长江大学数学分析-下-定理

1、数项级数(级数收敛的柯西准则)级数U U2Un收敛的充要条件是：任给正数总存在正整数N ,使得当m N以与对任意的正整数p,都有um 1 um 2um p定理：若级数 定理：若级数 unvn都收敛，则对任意的常数c,d ,级数(cun dvn)亦收敛，且(cun dvn)CUn dVn 。定理：正项级数Un收敛的充要条件是：部分和数列Sn有界，即存在某正数M ,对一切正整数n有Sn M(比较原则)设 un与 vn是两个正项级数，如果存在某正数N,对一切n N都有un vn ,则(i)若级数 vn收敛，则级数un也收敛；(ii )若级数 /发散，则级数 片也发散。推论设4 u2 (1)vi v

2、丫口 (2)是两个正项级数，若lim un l , n v则(i) 当0 l时，上述级数同时收敛或同时发散；(ii ) 当l 0且级数(2)收敛时，级数(1)也收敛；(iii ) 当l且级数(2)收敛时，级数(1)发散。(达朗贝尔判别法，或称比式判别法)设 un为正项级数，且存在某正整数N。与常数q ( 0 q 1)(i ) 若对一切n No,成立不等式uq则级数 “收敛un(ii ) 若对一切n No,成立不等式41 ,则级数 un发散un1 / 10(柯西判别法，或称根式判别法)设 Un为正项级数，且存在某正数 No与正常数l ,(i )若对一切n No,成立不等式向 l 1 ,则级数 U

3、n收敛；(ii )若对一切n No,成立不等式 式 1,则级数 Un发散。积分判别法定理12.9设f为1,)上非负减函数，那么正项级数f(n)与反常积分1 f (x)dx同时收敛或同时发散。定理12.11 (莱布尼茨判别法)若交错级数U1 u2 u3 u4(1)n1un满足下述两个条件：(i )数列un单调递减；(ii ) Jm un 0。则交错级数收敛。定理12.15 (阿贝尔判别法)若4为单调有界数列，且级数bn收敛，则级数anbn a1bl a2b2 anbn 收敛。定理12.16 (狄利克雷判别法)若数列an单调递减，且“ma。0,又级数 bn的部分和有界，则级数anbn a1bl a

4、2b2anbn收敛。函数列与函数项级数定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则)函数列 fn在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在正数N ,使得当n,m N时，对一切x D ,都有 |fn(x) fm(x)|o定理13.3 (一致收敛的柯西准则)函数项级数 un(x)在数集D上一致收敛的充 要条件是：对任给的正数 ，总存在正数N ,使得当n N时，对一切x D和 一切正整数 p ,都有 Sn p(x) Sn(x) 或 un1(x)4 p(x) 。2 / 10定理13.5 (尔斯特拉斯判别法)设函数项级数Un(x)定义在数集D上， Mn为收敛的正项级数，若对一切 XD ,有Un(x)

5、Mn,n 1,2，,为收敛的正项级数，若对一切 Xun(x)在D上一致收敛定理13.6 (阿贝尔判别法)设(i )Un(x)在区间I上一致收敛；(ii )对于每一个X I, vn(x)是单调的；(iii ) Vn(x)在I上一致有界，即对一切x I和正整数 n, 存在正数 M 使得 vn(x) M , 则级数un(x)vn(x) u1(x)v1(x) u2(x)v2(x) un(x)vn (x)在 I 上一致收敛。定理13.7 (狄利克雷判别法)设(i )un (x)的部分和函数列nUn(x) uk(x) (n 1,2,)在 I 上一致有界；(ii )对于每一个 x I,%(x)是 k 1单调

6、的； (iii ) 在 I 上vn(x)0(n), 则级数un(x)vn(x) u1(x)v1(x) u2(x)v2(x) un(x)vn (x)在 I 上一致收敛。定理13.8设函数列fn在(a,x0)U(x0,b)上一致收敛于f(x),且对每一个n,lim fn(x) an,则lim an和lim f(x)均存在且相等。x Xonx x0定理13.9 (连续性)若函数列fn在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f在I上也连续定理13.10 (可积性)若函数列fn在a,b上一致收敛，且每一项都连续，则bblim fn (x)dx limfn(x)dxa n nn a n、/定理13

7、.11(可微性)设fn为定义在a,b上的函数列，若对x0 a,b为fn的收敛点，fn的每一项在a,b上游连续的导数，且fn在a,b上一致收敛，则dd(lim fn(x) limfn(x)dx nn dx3 / 10事级数定理14.1 (阿贝耳定理)若号级数anxn a0 a1x a2x2anxn在n 0 xx0收敛，则对满足不等式x x的任何x ,幕级数nannanxn 02a0 a1x a2xanxn收敛而且绝对收敛；若幕级数n2n2ax a0 ax a?xn 0任彳x,幕级数发散。anxn在x x时发散，则对满足不等式|x ，的定理14.2对于幕级数定理14.2对于幕级数anxnn 02a

8、0axa2xanxn，若lim沟 ，则n ,当（i ） 0时，幕级数当（i ） 0时，幕级数anxna0 a1x a2x2n 0anxn的收敛半径1R 一 ；（ ii0时1R 一 ；（ ii0时，幕级数nanxn 0a0a1x2a2xanxn的收敛半径R ; （iii ）半径R ; （iii ）半径R 0 。时，幕级数anxna0 a1x a2x2n 0anxn的收敛定理14.4若幕级数anxnn 定理14.4若幕级数anxnn 02a0a1x a2xanxn的收敛半径为R( 0),则在它的收敛区(R, R)任一闭区间a,b上级数nanxn 02a0 a1x a2xanxn都一致收敛傅里叶级数

9、定理15.1若级数同(an bn)收敛，则级数a0(an cosnx bn sin nx)在2 n 12 n 1整个数轴上绝对收敛且一致收敛。4 / 10定理15.2若在整个数轴上f (x) a0(an cosnx bnsin nx)且等式右边级数一2 n 1致收敛，则有如下关系式：1一、，c -an f (x)cos nxdx,n 0,1,2,1 bn一 f (x)sin nxdx, n 1,2,bn多元函数的极限与连续定理16.1 (柯西准则)平面点列Pn收敛的充要条件是任给正数，存在正整 数N ,使得当n N时，对一切正整数p ,都有(pn, pn 1)定理16.2 (闭域套定理)设Dn

10、是R2中的闭域列，它满足：(i) Dn Dn1,n 1,2，；(ii ) dn d(Dn),lim dn 0,则存在 惟 一 的 点 p0 Dn,n 1,2,.定理16.3 (聚点定理)设ER2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点定理16.4 (有限覆盖定理)设D R2为一有界闭域， 为一开域族，它覆盖 n了 D (既 D Ui). i 1定理16.6若f (x, y)在点(x0, y0)存在重极限 lim f (x, y)与累次极限 (x,y) (xo ,y0)lim lim f (x, y)则他们必相等. x Xo y y0定理16.8 (有界性与最大、最小定理)若函数f在有界闭域D

11、 R2上连续，则f 在D上有界，且能取得最大值与最小值.定理16.9 (一致连续性定理)若函数f在有界闭域D R2上连续，则f在D上 一致连续.即对任何 0,总存在只依赖于 的正数，使得对一切点P,Q,只要(P,Q),就有 |f(P) f(Q)5 / 10定理16.10 (界值性定理) 设函数f在区域D R2上连续，若PhB为D中任意 两点，且f(R) “汾)，则对任何满足不等式f(pi)f(P2)的实数，必存在点B D,使得f(po).多元函数微分学定理17.6若函数f在点R(x0,y,z0)可微，则f在点R处沿任一方向l的方向导数都 存在， 且 fi(B) fx(R)cosfy(P0)co

12、sfz(P0)cos, 其 中cos ,cos ,cos 为方向l的余弦.定理17.8 (中值定理)设二元函数f在凸开域DR2上连续，在D的所有点都可微，则对D任意两点P(a,b), Q(a h,b h) D ,存在某(01),使得f (a h,b h) f (a, b) fx(a h,b k)h fy(a h,b k)k隐函数定理与其应用定理18.1 (隐函数存在惟一性定理)若满足以下条件：(i)函数F在以P0(x0,y0)为点的某区域D R2上连续；(ii ) F(x0,y。)0 (通常称为初始条件)；(iii )在口存在连续的偏导数Fy(x,y)；(iv) Fy(x0,y0) 0则在点P

13、o的某邻域U(P0) D ,方程F(x, y) 0惟一地确定了一个定义在某区间(x0,Xo)的函数(隐函数)y f(x),使得、f (Xo) y0,x (x,Xo)时(乂 f(x) U(Po)且 F(x, f(x) 0；f(x)在(Xo,Xo)连续.定理18.2 (隐函数可微性定理) 设F(x, y)满足隐函数存在惟一性定理中的条件6 / 10(i) (iv),又设在D还存在连续的偏导数Fx(x,y),则由方程F(x,y) 0所确定的隐函数y f(x)在其定义域(xo,xo )有连续导函数，且f,(x)Ff,(x)Fx(x,y)Fy(x, y)含参量积分定理19.1 (连续性)若二元函数f(x

14、,y)在矩形区域R a,b c,d上连续，则d函数I(x) f (x,y)dy在a,b上连续.c定理 19.2 (连续性)设二元函数 f(x, y)在区域G ( x, y) | c(x) y d(x),a x b上连续，其中 c(x),d(x)为a,b上的连续函d(x)数，则函数F(x) c(x)f(x，y)dy在a，b上连续.定理19.3 (可微性)若函数f(x,y)与其偏导数一f(x,y)都在矩形区域 xdR a,b c,d上连续，则 I (x) f (x,y)dy 在a,b上可微，且 cd ddf(x,y)dy f(x,y)dy .dx cc x定理 19.4 (可微性)设 f (x,

15、y) fx(x, y)在 R a,b c,d上连续,c(x),d(x)为定义在a,b上其值含于p,q的可微函数，则函数F(x) ”x)f(x,y)dy在a,b上可 c(x)d (x)微，且 f(x)fx(x,y)dy f (x,d(x)d(x) f (x,c(x)c(x)c (x)定理19.6若f (x,y)在矩形区域R a,b c,d上连续，则bddbdx f(x,y)dy dy f(x,y)dxaccaf (x, y)dy 在a,b上一致收f (x, y)dy 在a,b上一致收7 / 10敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某一实数M c,使得当A,A2 M时,，一，A2对一切 x a,b

16、都有 f (x, y)dy . A定理19.8含参量反常积分c f (x,y)dy在a,b上一致收敛的充要条件是：对任一趋于 的递增数列An(其中A c),函数项级数An1 f (x, y)dy un(x)Ann 1 nn 1在a,b上一致收敛.曲线积分x (t).定理20.1设有光滑曲线L:(), t ,;函数f(x,y)为定义在L上的连y (t),续函数，则 Lf(x, y)ds f( (t), (t)J 2(t)说dt重积分定理21.3若曲线K为由定义在a,b上的连续函数f(x)的图像，则曲线K的面 积为零.定理21.7设f (x, y)是定义在有界闭域D上的有界函数.若f (x, y)

17、的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则 丫)在口上可积.定理21.8设f(x, y)在矩形区域D a,b c,d上可积，且对每个x a,b,积, d,， b d,分 f(x, y)dy存在，则累次积分 dx f(x, y)dy也存在，且 ca cb df (x,y)d dx f(x, y)dya cD定理21.11 (格林公式)若函数P(x,y),Q(x, y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有(-Q 上)d Pdx Qdy ,这里L为区域D的边界曲线，d x yL并取正方向.定理21.12设D是单连通区域.若函数P(x,y),Q(x,y)在D连续，且具有一阶连8 / 10续偏导数，则

18、以下四个条件等价：(i)沿D任一按段光?t封闭曲线L,有/dx Qdy 0；(ii )对口中任一按段光滑曲线L ,曲线积分JPdx Qdy与路线无关，只与L的 起点与终点有关；(iii ) Pdx Qdy是D某一函数u(x,y)的全微分，即在 D有du Pdx Qdy；(iv)在D处处成立上-Q y x定理21.13设f (x, y)在有界闭区域D上可积，变换T:x x(u, v), y y(u,v)将uv平面有按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成xy平面上的闭区域D ,函数x(u,v),y(u,v)在分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v) (x, y) 0,(u,v),则(u,v)f (x,y)dxdy f (x(u,v), y(u,v) J(u,v) dudv .D曲面积分定理22.1设有光滑曲面S:z z(x,y),(x, y) Df (x, y,z)为S上的连续函数，则f(x, y,z)dS f (x,y,z(x, y)J z2 zydxdy. sD定理22.22设R是定义在光滑曲面S:z z(x,y),(x,y) Dxy上的连续函数，以S的上侧为正侧(这时S的法线方向与x轴正向成锐角)，则有R(x,y,z)dxdy