象是和点评（1）从集合M到集合P的映射，是指按照某种对应法则，对于集合M的

11、任何一个元素，在集合P中都有唯一的元素与它对应。由此可知，映射应满足存在性（即集合M中的每一个元素在集合P中都有对应元素）和唯一性（即集合M中的每一个元素在集合P中都有唯一元素与之对应）。（2）集合A到集合B中元素对应关系，可以是“多对一”，也可以是“一对一”，但不能是“一对多”。（3）已知映射及原象，求象时只要代入对应法则即可，已知及象求原象时，常常是解方程组。考题3下列对应是不是从A到B的函数？是不是从A到B的映射？（1）；（2）三角形的内切圆；（3）；（4）分析对于从A到B的对应，我们也常采用这样一种记法：设，则从A到B的对应记为解析（1）取，则，即A中的元素3在B中没有象，所以（1）不

12、是函数，也不是映射。（2）由于A、B不是数集，所以（2）不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以（2）是A到B的映射。（3）中的每一个数都与B中的数1对应，因此，（3）是A到B的函数，也就是A到B的映射。（4）取，则由得，即A中的一个元素0与B中的两个元素地应，因此，（4）不是A到B的函数，也不是从A到B的映射。点评9（1）函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射。（2）有的同学问：关系式是关于的函数，那么关系式是关于的函数吗？对于关系式，显然有，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义。因此，“”不是关于的函数。考题4已知集合是从A到B的映射，求A中元素在B中的对应元素和B中元素

13、在A中的对应元素。解析把代入对应关系中可求得在B中对应元素，在A中对应的元素可通过列方程组解出。答案将代入对应关系，可求出其在B中的对应元素由得所以在B中对应元素为在A中对应元素为考题5作出下列函数的图象：（1） （2）；（3）解析（1）用段函数作图法作函数的图象如图所示，它是由一段抛物线弧和一条射线所组成的。（2）所给函数可化为如图所示。（3）先作的图象，保留轴上方图象，再把轴下方图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如图所示。点评在初中我们已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的作图方法，即：列表描点法。这里我们通过化简函数式，就将较复杂的式子转换为我们已熟知的函数，

14、再作其图象就不是难事了。考题6已知则的最大值、最小值的情况为（ ）A最大值为3，最小值为B最大值为，无最小值C最大值为3，无最小值D无最大值，无最小值解析本题是分段函数，不妨画出它们的图象，由图象找出适合题意的选项。先求出与的交点。由得，当时，解得（舍去），或.当时，解得（舍去），或再画出与的图象，根据题意得到的图象，如图，可知存在最大值，此时，则，不存在最小值。故选B。考题7若不超过的最大整数，如；试问函数的图象与的图象有多少个交点？解析作出的图象如图所示。由图象可知函数的图象与的图象有无数个交点。点评函数叫做整数部函数，关键是对函数准确理解及作出函数图象。考题8某蔬菜基地种植西红柿，由历年

15、市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示。（1）写出图（1）表示的市场售价与上市时间的函数关系式；写出图（2）表示的种植成本与上市时间的函数关系式；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单元：元/千克，时间单位：天）解析图（1）是折线，应是分段函数的图象，并且每段是一次函数图象。图（2）是抛物线，求函数解析式时应考虑抓住特殊点来考查。对于（2），纯收益即是关于的函数，问题即求函数的最值。答案（1）由图可得（2）设从2月1日起的第天

16、的纯收益为，则故在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，由可知，在区间上的最大值为，这时，即从2月1日起的第50天上市，西红柿纯收益最大。点评本题是关于函数的图象、解析式及最值问题的综合应用，注意如何求分段函数的最值。课后作业A卷一、选择题1判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( C )，；，；，；，；，A、 B、 C D、2函数y=的定义域是( D )A-1x1 Bx-1或x1 C0 x1 D-1，13函数的值域是( B )A(-，)(，+)B(-，)(，+)CR D(-，)(，+)4下列从集合A到集合B的对应中：A=R，B=(0，+)，f:xy=x2；A=-2，1，B=2，5，f:xy=

17、x2+1；A=-3，3，B=1，3，f:xy=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( B )A 1 B 2 C 3 D 45已知映射f:AB，在f的作用下，下列说法中不正确的是( D ) A A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象 B B中元素可以有两个原象C A中的任何元素有且只能有唯一的象D A与B必须是非空的数集6点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( A )A(，1) B(1，3) C(2，6) D(-1，-3)7已知集合P=x|0 x4， Q=y|0y2，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( C )Ay= By= Cy=x

18、Dy=x28下列图象能够成为某个函数图象的是( C ) 9函数的图象与直线的公共点数目是( C )A B C或 D或10已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( D )A B C D11已知，若，则的值是 ( D )A B或 C，或 D12为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( D )A沿轴向右平移个单位 B沿轴向右平移个单位C沿轴向左平移个单位 D沿轴向左平移个单位二、填空题1设函数则实数的取值范围是_a-1_2函数的定义域_x2_3函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_-14x13_4若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_y=-x2+2x+8_5函数的定义域是_x0_6函数的最小值是_-5/4_三、解答题1求函数的定义域x-1