第4周讲课提纲多元连续函数

1、42013320日、22Page1 ofP47 1（2（4214）10元函数微分10.1 多元连续函数Rn 中的简单拓扑学知识（预备知识n（1）定义：设a42013320日、22Page1 ofP47 1（2（4214）10元函数微分10.1 多元连续函数Rn 中的简单拓扑学知识（预备知识n（1）定义：设aa1a2anbb1b2bn，则(abakbk k1（非负性(aa0(aa0a 02（对称性(abba3（线性运算：设abc RnR，则(a,b c) (ab) (ac：设 证：设R ，因0(ab,ab)(a,a)2(a,b)2(b,b)所以 4(ab)2 4(aa)(bb0(ab)2 (aa

2、)(bb (a,a) （1）定义：设aa1a2ana性质 1（非负性0a 0aa：设|a：设aabNote1：两点间的距离dAB) ；三角不等式dABdA,Cd(CB) 42013320日、22Page2 of3. Rn 0042013320日、22Page2 of3. Rn 00 性质 2：收敛点列的有界性性质 3：有界点列有收敛子列定理（点列收敛与其分量数列收敛的关系(pm, pm,pm)，P (p0,p0,p0)nnlim Pm P0 lim pm p0 ( k 1,2,nn证：| pm p0 |d(Pm,P )(p p ) n max| pm p0 0 0kd(PP0称为P0的邻域（与

3、P0的距离小于 的定义U(P0,) 的集合N(P0,) 0d(PP0称为P0的 去心邻域点与集合的关系U(P0,) d(P,P0) DP0D的一个内点；全体内Ax2 y2 1证：设A(x0,y0)是D中的任意一点，则l x2 y2 1取 1 (1l，当点B(x, yUA,) ，即dAB) 2d(B,Od(BAdAO l l 1l 122故UA,42013320日、22Page3 ofU(P0,)42013320日、22Page3 ofU(P0,)D P0D的一个外点；全体外例：证明点(2,0)D xx2 y2 1定义： D P0 是一个定点， 若对于任意的 0 U(P0,) 它的闭DDD点例1

4、：求点集D (xx0, y 0的边界及其D (xy0,x0 x0,y 0(x,D (x,x0, yx2 y2 1D2 xx2 y2 1 P0D的一个聚Note2：若P0D的一个聚点，则N(P0D 中的无穷多个点根据聚点的定义N(P0) 中有D 中的点P1；记1 d(P1P0 N(P01) 中有D P0D的聚点D中的点列PmPm P0lim Pm 42013320日、22Page4 of闭集：若RnDD 42013320日、22Page4 of闭集：若RnDD y0是闭集R2 D(x,y0证：记任给点A(x ,y )M ，取0，则U(A,)M ，即A是M 的内点02AB 圆柱体的体积公式 V r

5、2hPVRTP,V,T 某点某时刻的温度T T(xyzt11二元函数的概 42013320日、22Page5 of点(xyDzf f D作 z f42013320日、22Page5 of点(xyDzf f D作 z f(xy(xyD z f(xyxyDf z称作因变量，其取值范围Note1u f(xyznz f (x1x2,xn例 1z 1 x2 y2 x2 y2 圆盘(x例 2z ln(x y的定义域是半平面(xy) x y 3z x2 y2x2 y2 1)的定义域是(0,0(xx2y21定义： 点集(xyz f (xy),(xyD 称为二元函数 z f (xyxyD 的图（2）z 1 x2

6、 y2 表示球心在原点、半径为1（3）z x2 y2 （4）z x2 y2（5）z x2 y2z xy 3二元函数的等值线（平面图f(xyc,(xyDcZfz f (xyxyD z f (x,Note：等值线就是曲线z 1z 1x2 y2 x2 y2 1c2 (0c1)42013320日、22Page6 of2x2 y2 1的等值42013320日、22Page6 of2x2 y2 1的等值3z x2 y2（1）x2 y2 0（2）x2 y2 c(c0)x（3）x2 y2 c(c0)yNote：点(0,01二重极) 数若对于任意的 0，总存在 0 P(xyD 0 d(PP0 f (xy A(x

7、,y)(x,yf(xyA Af(xyPP0lim f(x,y) Axx0 y x2y2 x Note3：一般说明极限不存在的方法；例如yxx31lim f(xy0 f(xy) P(xy P (x y ) 是0 f (x,xx0 yP(xyP0 x0y0f(xy) P(xyP0 x0y0lim f(x,y) xx0 yNote5：在定义：f(xyR2 A是一实数若对于任意的 042013320日、22Page7 of f(xyA Af(xyP(xylim f (xy A例 1：证明下列等（1）证明limxy0142013320日、22Page7 of f(xyA Af(xyP(xylim f (

8、xy A例 1：证明下列等（1）证明limxy01(x2 y2) 1x2 y2)222所以对于任意的0，只要取 2 ，则当0 x2 y2 xy 1(x2 y2) 1( x2 y2)2 12 1( 2)2 22故limxy 01（2）证明 lim(xsin 1 ysin ) 0yx xsin1 ysinx y 2 x2 y2 yx所以对于任意的0，只要取，则当02x2 y2 y 2 x2 y2 2212xsin1 ysinx yx故lim(xsin 1 ysin ) 01yx 11 1Note：limlim(xsin 1 ysin ) limlim(xysin yxyxy0 y0 （3）证明 l

9、im x y 0 x x2 x y x2y22，x2 x2 xy42013320日、22Page8 of所以对于任意的0N 2x2 y2 N x x2 222x2 N2x2 x 0 x x2 例 2：求下列极1（1）42013320日、22Page8 of所以对于任意的0N 2x2 y2 N x x2 222x2 N2x2 x 0 x x2 例 2：求下列极1（1）lim(x2 y2)；x2 1解：因为lim(x2 y20，且函数x2 1lim(x2 y2) 0 x2 1x2 y2，且lim(x2 y20(x2 y2)x2 1lim(x2 y2) 0 x2 （2）limln(1xy) x li

10、mln(1xy) limln(1xyy1x limsin(1x)y（3）y limsin(1xy limsin(1xy1x1(1x)y 例 3：f(xyg(x, y) x2 x2 解：f(xy在点(0,0)处不是无穷小量，因为当点(xyyxx2 1 0点(0,0)f(xyx2 xy42013320日、22Page9 ofg(xy在点(0,0)处也不是无穷小量，尽管当点(xyy x2 趋向于点(0,0) g(x, y) 0，但当点(xyy x3 x2x2 x2 向于点(0,0)x(42013320日、22Page9 ofg(xy在点(0,0)处也不是无穷小量，尽管当点(xyy x2 趋向于点(0

11、,0) g(x, y) 0，但当点(xyy x3 x2x2 x2 向于点(0,0)x(x3 x2) x3 g(x, y) 10 x2 x2 x3 2*累次极限（二次极限 1yx limlim(xsin 1 ysin ) limlim(xysin 11 1yxyxy0 y0 0，lim0（2）不存在，但lim x0 x2 y0 x0 x0 y0 x x x 0，而lim（3） 不存在，但lim x 22y2yy0 x0 x0 y0 记ylimf(xylimyAAf(xyP0 xyxx0 y lim lim f(x,y) Ayy0 xyNotelim lim f(xy Axx0 y定理（二重极限与

12、累次极限的关系）：若 lim f(xy Alim f(xyy) xx0 yxx0 y lim(y) Ay 0lim f(xy A，所以存在 0 xy0 (xx0)2 (y y0)2 时，有 | f(xy A|1取 ，则当 0|xx |,0| y y | 时，120 (xx0)2 (y y0)2 42013320日、22Page10 of从而有 | f(xy A|limf(xyyxx042013320日、22Page10 of从而有 | f(xy A|limf(xyyxx0，得|yA|xx0 y 1即对 0，存在 ，当0|yy | 时，有|(y)A|12limy Ayx2 x2 x2 例如：由于

13、limy0 1，而lim1，所以 x 2 x x0 y0 1连续定设二元函数 f(xy) D R2 上有定义， P0 x0y0D 若lim f(xy f(x0y0f(xyP0 x0y0 xy1f(xy；1 x2 Note2f (xy) D f (xy) D f (x,y)C(D) f(x,y) (x2 y2)1(x2)2 (y 2)2Note4f(xyxylim f(xy0 f(x0y0 xf(xy) P0 x0y0 xlim f(x0y f(x0y0yxy f(xy 0, Otherwise在点(0,0)2一致连续性（整体性质使得当PP1 D d(PP1) f(P f(P1) f(xyD42

14、013320日、22Page11of例：f(xysin x2 y2 在R2|sin x2 y2 sin x2 y2 x2 y42013320日、22Page11of例：f(xysin x2 y2 在R2|sin x2 y2 sin x2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 x2 2 22x2 y2 x2 (xx0)2 (y y0)2 Notef(xy) D 上不一致连续 0 0，对任意的 0 PP1Dd(PP1f(P) f(P1) 0 x y 1 例如： 对于函数f(xy x2 y2 0 (xx1)2 y y1)2 f (x,y) f(x1,23连续函数的性定理：f (xy) D 上连续，则

15、f (xy) D (x1y1x2y2Df(x1y1f (xyf(x2y2对所有的(xyD（D中的点列Pm使得| f(Pm|mPm D ， D Pmk 及 P*D d(Pmk ,P*)0(k )f(xy) P*处连续，所以lim f(Pmk ) f (P*与| f (Pmk | mk D中的点列PmPm ， D Pmk 及 P*D d(Pmk ,P*)0(k )f (xy) P*处连续，所以lim f(Pmk ) f (P*，从而M f (P*M kNote ： 此定理只对有界闭区域成立 例如函数 f(xy 1x2 y2 在有界区域D (x,x2 1上就没有最小值42013320日、22Page

16、12 of已知函数 f(xy) R2 lim f (x42013320日、22Page12 of已知函数 f(xy) R2 lim f (xy ， 证明存在一点(x0y0 f (x0y0f (xy对任意的(xyf(xyN 0 x2 y2 N f(xy f(00) Dxx2y2NDf(xyD最值存在定理，存在(x0y0D f(x0y0f(xy对任意的(xyD由于当 x2 y2 N ，即(xyD时，f(xy f (0,0)f (x0y0，所以对任意的(x都有 f(x0y0f(xyf(x2y2异号，则存在M(x0y0Df(x0y00 x P(x1,y1),Q(x2,y2)LLP(x1y1对应于参数t1、Q(x2y2对应于参数t2g(t) f(x(ty(tg(t1)g(t2) 0根据一元连续函数的零点存在定理， 存在介于 t1 t2 之间的参数 t0 g(t0) f (x(t0),y(t0)0P0 x0y0 x(t0y(t0P0LDf(P0 f(x0y00使得 f(x1y1 ) f(x2y2， 则对任意的实数 满足 f(x1y1 f(x2