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1、7.2 线性空间的基、坐标与维数一、基与维数二、向量坐标三、基变换与坐标变换一、基与维数已知：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的问题：线性空间的一个重要特征在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？定义 在线性空间 中，如果存在 个元素满足：当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 是无限维的例1所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间对于 中的矩阵就构成V的一组基。证明: 设V是n维线性空间，W是V的m维子空间，且 是W的一个基， 则 可以扩充为V的基，即在 基础上可以添加n-m个向量 成为V的基。

2、线性空间V的子空间W也有基与维数的概念，并且有如下基本结论:定理1定义二、元素在给定基下的坐标线性空间 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的注意建立坐标以后，有V中向量Rn中向量从而更准确地说，有下面定义定义设 是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间 与 同构. 1. 任一实n维线性空间与Rn同构3同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性结论2. 数域 上任意两个 维线性空间都同构三、基变换与坐标变换那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？问题：在 维线性空间 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的称此公式为基变换公式由于记则基变换公式 矩阵 称为由基 到基 的过渡矩阵过渡矩阵 是可逆的若两个基满足关系式二、坐标变换公式则有坐标变换公式或证明 将基 换为 ，实际就是将直角坐标系转换为仿射坐标系，这就是前面所说的基变换的几何背景。 以 为坐标轴向量的坐标系就是直角坐标系，以 为坐标轴向量也可以构成坐标系，这种坐标系称为仿射坐标系

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