高中数学课件函数与方程

1、函数的应用第三章本章内容3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用第三章 小结3.1 函数与方程3.1.2 用二分法求方程的近似解3.1.1 方程的根与函数的零点复习与提高3.1.1方程的根与函数的零点返回目录 1. 方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x) 的图象上的点有什么关系? 2. 什么是函数的零点? 函数的零点与函数的图象、对应方程的解有什么关系?3. 如何确定函数在区间 (a, b) 内有无零点? 学习要点1. 函数与方程 问题1. 画出函数 y=x2-2x-3 的图象, 并求出方程 x2-2x-3=0 的根, 观察函数图象上什么位置的点与方程的根有联系?xyo123-1-4y

2、=x2-2x-3解 x2-2x-3=0 得x1= -1, x2=3.一个函数使 y = 0 就变成了方程,方程的根就是函数图象与 x 轴交点的 x 坐标.xyo123-1-4y=x2-2x-3xyo12-1-2y=x2-2x+1x2-2x-3=0 的根x1= -1, x2=3.x2-2x+1=0 的根x1= x2=1.x2-2x+3=0=4-12 = -8 0时, 二次方程有两不等实根, 相应的二次函数的图象与 x 轴有两个交点; (2) 当=0时, 二次方程有两相等实根, 相应的二次函数的图象与 x 轴只有一个交点; (3) 当0时, 二次方程无实根, 相应的二次函数的图象与 x 轴无交点.

3、2. 函数的零点 对于函数 y=f(x), 我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点. 函数 y=f(x) 的零点, 就是函数图象与 x 轴的交点的 x 坐标; 就是方程 f(x)=0 的根.方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x) 有零点 问题2. 对于函数 y=f(x), 如果 f(a)f(b)0, 则点(a, f(a), (b, f(b) 的位置有什么特点? 如果函数的图象在区间a, b上是连续不断的, 那么这个图象在区间(a, b)内与 x 轴一定相交吗?xyoabxyoab(a, f(a)(b, f(b)(

4、a, f(a)(b, f(b) (1) 如果函数 y=f(x) 在区间 a, b 上的图象是一条连续的曲线, 并且有 f(a)f(b)0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点, 即存在 c(a, b), 使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根, 即函数 y=f(x) 的零点.两点分别在x 轴的两旁.f(a)f(b)0, 问题2. 对于函数 y=f(x), 如果 f(a)f(b)0, 则点(a, f(a), (b, f(b) 的位置有什么特点? 如果函数的图象在区间a, b上是连续不断的, 那么这个图象在区间(a, b)内与 x 轴一定相交吗?xy

5、oabxyoab(a, f(a)(b, f(b)(a, f(a)(b, f(b) (2) 如果函数 y=f(x) 在区间 a, b 上是连续的单调函数, 并且有 f(a)f(b)0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.两点分别在x 轴的两旁.f(a)f(b)0,例1. 求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数.分析:目标:(2) 求单调区间 (a, b), 有几个;(3) 判断是否有 f(a)f(b)0.思路:寻找单调区间 (a, b), 使 f(a)f(b)0,这样的区间有多少个, 就有多少个零点.(1) 确定定义域;例1. 求函数 f(x)=lnx

6、+2x-6 的零点个数.解:f(x)的定义域为:f(e2)=2+2e2-6即 f(1)f(e2)x20,f(x1)-f(x2)=lnx1-lnx2+2(x1-x2)y=lnx是(0, +)上的增函数,lnx1-lnx20, x1-x20,得 f(x1)f(x2),函数f(x)在(0, +)单增.f(1)= -4 0,(0, +).即函数在整个定义域只有一个单调区间.在区间内估值两点(a, f(a), (b, f(b), 使f(a)f(b)0. 例(补充). 方程 log2x+x+a=0 有一根在 1 与 2 之间, 求 a 的取值范围.分析:方程在 1 与 2 之间是否只有一根?若只有一根,

7、则得不等式 f(1)f(2)0,步骤:(1) 证函数在区间 1, 2 上单调;(2) 解不等式 f(1)f(2)0.问题:即可解 a 的范围. 例(补充). 方程 log2x+x+a=0 有一根在 1 与 2 之间, 求 a 的取值范围.解:任取 1x1x22,得 f(x1)f(x2),函数在区间 1, 2 上是单增函数.于是有 f(1)f(2)0,即 (log21+1+a)(log22+2+a)0,解得 -3a-1.f(x1)-f(x2)=log2x1+x1+a-(log2x2+x2+a)得 (a+1)(a+3)0,即 a+1 与 a+3异号,=log2x1-log2x2+x1-x2 0.则

8、方程在 1 与 2 之间只有一根, 问题3. 你能分别说出一次函数, 二次函数, 反比例函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数的零点个数吗?xyOy1y2xyOy1y2y3xyOy1y2xyOy1y2y3y4y5xyOy1y2xyOy1y2一次函数,一个零点.二次函数, 有0个,或1个, 或2个零点.反比例函数,无零点.y=x, y=x2, y=x3, 各有1个零点;y=x-1, 无零点.指数函数,无零点.对数函数,一个零点.练习: (课本88页)第 2 题. 2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;1. 方程 lgx+x=3 的解所在的区间为( )

9、(A) (0, 1) (B) (1, 2) (C) (2, 3) (D) (3, +)练习: (补充)1. 方程 lgx+x=3 的解所在的区间为( ) (A) (0, 1) (B) (1, 2) (C) (2, 3) (D) (3, +)解:设 f(x)=lgx+x-3,f(x) 在(0, +)上是增函数,f(1)= -2,f(2)=lg2-1f(3)=lg30,f(2)f(3)0,方程的解在2与3之间.C练习: (补充)0,解:设 f(x)=x2+bx-1,则方程 x2+bx-1=0有两不等实根. f(1)f(2)0,即 b(2b+3)0, 2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在

10、1与2之间, 求 b 的取值范围; 2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解:(1)练习: (课本88页) 2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x

11、.解:(1)函数在(1, 2)上有一个零点.点击: 绘图绘制新函数-x3-3*x+5确定练习: (课本88页) 2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解:(2)练习: (课本88页) 2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex

12、-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解:(2)函数在(3, 4)上有一个零点.点击: 绘图绘制新函数2*x*函数ln(x-2)-3确定练习: (课本88页) 2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解:(3)练习: (课本88页) 2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3

13、-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解:(3)函数在(0, 1)上有一个零点.点击: 绘图绘制新函数数值e(x-1)+4*x-4确定练习: (课本88页) 2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解:(4)练习: (课本88页) 2. 利用信息

14、技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解:(4)点击: 绘图绘制新函数3*(x+2)*(x-3)*(x+4)+x 确定函数在(-4, -3)上有一个零点,(-3, -2)上有一个零点,(2, 3)上有一个零点.练习: (课本88页)【课时小结】1. 方程的根与函数的零点方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x) 有零点方程 f(x)=

15、0 的根 就是函数 y=f(x) 的图象与 x 轴交点的 x 坐标; 就是函数 y=f(x) 的零点.【课时小结】2. 求函数的零点所在区间 (1) 如果函数 y=f(x) 在区间 a, b 上的图象连续不断, 且 f(a)f(b)0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点. (2) 如果函数 y=f(x) 在区间 a, b 上是连续的单调函数, 且 f(a)f(b)0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点. (3) 求零点所在区间的基本步骤: 求单调区间 a, b; 判断是否 f(a)f(b)0, 是则在 (a, b) 内有唯一零点,

16、否则 (a, b) 内无零点.练习: (课本88页)习题 3.1第 1 题.A 组第 2 题. 1. 利用函数的图象判断下列方程有没有根, 有几个根: (1) -x2+3x+5=0; (2) 2x(x-2)=-3; (3) x2=4x-4; (4) 5x2+2x=3x2+5.解:(1)xyo162-12y=-x2+3x+5方程有两个根.(2)方程化为2x2-4x+3=0.xyo132-11y=2x2-4x+3方程没有实根.练习: (课本88页) 1. 利用函数的图象判断下列方程有没有根, 有几个根: (1) -x2+3x+5=0; (2) 2x(x-2)=-3; (3) x2=4x-4; (4

17、) 5x2+2x=3x2+5.解:(3)xyo162-12y=x2-4x+4方程只有一个根.(4)方程化为2x2+2x-5=0.方程有两个实数根.方程化为x2-4x+4=0.xyo-5-1y=2x2+2x-5练习: (课本88页) 2. 已知函数 f(x) 的图象是连续不断的, 且有如下对应值表:函数 f(x) 在哪几个区间内有零点? 为什么?x123456f(x)136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064答: 函数在(2, 3)内, (3, 4)内, (4, 5)内分别有零点.因为 f(2)f(3)0, f(3)f(4)0, f(4)f(5)0.习题 3.1

18、A组3.1.2用二分法方求程的近似解返回目录1. 什么叫二分法? 2. 用二分法求方程 f(x)=0 的近似根, 是采用的什么思想? 每一步怎样确定根的位置区间? 最后怎样确定方程的近似根?学习要点 问题1. 如图, 因为 f(a)f(b)0,则根在 与 b 之间,再在 与 b 之间又取中点, 如此下去.如果f(a)0,则根在 a 与 之间,又如此取中点进行下去.如: 求方程 lnx+2x-6=0 的近似解 (精确到0.01). f(2)-1.30, 则xyo232.52.75根的位置中点f(中点)(2, 3)2.5-0.1(2.5, 3)2.750.5(2.5, 2.75)2.6250.2(

19、2.5, 2.625)2.56250.1(2.5, 2.5625)2.53125-0.01(2.53125, 2.5625)2.5468750.03(2.53125, 2.546875)2.53906250.01(2.53125, 2.5390625)|2.546875-2.53125|=0.0156250.01,|2.5390625-2.53125|=0.00781250.01,则根在 2.53125 与 2.5390625 之间,取 x2.54.可取 x=2.532.2.53, 2.54 都在区间外了. 对于在区间 a, b 上连续不断、且 f(a)f(b)0 的函数 y=f(x), 通过

20、不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1. 找到 a, b, 使 f(a)f(b)0; 2. 取 a, b的中点x1, 若 f(x1)=0, 则 x1 就是方程的根, 若f(x1)0, 看其正负; (1) 若 f(a)f(x1)0, 则零点在 a 与 x1 之间, 于是令 b=x1 (将 x1 换成 b, 此时零点又在 a 与 b 之间); 3. 判断 |a-b|0, 则零点在 x1 与 b 之间, 令 a=x1 (将 x1 换成 a, 此时零点还是在 a 与 b 之间).给定精确度 e, 用二分法求方程近似根的

21、步骤如下: 例2. 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解 (精确到 0.1).解:设 f(x)=2x+3x-7,f(1)= -2,f(2)=3,由指数函数和一次函数知 f(x)是R上的增函数,f(1)f(2)0,取1与2的中点1.5,f(1.5)0.3,f(1)f(1.5)0,取1与1.5的中点1.25,f(1.25)-0.9,f(1.5)f(1.25)0,取1.25与1.5的中点1.375,f(1.375)-0.3,f(1.375)f(1.5)0,取1.375与1.5的中点1.4375,f(1.4375)0.02,f(1.375)f(1.4375)0,|1.4375-1

22、.375| = 0.06250.1,方程的近似解为 x=1.4.(用表格表示如下) 例2. 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解 (精确到 0.1).解:设 f(x)=2x+3x-7,f(1)= -2,f(2)=3,由指数函数和一次函数知 f(x)是R上的增函数,f(1)f(2)0,|1.4375-1.375| = 0.06250.1,方程的近似解为 x=1.4.解所在区间中点f(中点)(1. 2)1.50.3(1, 1.5)1.25-0.9(1.25, 1.5)1.375-0.3(1.375, 1.5)1.43750.02(1.375, 1.4375)练习: (课本91

23、页)第 1、2 题.练习: (课本91页) 1. 借助计算器或计算机, 用二分法求函数 f(x) = x3+1.1x2+0.9x-1.4 在区间(0, 1)内的零点 (精确度 0.1).解:采用列表形式:零点所在区间中点f(中点)(0, 1)0.5-0.55(0.5, 1)0.750.3(0.5, 0.75)0.625-0.16(0.625, 0.75)0.68750.06(0.625, 0.6875)|0.625-0.6875|=0.06240.1,函数在(0, 1)内的零点可取 0.63. 可取 0.6 或 0.7 吗? 不行, 不在零点所在区间.可取:0.63,0.64,0.65,0.6

24、6,0.67,0.68. 2. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 x = 3-lgx 在区间(2, 3)内的近似解 (精确度 0.1).解:设 f(x)=lgx+x-3,原方程变形为 lgx+x-3=0,f(2)-0.7,f(3)0.5,解所在区间中点f(中点)(2. 3)2.5-0.1(2.5, 3)2.750.2(2.5, 2.75)2.6250.04(2.5, 2.625)2.5625-0.03(2.5625, 2.625)|2.5625-2.625|=0.06250.1,方程的近似解为x2.6.【课时小结】1. 二分法 函数 y=f(x) 在区间 a, b 上连续不断、且 f(a)

25、f(b)0, 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【课时小结】2. 用二分法求方程近似根的步骤(1) 求使 f(a)f(b)0 的单调区间 (a, b); (2) 取 a, b 的中点 x1, 若 f(x1)=0, 则 x1 就是方程的根, 若 f(x1)0, 看其正负; 若 f(a)f(x1)0, 则零点在 a 与 x1 之间, 于是令 b=x1 (将 x1 换成 b, 此时零点又在 a 与 b 之间); (3) 判断 |a-b|0, 则零点在 x1 与 b 之间, 令 a=x1 (将 x1 换成 a, 此

26、时零点还是在 a 与 b 之间).习题 3.1A 组第 1、3、4、5 题.B 组第 1、2、3 题.习题 3.1A 组 1. 下列函数图象与 x 轴均有交点, 其中不能用二分法求图中函数零点的图号是 (填写上所有符合条件的图号).xyo14237-2-4-6(A)4xyo141-4-4(B)624xyo8142(C)53-24xyo362-3(D)分析:用二分法求解需在区间 a, b 上连续不断,且 f(a)f(b)0 的函数.A、C 图不满足 f(a)f(b)0.AC 3. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 (x+1) (x-2)(x-3)=1 在区间 (-1, 0) 内的近似解 (精

27、确到0.1).解:方程变形为 (x+1)(x-2)(x-3)-1=0, 设 f(x) = (x+1)(x-2)(x-3)-1, f(-1) = -1,f(0) = 5,解所在区间中点f(中点)(-1, 0)-0.53.375(-1, -0.5)-0.751.58(-1, -0.75)-0.8750.39(-1, -0.875)-0.9375-0.28(-0.9375, -0.875)|-0.9375-( -0.875)|=0.06250.1,得方程在(-1, 0)内的近似解为 x = -0.9. 4. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 0.8x-1=lnx 在区间 (0, 1) 内的近似解

28、 (精确到0.1).解:方程变形为 lnx-0.8x+1=0, 设 f(x) = lnx-0.8x+1, f(0.5)-0.6,f(1)0.2,解所在区间中点f(中点)(0.5, 1)0.75-0.13(0.75, 1)0.8750.04(0.75, 0.875)0.8125-0.04(0.8125, 0.875)|0.8125-0.875)|=0.06250.1,得方程在(0, 1)内的近似解可取 x = 0.82.由对数与指数函数知 f(x) 在(0, +)上是增函数. 5. 借助计算器或计算机, 用二分法求函数 f(x)= lnx- 在区间 (2, 3) 内的零点 (精确到0.1).解:

29、 f(2)-0.3,f(3)0.4,零点所在区间中点f(中点)(2, 3)2.50.12(2, 2.5)2.25-0.08(2.25, 2.5)2.3750.02(2.25, 2.375)2.3125-0.03(2.3125, 2.375)|2.3125-2.375)|=0.06250.1,得函数 f(x) 在(2, 3)内的零点为 x = 2.32.B 组 1. 先用求根公式求出方程 2x2-3x-1=0 的解, 然后再借助计算器或计算机, 用二分法求出这个方程的近似解 (精确度 0.1).解:用求根公式得x21.8.x1-0.3,B 组 1. 先用求根公式求出方程 2x2-3x-1=0 的

30、解, 然后再借助计算器或计算机, 用二分法求出这个方程的近似解 (精确度 0.1).解:用二分法:设 f(x)=2x2-3x-1,xf(x)-213-140-11-22138419函数在(-1, 0)内和(1, 2)内有零点.B 组 1. 先用求根公式求出方程 2x2-3x-1=0 的解, 然后再借助计算器或计算机, 用二分法求出这个方程的近似解 (精确度 0.1).解:用二分法:设 f(x)=2x2-3x-1,f(-1)=4,f(0)=-1,根所在区间中点f(中点)(-1, 0)-0.51(-0.5, 0)-0.25-0.1(-0.375, -0.25)-0.28750.03(-0.2875

31、, -0.25)|-0.2875-(-0.25)|=0.03750.1,(-0.5, -0.25)则这一根在 -0.28至-0.25之间,-0.3750.4与求根公式求出的一根比较:|-0.28-(-0.3)|=0.020.1.|-0.25-(-0.3)|=0.050.1.B 组 1. 先用求根公式求出方程 2x2-3x-1=0 的解, 然后再借助计算器或计算机, 用二分法求出这个方程的近似解 (精确到 0.1).解:用二分法:设 f(x)=2x2-3x-1,f(1)=-2,f(2)=1,根所在区间中点f(中点)(1, 2)1.5-1(1.5, 2)1.75-0.1250.13|1.75-1.

32、8125)|=0.06250.1,(1.75, 2)方程的另一个根在1.75至1.81之间.(1.75, 1.875)1.8125(1.75, 1.8125)1.8750.4与求根公式求出的另一根比较:|1.75-(1.8)|=0.050.1.|1.81-(1.8)|=0.010.1. 2. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 x3+5=6x2+3x 的近似解 (精确度 0.1).解:方程变为 x3-6x2-3x+5=0,设 f(x) = x3-6x2-3x+5,xf(x)-3-2-21-67-11051-32-173-314-395-356-137338109由表知方程在区间 (-2, -

33、1) 、(0, 1) 、(6, 7) 内分别有根. 2. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 x3+5=6x2+3x 的近似解 (精确度 0.1).解:方程变为 x3-6x2-3x+5=0,设 f(x) = x3-6x2-3x+5,f(-2)= -210,解所在区间中点f(中点)(-2, -1)-1.5-7.4(-1.5, -1)-1.25-2.6(-1.25, -1)-1.125-0.6(-1.125, -1)-1.06250.2(-1.125, -1.0625)|-1.125-(-1.0625)|=0.06250,f(1)= -30,解所在区间中点f(中点)(0, 1)0.52.1(0.

34、5, 1)0.75-0.2(0.5, 0.75)0.6251.0(0.625, 0.75)0.68750.1(0.6875, 0.75)|0.6875-0.75|=0.06250.1,方程的根为x1= -1.1,x2=0.7, 2. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 x3+5=6x2+3x 的近似解 (精确度 0.1).解:方程变为 x3-6x2-3x+5=0,设 f(x) = x3-6x2-3x+5,f(6)= -130,解所在区间中点f(中点)(6, 7)6.56.6(6, 6.5)6.25-4.0(6.25, 6.5)6.3751.1(6.25, 6.375)6.3125-1.5(6

35、.31255, 6.375)|6.375-6.3125|=0.06250.1,方程的根为x1= -1.1,x2=0.7,x3=6.32.3. 设函数 f(x)=-x2-3x-2, g(x)=2-f(x)2. (1) 求 g(x) 的解析式; (2) 借助计算器或计算机, 画出函数 g(x) 的图象; (3) 求出函数 g(x) 的零点 (精确度 0.1).解:(1)g(x)=2-(-x2-3x-2)2=2-(x+1)2(x+2)2(2)xg(x)-5-142-4-34-3-2-22-12-1.51.90-21-342-142xyo12-1-2-3-4-52-2-6-10-123. 设函数 f(

36、x)=-x2-3x-2, g(x)=2-f(x)2. (1) 求 g(x) 的解析式; (2) 借助计算器或计算机, 画出函数 g(x) 的图象; (3) 求出函数 g(x) 的零点 (精确度 0.1).解:(3)由图象知 g(x)=2-(x+1)2(x+2)2 在 (-3, -2)与 (-1, 0) 内分别有零点.g(-3)= -2,g(-2)= 2,解所在区间中点f(中点)(-3, -2)-2.51.4(-3, -2.5)-2.750.3(-3, -2.75)-2.875-0.7(-2.875, -2.75)-2.8125-0.2(-2.8125, -2.75)|-2.8125-(-2.7

37、5)|=0.06250.1,方程的一根为x1= -2.8,3. 设函数 f(x)=-x2-3x-2, g(x)=2-f(x)2. (1) 求 g(x) 的解析式; (2) 借助计算器或计算机, 画出函数 g(x) 的图象; (3) 求出函数 g(x) 的零点 (精确度 0.1).解:(3)由图象知 g(x)=2-(x+1)2(x+2)2 在 (-3, -2)与 (-1, 0) 内分别有零点.g(-1)= 2,g(0)= -2,解所在区间中点f(中点)(-1, 0)-0.51.4(-0.5, 0)-0.250.3(-0.25, 0)-0.125-0.7(-0.25, -0.125)-0.1875

38、-0.2(-0.1875, -0.125)|-0.1875-(-0.125)|=0.06250.1,方程的另一根为x2= -0.18.复习与提高返回目录知识要点1. 方程的根与函数的零点方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x) 有零点方程 f(x)=0 的根 就是函数 y=f(x) 的图象与 x 轴交点的 x 坐标; 就是函数 y=f(x) 的零点.知识要点2. 求函数的零点所在区间(1) 求单调区间 a, b.(2) 判断是否 f(a)f(b)0:若是, 则在 (a, b) 内有唯一零点;否则 (a, b) 内无零点.知识要点3. 二分法

39、函数 y=f(x) 在区间 a, b 上连续不断、且 f(a)f(b)0, 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.知识要点2. 用二分法求方程近似根的步骤(1) 求使 f(a)f(b)0 的单调区间 (a, b). (2) 取 a, b 的中点 x1, 判断 f(x1)f(a) 及 f(x1)f(b) 的正负. (3) 取积为负的两数的区间, 判断区间长度是否小于精确度 e. (4) 若满足精确度, 则取区间内任一数为近似根; 若不满足精确度, 再重复上面的步骤. 例1. 已知方程 2x+x=0 在区间 (a,

40、 a+1) (aZ) 内有一根, 用二分法求方程的近似解时, 经过 3 次取中点, 则根所在区间是 ( ) (A) (B) (C) (D)分析:首先应求出区间 (a, a+1) 中的 a.估值整数 a, 使 f(a)f(a+1)0,f(-1)=2-1-1则 a = -1.(a, a+1)=(-1, 0).例题选讲分析:一次中点:二次中点:根区间: (-1, 0).三次中点: 例1. 已知方程 2x+x=0 在区间 (a, a+1) (aZ) 内有一根, 用二分法求方程的近似解时, 经过 3 次取中点, 则根所在区间是 ( ) (A) (B) (C) (D)例题选讲C 例2. 已知函数 y=f(

41、x) 是 R 上的奇函数, 当 x0 时, f(x)=2012x+log2012x, 则函数 f(x) 的零点个数为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 无数个分析:定义域为R的奇函数, 其图象必过原点,即必有一个零点为 0.当 x0 时, f(x)=2012x+log2012x 是增函数,f(1)=20120,即 x0 有一个零点.由奇函数得 x0 也有一个零点.f(x) 有3个零点.C 例 3. 已知方程 x3-2x-5=0 在区间 (2, 2.5) 内有一根, 用二分法求方程精确到 0.01 的近似根, 至少需要取几次中点?解:区间 (2, 2.5) 的长度是 0.5,n

42、 次取中点后所得区间的长度为要使方程的近似根精确到 0.01, 需即 0.5n+10.01,lg0.5n+1lg0.01,(n+1)lg0.55.64,答: 至少需要取 6 次中点. 例4. 已知方程 ax4-(a-3)x2+3a=0 (a0) 有一个根小于-2, 其余 3 个根均大于-1, 试确定 a 的取值范围.分析:方程特殊, 是个双二次,考虑换元降次.令 x2=t (t0), 方程变为at2-(a-3)t+3a=0,原方程有一根小于-2, 即方程有一根大于 4.而方程的两根之积 t1t2=3,则方程的另一根小于 1.即 x124, x224, x220,f(-1)f(0)0,f(0)f(1)0,代入函数整理得补充练习共 8 题 2. 已知方程 xlog2(x-2)=2 的实根在区间 (m, m+1) 内, 且 mZ, 则 m= . 3. 若函数 f(x)=x2-ax+4 在 (1, 2) 和 (2, 3) 内各有一个零点, 则 a 的范围是 . 1. 设函数 f(x)=x2-(m-1)x+2m 在 0, 1 内有且只有一个零点, 则实数 m 的取值范围是 . 4. 函数 的所有零点的和为 . 5. 若方程 2ax2-x-1=0 在 (0, 1) 内恰有一解, 则