第四静电场中的导体

1、第四静电场中的导体1第1页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二本章目录4.1 导体的静电平衡条件4.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律4.3 有导体存在时静电场的分析与计算4.4 静电场的唯一性定理、静电屏蔽、电像法（书4.4、4.5节）2第2页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二 4.1 导体的静电平衡条件 （electrostatic equilibrium of conductor）E内= 0静电平衡时的导体等势体E表等势面接地 ：q1q2 大 地（等势体）（等势区）无限远取得与无限远相同的电势 表面（通常取为零）。TV静电平衡（注2）3第3页，共32

2、页，2022年，5月20日，5点28分，星期二4.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律一.导体静电平衡时电荷分布在表面1.实心导体： 内=0S S 是任意的。令S 0，则必有 内 = 0。V理由：4第4页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二外E内内S内2.导体壳：S 外可不为零，但内 和 E内必为零。理由：在导体中包围空腔选取若内 0，则内必有正负 与导体静电平衡矛盾E线从正电荷到负电荷只能内 =0，且腔内无E线= 0= 0只能 E内 = 0。高斯面S ，则：5第5页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二外q内表E内内q 0 03.导体壳内有电荷：外可不为0，但

3、必有内 0，理由：在导体中包围空腔做高斯 =-qS面S ，则：6第6页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二二. 表面场强与面电荷密度的关系(高） 是小柱体内电荷的贡献还是导体表从推导中的哪一步可看出？思考面全部电荷的贡献？导体小扁柱体表面为 S7第7页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二三. 孤立导体表面电荷分布的特点 孤立导体表面曲率大处面电荷密度也大，但不存在单一函数关系。尖端放电（point discharge）： 带电的尖端电场强，使附近的空气电离，因而产生放电。8第8页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二空气中的直流高压放电图片：

4、9第9页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二云层和大地间的闪电闪电的图片：10第10页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二雷击大桥遭雷击后的草地11第11页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二俘获闪电：激光束引起空气电离，使闪电改道Z形通道被迫冲向云层12第12页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二演示 带电导体空腔外表面带电，内表面不带电； 尖端放电： 孤立导体表面曲率大处面电荷密度也大也大；电风轮 （KD010）电风“吹”蜡烛 （KD011）（KD017）（KD014）避雷针原理 （KD007）13第13页，共32页，

5、2022年，5月20日，5点28分，星期二04.3 有导体存在时静电场的分析与计算依据：例静电平衡条件， 12求：导体板两表面的面电荷密度。 解：设导体电荷密度为 1、 2 ，电荷守恒：导体内场强为零：电荷守恒，高斯定理。E E E0(2)平行放置一大的不带电导体平板。面电荷密度为0 的均匀带电大平板旁，已知：1 + 2 = 0 (1)E0 +E1E2 = 014第14页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二思考0 200（B）-0 00（C）-0 200（A）下面结果哪个正确?若上例中导体板接地，（1）、（2）解得：15第15页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，

6、星期二4.4 静电场唯一性定理、静电屏蔽、电像法 区域求解问题：如何通过边界条件反映未知的域外电荷对域内场的影响呢？问题的提出由知，若要求 得知道全空间的电荷分布。但是有时我们只知道某个域内的电荷分布域内的电场情况。对域外情况并不清楚。和域边界上的某些情况，必须而且我们也仅仅关心这就是静电场的唯一性定理所要解决的问题。16第16页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二一. 唯一性定理（uniqueness theorem）域内的解就是唯一的。（1）给定各边界上的电势分布；边界面的电通量（3）一部分边界按条件（1） 给出，设在给定域内电荷分布确定，则给定下列边界条件之一，这些条件

7、是：（2）已知各边界面均为等势面，并给定了各闭合按条件（2）给出其余边界（即混合边界条件）。（对导体边界通常是给出导体的电量）。17第17页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二 * 证明：则对域内任意闭合曲面 S 有： 令则对域VSS1S2Si用反证法。设域内有两个满足给定条件的解即对应于域内无电荷分布（S 可任选）这说明：或情况（A）；或而线发自一边界，止于另一边界情况（B）18第18页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二下面证明只可能是情况（A），即 若按条件（1） 给定：即 1si = 2si ，则 说明各边界面电势为0所以，场强、电势皆唯一。情况（B

8、）不成立，故只有情况（A）成立，即：19第19页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二电势可不同），且边界上不存在 的极大值和极小值只可能则只可能情况（A）成立，亦即场强唯一，电势可差一常量（没给定）。即即各边界的电势相同。则：说明对 而言，边界都是等势面（各面再考虑到 ， 若按条件（2）给定，20第20页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二（自己证明）二. 静电屏蔽（electrostatic shielding）壳内域：若q内 给定，（2）类边界条件。而 内则可差一常量。证明域内 和 都唯一确定。若按条件（3） 给定，则可仿照前面的讨论，q内q外封闭导体壳

9、S内（无限靠近内壁）这符合唯一性定理的第则21第21页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二不管q外如何，上述定解条件均不变，封闭导体壳屏蔽了壳外电荷对壳内的影响。壳外域：若q外给定，则 只要q内的大小不变（可在壳内移动），q内q外封闭导体壳（无限靠近外壁）S外就唯一确定。此符合唯一性定理的第（3）类边界条件。22第22页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二q内q外封闭导体壳S内S外当导体壳接地时，域内：域内域外q内分布给定，S内。与q外无关，域外：q外分布给定，与 q内无关。接地导体壳可屏蔽壳内外电荷间的结论：相互影响。23第23页，共32页，2022年，5

10、月20日，5点28分，星期二q内q外封闭导体壳S内S外内域外域q内表q外表 由唯一性定理和静电屏蔽的结论还可推知（自行证明），在图示情形中，在 rR 处，思考q.r0R导体壳S（球面）P应有：24第24页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二汽车是个静电屏蔽室TV静电屏蔽（注2）演示金属“鸟龙”演示静电屏蔽（KD016）25第25页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二三 . 电（镜）像法（method of images）已知：点电荷q处于（0，0，a）点，求：z 0区域的 =？导体面上 =？ 解：定解条件：域内q已知，位置确定，符合第（1）类边界条件，z 0

11、的区域内解唯一。求解域(0,0,a)qz0例1z = 0的平面为无限大导体平面， z = 0 = 0。26第26页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二 去掉无限大导体平面，此时边界条件为： 由唯一性定理知， q 和 q 在域内的合场强 即为 z 0 域内该命题的解。符合原定解条件。解为：rr求解域(0,0,a)qzq = -q(0,0,-a)试探在（0，0，-a）处，放个点电荷q = -q ，以此来代替导体面上感应电荷对 z 0 区域内的影响。27第27页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二 题中的点电荷q，导体平面上的感应电荷面密度为：RR求解域0aqz-

12、q-a 即为q对导体面的“电镜像”（简称“电像”）。其中28第28页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二有一点电荷q，求：球外电势 。解：qlO导体球aAS边界条件试探在OA线上距O为 l (a )的A点放电像q。lqArrP则球外电势此解自动满足无限远的边界条件= 0 。例2已知：在半径为a的接地导体球外的A点A点到球心的距离为l 。域内(球外)电荷给定，满足第（1）类边界条件，解唯一。29第29页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二为了满足球面上的边界条件，qO导体球alASlqARR由此可导出：rrP应有：30第30页，共32页，2022年，5月20日，5点28分，星期二对电像法的几点说明：3.放置电像的原则： 不能破坏域内给定的电荷分布 （电像必须放在域外）； 1.电像法的理论依据是唯一性定理；2.电像法的本质是用域外配置的像电