《数学分析》第十七章 多元函数微分学

1、 9/9数学分析第十七章 多元函数微分学 151 第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) 1 可微性 ( 4 时 ) 一 可微性与全微分： 1 可微性：由一元函数引入.)()(2 2y x ?+?亦可写为y x ?+?, ?) , (y x ) 0 , 0 (时) , () 0 , 0 (. 2 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. 1P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: 1P 109 图案171. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . 1P 142143 E2 , 3 , 4 .

2、 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ?=+=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ) s i n c o s (l i m ),(l i m 2 320s i n ,c o s )0,0(),(+=y x y x y x f =)0,0(0)s i n c o s (l i m 2 30 f =+. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0|l i m )0,0()0,(l i m 300=-x

3、x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f |lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y =-= 不存在 . Ex 1P 116117 1，2 4 . 152 三. 可微条件: 1. 必要条件: Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微? ) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且 =),(00) ,(00y x df df y x ) , (00y x f x +?x ) , (00y x f y y ?. (证) 由于dy y d

4、x x =?=? , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例6 考查函数? ? =+= 0 , 0, 0 , ),(22222 2y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. 1P 110 E5 . 2. 充分条件: Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) 1P 111 Th 3

5、若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点 ) , (00y x 可微. 证 f y y x x f -?+?+) , (00) , (00y x ) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -?+?+-?+?+= 0 1,0 ),() , (0000 x x y = ; x x x x y cos sin ln )1(2+= . 1 P 158 E4 例6 设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换sin , cos r y

6、r x =下 , 证明 2 2 2221? ? ?+? ?=? ?+? ?y u x u u r r u . 1 P 157 E2 例7 设函数)(u f 可微 , )(2 2y x yf z -=. 求证 xz y z xy x z y =?+?2 . 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例8 )sin(y x e z xy +=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出 x z ?和y z ?. 1 P 160 E5 Ex 1P 160161 15. 三. 高阶偏导数: 1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 ,2y x e z += 求二阶偏导数和2 3x y z

7、?. 1P 167 E1 例10 x y a r c t g z =. 求二阶偏导数. 1P 167 E2 2. 关于混合偏导数: 1P 167170. 3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , 1P 171 例11 ) , (y x x f z =. 求22x z ?和y x z ?2. 1P 171 E3 4. 验证或化简偏微分方程: 例12 2 2 ln y x z +=. 证明22x z ? + 2 2y z ?0=. ( Laplace 方程 ) 157 例13 将方程0=?-?x u y y u x 变为极坐标形式. 解 x y arctg y x r r y r x

8、 =+=?= , .sin , cos 22. r x y x x x r = +=?2 2, r y y r =? , 2r y x -=? , 2r x y =?. ?-?=?+?=?u r y r u r x x u x r r u x u 2 , ?+?=?+?=?u r x r u r y y u y r r u y u 2; 因此, ?= ?+=?+?-?+?=?-?u u r y x u r y r u r xy u r x r u r xy x u y y u x 2222222 . 方程化简为 0=? u . 例14 试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x

9、s +=+= , 将方程 0342222 2=?+?+?y u y x u x u 化为 02=?t s u . 解 t u s u x t t u x s s u x u ?+?=?+?=? , t u b s u a y t t u y s s u y u ?+?=?+?=?. 2 2x u ?=x ?=? ?+?t u s u 2 2s u ?x s ?+t s u ?2x t ?+s t u ?2 x s ?+22t u ?x t ?= =22s u ?+2t s u ?2+22t u ?. y x u ?2= y ? =? ?+?t u s u 2 2s u ?y s ?+t s u

10、 ?2y t ?+s t u ?2 y s ?+22t u ?y t ?= =22s u a ?+)(b a +t s u ?2+b 2 2t u ?. 158 22y u ?=y ?=? ?+? t u b s u a 22 2s u a ?+ab 2t s u ?2+2b 22t u ?. 因此 , =?+?+?2222234y u y x u x u )341(2 a a +=22s u ? + ()6442a b b a +t s u ?2 + )341(2b b +2 2t u ?. 令 03412 =+a a , 1 , 31 , 03412 -=-=?=+b a b b 或3 1

11、 , 1- =-=b a 或 , 此时方程03422222=?+?+?y u y x u x u 化简为 02=?t s u . Ex 1P 183 1，2 . 3 方向导数和梯度 （ 3 时 ） 一 方向导数： 1 方向导数的定义： 定义 设三元函数f 在点),(0000z y x P 的某邻域)(0P ?3 R 内有定义.l 为从点0P 出发的射线.),(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点,以表示P 与0P 两点间的距离.若极限 f P f P f l ?=-+ + 0 00 lim ) ()(lim 存在,则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数,记为 P l

12、f ?或)(0P f l 、 ),(000z y x f l . 对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数. 易见, x f ?、y f ? 和 z f ?是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴 159 正向的方向导数 . 例1 ),(z y x f =32z y x +. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中 l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向. 解 l 为方向的射线为令 =-=-=-1 12121z y x )

13、0 ( t . 即 ) 0 ( , 1 , 12 , 12+=+-=+=t t z t y t x . 3 ) 1, 1 , 1 ()(0=f P f , 37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+=+-+=+-+=t t t t t t t t t f P f t t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-= . 因此 , .3 137lim ) ()(lim 23000 =+=-=?+ t t t t P f P f l f t P 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l

14、 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的 射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1=+-=+=t z t y t x . 359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0=f P f ; t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=. 因此 , .10 51059lim ) ()(lim 20 00 - =-=-=?+ + t t t P f P f l f t P 2. 方向导数的计算: Th 若函数f 在点),(0000z y x P 可微, 则f 在点0P 处沿任一方

15、向l 的方向导数都存在, 且 =)(0P f l )(0P f x c o s +)(0P f y cos +)(0P f z cos , 其中cos 、cos 和cos 为l 的方向余弦. ( 证 ) 1P 163 对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x cos +)(0P f y cos , 其中和是l 的方向角. 注：由=)(0P f l )(0P f x cos +)(0P f y cos +)(0P f z cos 160 =( )(0P f x , )(0P f y , ) (0P f z )( ?cos , cos , cos ), 可见, )(0P

16、 f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , ) (0P f z )在方向l 上的投影. 例2 ( 上述例1 ) 解 l 的方向余弦为cos = 3 2 1)2(222 22= +-+, cos =32-, cos =31. )(0P f x =1 , )(0P f y =221 =y y , )(0P f z =331 2 =z z . 因此 , l f ?=)(0P f x cos +)(0P f y cos +)(0P f z cos =3 1 313) 32(232=?+-?+. l 的方向余弦为 cos = 10 1) 11()12()12(1 22 2 2 = -+

17、-+-, cos =10 3- , cos =0 . 因此 , l f ?=10 5 10321011-=?-?. 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 例3 1P 164 E2 . 二. 梯度 ( 陡度 ): 1. 梯度的定义: =gradf ( )(0P f x , )(0P f y , ) (0P f z ) . |gradf = ()()()202020)()()(P f P f P f z y x +. 易见, 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 =)(0P f l =?l

18、gradf |)(0P gradf cos . 其中是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算: grad =+)(c u grad u . grad (u +v ) = grad u +grad v . 161 grad (u v ) = u grad v +v grad u . grad 2 u vgradu ugradv u v -=. grad f (u ) = gradu u f )(. 证 2u v u uv u v x x x -=? ? , 2 u v u uv u v y y y -=? ?.

19、grad =-=) , (1 2v u uv v u uv u u v y y x x =-=) , ( ) , (1 2v u v u v u uv u y x y x =-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2 u vgradu ugradv -. Ex 1P 165 1，2 ，3 ，6 . 4 Taylor 公式和极值问题 （ 4 时 ） 一 中值定理： 凸区域 . Th 1 设二元函数f 在凸区域D 2 R ?上连续, 在D 的所有内点处可微. 则对D 内任意两点 int ) , ( , ),(+k b h a Q b a P D , 存在) 10 (

20、 ),(y x g 是正定的,? 顺序主子式全0 , ),(y x g 是半正定的,? 顺序主子式全 0 ; ),(y x g 是负定的,? 0|) 1(1-k ij k a , 其中k ij a 1|为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ? 0|) 1(1-k ij k a . ? ? ?c b b a 0 , 02-B AC A , 0 P ?为 ( 严格 ) 极小值点 ; 0 , 02- 0 2 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上, 有以下定理. Th 4 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数, 0P 是驻点. 则 ( ) 0)( , 0)(02 0-P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点; ( ) 0)( , 0)(02 0- ( ) 0)( 02 ( ) 0)(