基于集对分析下的粗糙集理论模型研究论文

1、基于集对分析的粗糙集理论模型研究摘要：粗糙集理论是处理模糊和不确定知识的一种新的数学工具。其主要思想是在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简推导出问题的决策分析或分类规则。用集合对分析理论的方法建立概率粗糙集理论模型是研究粗糙集模型的一种新方法，为处理不确定信息提供了一种新的途径和方法。本文采用概率粗糙集模型，然后介绍了集对分析理论，将两者结合起来，提出了一种新的集对分析下的粗糙集模型，并对模型的一些性质进行了讨论和研究。关键词：集合对，基对分析，粗糙集，概率粗糙集一。引入集合对分析的概念1.集合对概念集合对是由以某种方式相关的两个集合组成的基本单元。由于数学中指定集合的元素可以是人、事、物

2、、数和概念，例如：评价标准和评价对象、设计要求和对象、目标和现状、状态和趋势、现在和未来、已知与未知，确定与不确定，线性与非线性，简单与复杂，时间与空间，与两个学生，一对恋人，师生，领导与群众，工农，商人与医生，官员与公民，与生存与发展、投资与回报、改革与创新、规划与市场、与日地、月与星、火箭与飞船、物质与能源、信息与智能、机器与知识、科技、与积极和负数、实数和虚数、2 个数、2 条线、2 个图形、2 个方程、2 个函数，以及函数和图形、图形和方程、精确和近似解东西方、南北、好与坏、胜败、进退、盈亏、虚实等等，都可以看作是一定条件下的套对的例子。其实套对也是一种自然现象，比如我们的2只眼睛、2

3、只耳朵、2个鼻孔、2只手、2条腿，都可以看作是套对的例子。从数学的角度来看，集合的引入对于这个概念是必要的，并且可以为解决集合论中的悖论提供一种新的思维方式。例如，在集合论中有一个罗素悖论，也称为理发师悖论，这意味着村上有个理发师发布了一条服务公告，声称他为所有不自己剪头发的人剪头发.根据集合论，这些人可以形成集合A ，但这引出了一个问题，理发师自己的头应该由谁来剪？如果他不剪自己的头发，那么理发师属于A ，但是在这种情况下，理发师不能剪自己的头发，也就是不属于A ，那么，理发师的头发应该由谁剪呢？上述理发悖论是英国数学家、哲学家罗素（ Bertrand Russell， 1872-1970）

4、在1903年发现的，因此也被称为罗素悖论。（ Georg Cantor ，1845-1918）提出的集合论存在矛盾。这个矛盾是如此明显，以至于在构造一个普通集合时就存在于这个集合中，它震动了当时的数学界。正如法国著名数学家庞加莱（ Henri Poincare， 1854-1912）坦言，“我们围着一群羊，但一只狼也可能被一群羊围着”。借助集合对的概念，我们用一个确定的集合A和一个不确定的集合B来描述理发师想要同时服务的所有对象。例如，假设 Murakami 有100 人，包括理发师，这是我们的研究对象。其中，不能自己剪头发的有99人。确定属于理发师服务区（ A = 99 ） ；属于理发师的服

5、务区（ B =1） ，所以得到连接数A + Bi =99 + 1i 。这个连接数的集合对的含义显然是关于“所有不剪头发的人”的对象集合O。两个映射集A O （确定集）和B O （不确定集）的基数的“连接和” 。学习（描述和分析）某事所必需的2 套。反过来也表明，即使是一个简单的对象（事物）也应该由至少2 个集合来描述。例如，将某所学校的所有教师组成一个集合A似乎是一件简单的事，但有些教师也是学生（如博士生），具有双重身份。在这种情况下，只给一个老师设置A 比较困难，同时给一个学生设置 B 比较容易，因为虽然把在职教师放在B ，但是我们可以用AB 来表示有些人既是老师又是学生，但是这里的AB指的

6、是同一个对象，所以将 A 和 B 组合成一个集合对更自然。从这个例子可以看出，组成集合对的两个集合既可以是定集，也可以是不定集；或者两个集合都可以是定集合，或者两个集合都可以是不定集合。集合对一般用大写字母表示，如H、M等。为表示集合对H由集合A和集合B组成，记为H=(A,B) ；此外，集合对也有几何表示，比如用一个角度来表示集合对等等。以上主要参考资料集合对是集合对分析和关系数学中最基本的概念。2. 基对分析的概念2.1 简介集合对分析（SPA）由中国学者克勤于1989年正式提出，是用来研究两个集合之间关系的理论。用于分析和处理的确定性不确定性系统。在这个确定性的不确定性系统中，确定性和不确

7、定性是相互关联的，相互影响，相互制约，在一定条件下相互转化。不确定性，从而将对不确定性的辩证理解转化为数学工具。对集合对理论的初步研究表明，随机不确定性和模糊不确定性等不确定性问题可用于对集合对理论的新研究，具有重要的理论意义和广阔的应用前景。确定和表达连接程度联结度也常被称为同、差、逆或不定的联结度的表达，一般按以下思路确定。假设我们根据问题W的需要分析由集合 A和集合B 组成的集合对 H ，得到一共N个特征，其中S由集合对中的两个集合共享，这两个集合在另一个集合中。 P个特征是相互对立的，剩下的F =NSP个特征既不对立也不相同，所以在忽略各个特征权重的情况下，这个值称为：S/N为问题W下

8、集合A和集合B的同一度，缩写为同一度，缩写为a；F/N为问题W下集合A与集合B的差异度，简称差异度，简写为b；P/N是问题W下集合A和集合B的对立程度，简称对立程度，简称c。由于同一程度、差异程度、对立程度从不同侧面描述了两组之间的关系，为了全面描述两组之间的整体关系，公式(2-1)表达。式（2-1）中的i为差分系数，在-1, 1区间内取不同的值（有时i只起到标记的作用），式（2-1）中的j )是对立度的系数，指定为一个常数值-1 （有时j只起标记的作用），式（2-1）中的那个称为连接度，在general表示等式右边的公式，特别是case是一个数值，称为联系号码。通常，为简单起见，式（2-1）

9、简写为：其中， a、b、c中的三个满足归一化条件a+b+c=1。2.3 集合对分析的特点初步研究表明，集合对分析具有以下特点：全面性。在具体问题的背景下，集合对分析不仅分析了两个集合（或系统）的同一性，还分析了两个集合（或系统）的对立和差异。正因为如此，集合对分析通常被称为同差反分析方法。当然，这里的前提是对集合对（或系统）性质的分析必须充分展开。分析必须全面。定性与定量相结合。这主要是指集合对分析不仅需要对具体分析得到的特征进行分析、判断和分类，这两个集合是否相同、相反或不同，还要定量描述相似程度，差异和对立面。根据异同程度，对若干集合所代表的系统进行定性判断。在此期间，会推导和分析某些数学

10、运算。它是分析方法的综合集成。根据集合对的定义，集合对的具体内容可以是多种多样的，针对不同的问题背景，其具体分析方法可以是物理的、化学的、数学的、系统的、经验的等。集合对分析对异同和反面的分析和表征是在这些具体分析的基础上进行的再分析，所以从方法论的角度来看，集合对分析是一种综合的、综合的分析方法。将确定性分析和不确定性分析有机地结合起来。在集合对分析中，两个集合的同一性分析和同一性表征是比较确定的，相反的分析和相反的表征是比较确定的，但是两个集合的差异分析和差异表征是比较不确定的 是的，还是可以的进一步分析是相同还是相反。之所以这样处理，一方面是差异是客观事物相互联系和转化的普遍形式，是客观

11、存在的中介和超越；可能是彻底的反思。集对分析将确定性分析的结果和不确定性分析的结果统一为同-相似-逆联系度表达式，便于人们对实际系统进行辩证、定量、完整的分析研究。应用范围广。集对分析可直接用于系统的宏观分析，也可用于系统的微观分析；适用于简单系统的分析，也适用于复杂系统的分析等。下面，我们主要站在数学的角度，来看看集合对分析在数学中的深入理论和应用研究。集合与分析和模糊数学密切相关，但在基本概念、研究方法和实际应用方面存在明显差异。首先，隶属度是模糊数学的基石。在模糊数学中，确定元素是否属于指定集合的规则并不是严格唯一的。在集合对分析中，考虑了两个集合之间的关系问题。元素与指定集合的隶属关系

12、只是一种特殊情况。似乎只有联系度表达中的同一度，才能等同于模糊数学中的隶属度。 ，但两组同一度的计算规则是唯一的。当我们在特定问题背景下充分分析集合对中两个集合的特征时，这两个集合的同一性程度是唯一的。好的。其次，从集合对分析的角度，模糊数学从同一性的角度研究和衡量事物之间的关系，原则上不超越传统数学的思维领域；集合对分析是从同一性、差异性、对立性三个方面来研究和描述事物之间的联系。差异程度和对立程度对同一程度可以起到“得”或“罚”的作用，反映了两组的相异和对立关系的相互影响，而模糊数学中的隶属关系显然，上述情况是不存在的。第三，模糊数学主要研究系统的异同程度，而集对分析则主要研究系统的变换。

13、集合对分析的上述特点决定了这种系统的分析方法在自然科学和社会科学的各个方面都具有重要的应用价值。总之，集合对分析是分析方法的综合集成。集合对的具体内容可以是多种多样的。针对不同的问题背景，具体的分析方法可以是物理的、化学的、数学的、系统的、经验的等，集合分析的异同、表征是基于这些具体分析的再分析；另一方面，他将确定性分析和不确定性分析有机地结合起来。结合两组，两组的同一性分析和同一性评分相对确定，对立性分析和对立性评分相对确定，但差异分析和差异评分相对不确定。可以进一步分析是相同还是相反。这种分析方法便于人们对实际系统进行辩证、定量、完整的分析研究。二。几种Rough Set模型介绍2.1 粗

14、超集概念的提出集合（RS）理论是一种描述不完备性和不确定性的数学工具。知识，揭示基本规律。 RS理论由波兰学者Pawlak Z于1982年提出。 1991年Z Pawlak的专着 Rough Set-Theoretical Aspects of Reasoning about Data的出版标志着粗糙集理论及其应用研究的活跃时期。 1992年至今，每年举办一次RS国际会议，促进了RS理论的拓展和应用。国际上成立了粗糙集学术研究会，参与成员来自波兰、美国、加拿大、日本、挪威、俄罗斯、乌克兰和印度等国。1995年ACM通讯将粗糙集列为新兴研究计算机科学课题，涌现了大量关于粗糙集及其应用的学术论文和

15、研究报告；集合论研究的特刊。由于粗糙集理论在机器学习、决策分析、过程控制、模式识别和数据挖掘等领域的成功应用，获得了强大的生命力。粗糙集理论基于分类机制，将分类理解为特定空间内的等价关系，等价关系构成了空间的划分。粗略和理论上将知识理解为数据的划分，每个划分的集合称为一个概念。粗糙集理论的主要思想是利用已知知识库中的知识来描述不精确或不确定的知识。该理论与其他处理不确定和不精确问题的理论最显着的区别在于它不需要提供任何超出问题需要处理的数据集的先验信息，因此对问题不确定性的描述或处理可以说是相对客观的，由于该理论没有包括处理不精确或不确定的原始数据的机制，因此该理论与其他处理不确定或不精确问题

16、的理论如概率论、模糊数学、和证据论性。目前， RS理论已被称为人工智能领域较新的学术热点，引起了越来越多研究者的关注。粗略的理论模型也不断扩展并应用于更多领域。下面将从粗略和理论模型相关的几个主要方面来介绍它的发展和应用。2.2 粗糙集理论的基本概念称为论域的有限非空集U ， R是U 上的等价关系族，R将U划分为不相交的基本等价类的二元对以形成近似空间。设 X 为 U 的子集， a 为 U 中的一个对象， a R表示与 a 不可区分的所有对象的集合，即由 a 确定的等价类。宇宙U上的任何子集X ，X可能无法被知识库准确描述，即X可能是一个不可定义的集合，则使用X到A的一对下近似和上近似。将其描

17、述为“大约”，其定义如下：其中是x所在的R等价类。称为X的R的正场；它是X的 R 的负场；是 X 的R边界域，显然： 。 X相对于A的近似精度定义为，其中表示集合X 的基数。近似精度反映了基于现有知识对 X 的了解程度。 X相对于A的粗糙度定义为反映知识不完备程度的粗糙度。显然，如果近似精度为 1，则粗糙度为 0。2.3 Pawlak粗糙集模型的推广Pawlak粗糙集模型一直是粗糙集理论研究的主要方向。主要有两种方法（1）构造方法； (2)代数(公理)法。(1) 构造方法是基于原始的Pawlak粗糙集模型，其主要思想是从给定的近似空间研究粗糙集和近似算子。它以宇宙上的二元关系或布尔子代数为基本

18、元素，推导出粗糙集代数系统(2U,apr,apr) 。该方法研究的问题往往来自于实际，所建立的模型具有很强的应用价值，但其主要缺点是不容易深入理解近似算子的代数结构。经典粗糙集模型中包含三个基本元素：域U、U 上的二元等价关系R （构成近似空间）、近似描述的（经典）集合X ，也称为专家概念。由此看来，泛化的形式也有三个方向，即从话语领域、从关系方向（包括近似空间）和从集合方向。1）目前从语域的扩展主要是两个语域的情况，此时的二元关系成为两个语域的笛卡尔积的一个子集。对于将话语域扩展到多个域的情况，关于粗糙集理论的文献很少，随着维数的增加，这个讨论会变得更加复杂。2）关系方向的推广：一种是将全域

19、上的二元等价关系推广到任意二元关系，得到一般关系下的粗糙集模型；另一种是将对象x的等价类看作是x的一个邻域，从而推广和推导基于域算子的粗糙集模型；也有将关系推导出的除法推广为一般布尔代数，由此开始定义粗糙集和近似算子；更一般 有通过将普通关系摘要为模糊关系或模糊分区而获得的模糊粗糙集模型。3）集合和近似空间的泛化：这一类的泛化是结合其他处理不确定性、不精确性或模糊性的知识（概率论、模糊数学、信息论、证据论等）来研究的。当知识库中的知识是由于随机原因或统计而获得时，即知识库中的知识很可能是不确定的，很多学者提出了统计（或概率）粗糙集模型，变精度粗糙集模型实际上也可以归入此类模型，寻求风险最小化的

20、贝叶斯决策问题也可以转化为此类模型。这种类型的模型在用于数据分析的增量机器学习中具有重要应用。在目前所见的此类模型中，近似空间中的二元关系大多是等价关系。章还没看过。文修等人。提出了基于随机集的粗糙集模型作为一种尝试，它不仅是基于域算子的粗糙集模型的扩展，而且适用于二元宇宙的情况，也是统计粗糙集模型的推广。我们认为在统计粗糙集模型和变精度粗糙集模型中，逼近的本质是文修提出的包含度，因此我们认为粗糙集理论和包含度理论是密切相关的。当知识库中的知识模块都是清晰的概念，所描述的概念是模糊概念时，人们建立一个粗略的模糊集模型来解决这类问题的近似推理。在知识库中的知识模块也很模糊的情况下，一些学者提出了

21、模糊粗糙集模型并进行了摘要。知识库中的知识模块既是模糊知识，又是随机获得的，目前讨论较少，但在实际问题中肯定存在，值得继续研究。随着近年来对粗糙集理论的深入研究，经典的粗糙逼近算子得到了广泛的推广，主要是与其他不确定性概念或其他知识发现方法相结合，尤其是与模糊系统结合使用。接触仍然是研究的热点，这方面的成果也是最多的；另一方面，对不完备信息系统粗糙集模型的研究主要是对容差关系和相似关系的讨论；集合的泛化和泛化也是研究的主流。这方面的工作就是让粗糙集理论深入到实际问题的解决中，或者更多的领域。结合粗糙集理论找到交点，从而扩大粗糙集的应用。(2) 代数法又称公理法，有时也称为算子法。该方法不以二元

22、关系为基本元素，但其基本元素是一对满足某些公理的一元（集合）逼近算子。 L ,H: 2 U 2U ，即预先给出了粗代数系统(2U ,L,H)中的近似算子。这种方法的明显优点是可以深入理解近似算子，子子代数结构的缺点是适用性不够强。近似算子的某些公理保证了某些特殊类型的二元关系的存在，使它们能够通过构造方法产生给定的算子；反过来，通过构造方法从二元关系导出的近似算子必须满足某些公理，以便这些公理通过代数方法生成给定的二元关系。公理化方法的研究最初局限于Pawlak粗糙代数系统，即公理与二元等价关系的对应情况，后来逐渐发展到一般关系下的粗糙集系统。迄今为止，粗糙集理论对公理化方法的研究大多局限于经

23、典集的情况，虽然也有关于模糊集的情况的讨论，但很少。2.4 模糊粗糙集模型在Pawlak 粗糙集模型中，宇宙U上的任何经典集合A都可能无法被知识库(U, R)中的知识准确描述。近似来形容。但在现实生活中，人们所涉及的知识或概念往往是模糊和不确定的，即A是U上的一个模糊集。现在的问题是：如何用(U,R)中的知识来描述A ？针对此类问题提出了模糊粗糙集模型。令(U,R)为Pawlak逼近空间，即R是论域U上的等价关系。如果A是U上的模糊集，则A的一对下逼近和上逼近关于(U, R)定义为 U 上的一对模糊集，它们的隶属函数分别定义为其中 是关系R下元素的等价类。如果，则称A为可定义的，否则称A为模糊

24、粗糙集（Fuzzy rough set） 。称为A 关于 (U, R)的正场，称为A关于(U, R)的负场，称为A的边界。以后如果关系R比较清晰，我们就省略下标R。我们知道Pawlak逼近空间(U,R)中同一等价类的两个对象是不可区分的。从上面的定义中，我们可以看出和 中的同一个等价类的隶属函数是常数，这很直观。可以理解为对象确定属于模糊集A的隶属度；可以理解为模糊集A的隶属度。可以验证，当A是U上的经典集时，和退化为Pawlak意义下A相对于(U, R)的下近似和上近似，所以定义是Pawlak中的广义形式感觉。定义 1 给出的上近似满足以下（对偶）性质：(1) 。(2)(3)(4)(5)(6

25、)(7) 如果，则，并且。, A 和 B 是 U 上的模糊集，并且 A 和 B 被认为在模糊术语中大致等价。如果记录为;如果和，则称 A 和 B 是模糊和粗略相等的，记为。不难看出，对于 U 上的等价关系 R， ， ， ，都是U上的等价关系。 以后， 对于，和，我们都指在一定的等价关系 R 下。定理2 假设(U,R)是一个近似空间，则以下性质成立：(1)当且仅当, 且.(2)当且仅当和。(3) 如果, 并且, 那么(4) 如果, 并且, 那么(5) 如果, 并且, 那么(6) 如果, 并且, 那么(7) 如果, 或, 那么(8) 如果或，则(9)当且仅当。(10)当且仅当定理 3 设 (U,

26、R) 是一个近似空间， ，则(1)(2)三。概率粗糙集模型3.1 概率粗糙集模型的提出概率作为随机事件的量度，反映了不确定性，因此在不确定性推理中有着重要的应用。它从一开始就有两种理解：一种理解为信任程度，它反映了人们的经验和知识，通常称为主观概率；另一种理解为大量重复实验中随机事件的相对概率。频率，通常称为客观概率。即使是主观概率也能反映或符合一定的统计规律，也是客观的。因此，我们可以认为概率是不确定随机事件的客观反映。 Pawlak粗糙集模型基于确定性知识，即其近似空间是完全确定性的，因此忽略了可用信息和可能的统计信息的不完整性。如果我们仍然使用Pawlak粗糙集模型来处理随机生成的知识库

27、的数据分析等问题，并不能完全反映问题的本质。后来，概率粗糙集模型被提出，为用粗糙集理论研究不确定信息系统提供了一条可行的途径。3.2 概率粗糙集模型的定义定义3.2.1设U为由有限对象组成的宇宙域， R为 U 上的等价关系，由它构成的等价类为 U/R = ， X的等价类仍记为X ，设P定义在由U的子集类组成的代数上的概率测度，三元组称为概率逼近空间。 U 中的每个子集称为一个概念，它代表一个随机事件。 P(X|Y)表示事件 Y 发生时 X发生的条件概率，也可以解释为在概念Y的描述下，一个随机选择的对象属于 X 的概率。让, 对于任何, 我们根据参数概率 (I) 类型逼近和逼近来定义关于概率逼近

28、空间的X : ,X相对于参数的概率(I)型正场、边界和负场分别为显然， X根据参数构成了关于概率(I)型正场、边界和负场的话语宇宙U的划分。显然，在那个时候，或者在那个时候， X是关于参数的概率（I）型粗糙集。关于参数的X的概率(I)粗糙集是Pawlaw的广义形式。这个粗糙集模型使用条件概率来定义一个概率粗略逼近算子，它取决于两个参数。3.3 概率粗糙集模型的性质学者们对概率粗糙集模型进行了许多广泛的研究，总结了许多性质。定理3.3.1假设概率（I）型逼近算子满足以下性质：(1)(2)(3)(4)(5)(6) 如果那么(7) 如果由定理可知， (I)粗糙集的正场随着de的减小而增大，负场随着d

29、e的增大而增大，同时边界收缩。定理3.3.2假设对于任何(1)(2)定理3.3.3_ _可以看出，随着 (to )逐渐增大，(to )逐渐减小，边界逐渐缩小成为。定理3.3.4假设对于任何(1)(2)如果，则根据参数的粗糙度和近似精度分别定义为看到X 是关于概率逼近空间的参数定义当且仅当其逼近精度为 1 且其粗糙度为 0。定义3.3.2设U为有限宇宙， R为U上的二元等价关系， P为定义在由U个子集类组成的代数上的概率测度，三元有序群仍称为概率逼近空间。对于然后根据参数的近似空间X的概率（II）类型下近似和上近似被定义为如果 ，则称 X 是关于根据参数的近似空间可定义的概率（II）型，否则称

30、X 是概率（II）型不可定义或概率（II）型粗糙集。对于参数概率（II），粗糙集可以分为以下四类：(1) 如果说 X 是部分可定义的。(2) 如果说 X 是部分可定义的。(3) 如果说 X 是外部可定义的。(4) 如果说 X 是完全不可定义的。X的概率(II)型正场、负场和边界取决于参数相对于近似空间定义为X分别根据参数粗糙度和近似精度定义为从以上两个定义可以看出(II)的参数和概率粗略逼近算子的以下双重性质：3.3.5(1)(2)(3)(4)(5)(6) 如果那么(7) 如果注：取时间时，此时得到的粗略边界为绝对边界，即定理3.3.6假设对于任何(1)(2)定理3.3.7_ _定理3.3.8

31、假设对于任何(1)(2)四集对分析下的概率粗糙集模型4.1 集对分析下的概率（二）粗糙集模型工作定义了一个概率粗糙集模型。该模型使用条件概率来定义概率粗略逼近算子。这个近似算子取决于两个参数。用于从一侧定义近似值，用于定义近似值。但是在实际应用中，往往需要触及到这样一个问题：参数的选择或者使用是为了尽可能的有利于问题的求解或者优化，所以这个粗近似算子的定义是太严格。下面将另一种处理不完备系统的方法结合到这个逼近算子中，使粗糙集模型中的参数可以得到更精细的利用，从而使信息库中的不完备信息得到更多的利用。概率粗糙集模型在实际问题中的应用更加完善。定义4.1.1令(U, A)是一个不完全信息系统，其

32、中U是一个非空的话语域， A是一个非空的有限属性集。将 x 的字段定义为：这里注意：表示属性集D下所有与x类似的对象。特别是 when被缩写为一个叫做 x 的字段。定义4.1.2集是一个信息系统，P是在U的子集类形成的代数上定义的概率测度，定义集对分析下概率(I)型粗糙集模型的下近似和上近似如下：如果 ，则称 X 是关于根据参数的近似空间可定义的概率（II）型，否则称X是概率（II）型不可定义或概率（II）型粗糙集。对于参数概率（II），粗糙集可以分为以下四类：(1) 如果说 X 是部分可定义的。(2) 如果说 X 是部分可定义的。(3) 如果说 X 是外部可定义的。(4) 如果说 X 是完全

33、不可定义的。X在概率逼近空间上的概率(II)型正域、负域和边界定义为X分别根据参数粗糙度和近似精度定义为从以上两个定义可以看出五。集对分析中概率(II)粗糙集模型的性质接下来考虑基于集合对分析的概率粗糙集模型与Pawlak经典粗糙集模型的关系，以及文献中的粗糙集模型假设定理 5.1 是一个信息系统。对于，若表示Pawlak上下近似，则表示域集对的上下近似，表示概率（II）粗糙集模型的上下近似，表示上、下近似根据参数域的类型的近似值。下一个近似值，然后：(1) 当时，(2) 什么时候是一个完整的信息系统，什么时候，(3) 什么时候是一个完整的信息系统，什么时候，证明：这里只给出下近似的证明，上近

34、似类似。(1)因此，当时文献15的结论可以得到证明；(2) 什么时候是一个完整的信息系统，什么时候，可以从文献中得出结论：这转化为一个概率粗糙集模型；(3) 什么时候是一个完整的信息系统，什么时候，可以从(2)中得到：这转化为一个经典的粗糙集模型。该定理表明，基于集合对分析的概率（II）粗糙集模型确实是Pawlak的经典粗糙集模型，也是文献中粗糙集模型的推广。和概率粗略逼近算子具有以下双重性质：(1)(2)(3)(4)(5)(6) 如果那么(7) 如果证明：上述性质可以用定义证明。下面我们给出下近似的相关性质的证明，与上近似类似。有不平等。(1) 假设使得。这与已知的相矛盾，因此与结果相矛盾。

35、(2)(3)因此，同样可以证明。(4)和，因此，同时因此。(5)或者, 所以并且同时因此。(6) 因为有所以，所以， 。(7) ,可由 , 得到,因此,证明完成。定理 5.3 假设对于任何(1)(2)证明： (1) 当时，根据我们所知道的定义由定理可知，它随着的减少而增加，所以有则有，有则矛盾！这意味着，因此，结论（1）成立(2)可从因此，从单调递减的性质如果存在，则 for but then , but, ，从定理 可知，这是矛盾的！因此，结论(2)成立。定理 5.4 假设证明：显然， ，且当单调递减趋于单调递增时，由定理可知，它是单调递减的，所以.如果，那么对于任何，是的，但是。因此，由定

36、理，由定理，所以我们得到，这与假设相矛盾！定理被证明。定理 5.5 假设对于任何(1)(2)证明：（1）此时，定理所知道的和定理所知道的随着de的增加而减少，所以如果它存在，那么对于任何有，但是，即，这是矛盾的，因为，它意味着，因此，结论（1）成立。(2)由和定理可知，因此由单调递减的关系可知，如果存在，但对于，则，从定理，这是矛盾的！因此，结论(2)成立。六，结论粗糙集理论是一种用于表征数据挖掘中的不完整性和不确定性的数学工具。风险预测等诸多领域得到广泛应用。不完全信息系统的扩展方法也很多，如基于容差关系的扩展、基于相似关系的扩展等。本文引入了集对分析的概念，提出了一种基于集对分析的概率粗糙

37、集模型，并对经典粗糙集模型进行了推广。本文还有一些问题有待进一步探讨和讨论。参考1 克勤：集对分析及其初步应用M ，科技， 2000 ；2克勤，二进制连接数的理论基础和基本算法及其在人工智能中的应用J，智能系统学报， 2008，3 ( 6 ) ： 476-486 ；3克勤，接触数学原理与应用J ，工程学院学报， 2009 （ 2 ）： 107-110 ） 4 Beaubouf T. Petry F, Arora G. 粗糙集和粗糙关系数据库不确定性的信息论测量。信息科学，1998，109：185-195。 5 Chan C CA 数据挖掘中属性泛化的粗糙集方法。信息科学杂志，1998，107：

38、169-176。6 Lingras PJ, Yao Y Y. 使用粗糙集模型扩展的数据挖掘。美国信息科学学会杂志，1998，49（5）：415-422。 7 Mc Sherry D. 通过检查发现知识。决策支持系统，1997，21：43-47。 8 文修，吴伟志粗糙集理论介绍与研究综述。模糊系统与数学，2000，14：1-12。9 姚洋，林格拉斯 P. 粗糙集理论中信念函数的解释。信息科学，1998，104：81-106。10 Yao YY，Lin T Y. 使用模态逻辑对粗糙集进行摘要。智能自动化和软计算，1996，2：103-120。11 吴伟志，张文修。邻域算子系统和近似。信息科学，20

39、02，144：201-217。12 Yao Y Y. 邻域算子和粗糙集近似的关系解释。信息科学，1998，111：239-259。13 Dubois D, Prade H. 粗糙模糊集和模糊粗糙集。诠释。 J. General Systems, 1990, 17: 14 Bodjanova S. 决策中模糊概念的近似。模糊集和系统，1997，85：23-29。15 文修，吴伟志基于随机集的粗糙集模型。交通大学学报, 2000, 34(12): 15-19. 16姚莹莹.粗糙集理论的构造和代数方法。信息科学，1998，109：21-47。17 文修，吴志伟，梁继业，德玉。粗糙集理论与方法。 :

40、科学，200118 黄兵，钟斌，周献忠。改进的集对粗糙集模型。计算机工程与应用, 2004, 40(2): 82-8419 富春基于集对分析的变精度粗糙集模型。计算机工程与应用, 2005, 41(10): 74-76回答时光荏苒，时光如箭，转眼间，四年的大学生活就要结束了。很高兴借此机会在这里表达我的感激之情。我觉得和学校老师的培养让我在学习和生活上受益匪浅。在写这篇论文的过程中，老师给了我很多的帮助和支持，从选题开始，到资料收集，到论文初稿、二稿、终稿。我的论文也凝聚了他的智慧和汗水。老师孜孜不倦地给了我很多宝贵的意见和建议，让我在完成论文的过程中及时修改和完善，让我更好地按照要求完成论文

41、。感谢我的同学谭家红、于海月、王爱萍在平时的学习和生活中给予我的帮助。在大家的支持和监督下，我的论文可以比较顺利地完成。在此，我要向他们表示诚挚的谢意。最后，我觉得数学与计算机学院和西北民族大学培养了我四年！毕业设计（论文）原创性声明及使用说明授权书原创性声明我再次承诺：我提交的毕业设计（论文）是我在导师指导下开展的研究工作和成果。据我所知，除文中特别注明和注明外，不包含其他人或组织已发表或发表的研究成果，也不包含我为获得学位而使用的材料或 其他 教育 机构 的 资格 .对本研究提供帮助和贡献的个人或集体已在文中明确表达并表达了他们的意图。作者签名： 日期：讲师签名： 日期：使用授权说明本人完全了解学校对毕业设计（论文）的收集、保存和使用的规定，即：按学校要求提交毕业设计（论文）的印刷版和电子版；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷版和电子版。编辑，并提供目录检索和阅读服务；学校可使用影印、小型化、数码或其他复制方式保存文件；在不盈利的前提下