必修五第一章解三角形知识点总结与经典习题

1、(数学教研组)一, 知识点总结abc1正弦定理:2R （R:外接圆半径）sin A sinB sinC或变形： : : sin :sin :sin .a b cABC结论：定理：在三角形中，, 为其内角，则 sin ，等号当且当=时成立。推断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sinA sinB A B a bcos A cos B A Ba b111三角形的面积公式： ab C bc A ac BS sin sin sin 222 ba2c2a222cosAbcc b2ac 2 cosa2b2c2bcA222余弦定理： b a c 2accosB 或 cos .22222 Bcb2abaco

2、sCb a c22cosC 2ab3利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：A B c ABC C a b 已知两角和一边（如 , , ），由 + + = 求 ，由正弦定理求 , .(ASA或AAS)a b A B ABC 2, 已知两边和其中一边的对角（如 , , ），应用正弦定理求 ，由 + + =C求 ，再由正弦定理或余弦定理求 边，要留意解可能有多种状况.(SSA)ca b c（2）余弦定理：1, 已知三边 , , ，应余弦定理求 , ，再由 + + = ，求角 .(SSS)A B ABC Ca b Cc2, 已知两边和夹角（如 , , ），应用余弦定理求 边；再应用正弦定理先求ABC

3、 较短边所对的角，然后利用 + + = ，求另一角.(SAS)主流思想：利用正, 余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5三角形中的基本关系：AB)C, AB)C, AB)tanC,6. 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正, 余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。习题练习解三角形A组一, 选择题1在ABC 中，若b 2asinB，则A等于（ D ）30 600 或 C 或长为 的三角形的最大角与最小角的和是（ B ）90

4、0 1200 C1350 1500二, 填空题3在ABC中，若a b bcc ,则A _120 _。22204在ABC中，若b B 30 ,C 135 ,则a 6 2 。00三, 解答题5在ABC中，设ac b,AC ,求sin 的值。B3ACACBB解： 2 ,sin sin 2sin ，即2sincos4sin cos ，a c bACB2222B 1 2 2AC3B B，而0 , ，242 224解三角形B 组一, 选择题1在ABC中，A:B:C 1:2:3 ，则a:b:c等于（ C ）1:2:33: 2:1C1: 3:22: 3:1二, 填空题abc2 2若在ABC中，A ,bS 则（

5、）0sin AsinBsinC3ABC3在ABC中，若a b c 则ABC的形态是锐角三角形。6 24在ABC中，若a 3,b 2,c 则A 。025在锐角ABC中，若a2,b3，则边长c的取值范围是( 5, 13)。三, 解答题6. 在ABC中，A ,c,a S 3 ，求b,c。0ABC1解：S bcsin A 3,bc4,2a b c bccos,bc 5，而cb222所以b c 4CA b7. 在ABC中，若acos ccos ，求证：acb。2222 2CA b证明：acos ccos2222 2即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB即sin AsinC 2sin

6、 B，acb解三角形C 组一, 选择题1A为ABC的内角，则sinAcosA的取值范围是（ C ）( 2,2)( 2, 2)C( 2 2, 22在ABC中，若 8，则其面积等于（ D ）abc212C6 3283在ABC中，若( ) ( )，则 （ C ）a c a c b b c C1200 15000A0 A a224在ABC中，若，则ABC的形态是（ B ）Bb直角三角形 等腰或直角三角形 C不能确定二, 解答题等腰三角形5. 假如ABC内接于半径为 的圆，且2R(sin Asin C) ( 2ab)sinB,R22求ABC的面积的最大值。解：2Rsin Asin A2RsinCsinC

7、 ( 2ab)sin B,122另法：S C 2R A2RB24421S R 此时 取得等号A B226. 已知ABC的三边 且ac b,AC ，求 : : 。a b ca b c2ACACACAC解：sin AsinC 2sin B,2sincos4sincos22227. 在ABC(abc)(abc) tan AtanC 3 3，边上的高为4 3 ,B,C的大小与边a,b,c的长。1解：(abc)(abc)ac,a c b ac,cos B ,B 6022202tan AtanC 2 3，联合tan AtanC 3 3 A1 A A A2 3tanC 100得或，即或tanC 2 3450

8、750CC4 3当A75 ,C 45 时， 2 3 8bca00 A4 3当A 45 ,C 75 时， 4 c 3a 8b00 A当A75 ,B 60 ,C 45 时，a 8,b 4(3 2 6),c 8( 31),000当A 45 ,B 60 ,C 75 时，a 8,b 4 6,c 4( 31)。000解三角形D 组ABC2 ，求 的值和 的面积。tanAABC2A45 60 ,A105.解法二：由AA计算它的对偶关系式sin A22。444从而2 3cosA45:11:13上海文数18.）若 的三个内角满意sin A:sin B:sin CABC（A）肯定是锐角三角形.（C）肯定是钝角三角形.天津理数A,B,C的对边分别是a2C， 2 3B ，22 2633335.（2010a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,Ca=1,b= , A+C=2B,3c bcA, B, C的对边长分别为 , , a2b7.（2009四川卷文）在ABC中，、B为锐角，角 、 、A B C所对的边分别为、c，且510sin A.105（I）求 的值；（II）若aA B510510（II）由（I）知C3 ，2sinC42abc得a又的对边，且2asinA b c)sin B (2c b)sinCA B C、 、2a2 (2b c)b (2c b)cb c 即a22222212sin Bsin Cs