等差数列的前项和优质课比赛

1、等差数列的前项和优质课比赛课件第1页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二高斯（Gauss,17771855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.第2页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1 2 3 99 100第3页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二高斯的算

2、法计算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组： 第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组， 每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？第4页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？创设情景问题就是：1 2 3 (n-1) n若用首尾配对相加法，需

3、要分类讨论.三角形平行四边形第5页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二n (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？前n项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.第6页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二问题分析已知等差数列 an 的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .如何才能将等式的右边化简？第7页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二由此得到等差数列的an前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成差由等数列的通项公式an =

4、 a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。知三求二第8页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.na1an第9页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.第10页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=50练一练

5、5002550第11页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二 已知等差数列an(2)a14，S8172，求a8和d.思路探索 根据等差数列前n项和公式解方程题型一与等差数列前n项和有关的基本量的计算【例1】第12页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用第13页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二 在等差数列an中；(1)已知a610，S55，求

6、a8和S10；(2)已知a3a1540，求S17.【变式1】 第14页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列an，【例2】2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？故，该市在未来10年内的

7、总投入为答：从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.且a1=500,d=50,n=10.题型二 利用等差数列求和公式解决实际问题第15页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二 【变式2 】 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列an，且a1=21，d=1，n=19.答：屋顶斜面共铺瓦片570块.于是，屋顶斜面共铺瓦片：第16页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二题型三利用Sn求an 已知数列an的前n项和S

8、n32n，求an.解(1)当n1时，a1S1325.(2)当n2时，Sn132n1，又Sn32n，anSnSn12n2n12n1.又当n1时，a121115，【例3】第17页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二 (1)已知Sn求an，其方法是anSnSn1(n2)，这里常常因为忽略条件“n2”而出错第18页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二已知数列an的前n项和Sn2n23n，求an.解a1S15，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1，当n1时也适合，an4n1.【变式3】 第19页，共26页，2022年，5月20日，5点33

9、分，星期二【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10310，S201220，将它们代入公式可得所以题型四 已知等差数列的某些项的和求出n项和第20页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？另解： 两式相减得第21页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和思路探索 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解【变式4】第22页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二第23页，共26页，2022年，5月20日，5点33分，星期二故此数列的前110项之和为110.法二数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100为等差数列，设公差为d，则又S10100，代入上式得d22，S110S100S10(111)d10010(22)120，S110120S100110.法三设等差数列an的前n项和Snan2bn.S10100，S10010，第24页，共26页，2