2021-2022学年湖南省衡阳市 衡东县石滩中学高三数学理上学期期末试题含解析

1、2021-2022学年湖南省衡阳市 衡东县石滩中学高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ A ）A B C D参考答案：2. 已知，则（ ）A B C D参考答案：D3. 已知的取值如下表所示01342.24.34.86.7从散点图分析与的线性关系，且，则（ ）A. 2.2 B. 2.6 C.3.36 D.1.95 参考答案：B计算，又由公式得，选B4. 已知数列依据此规律，可以判断这个数列的第2012项满足（ ）A. B. C.

2、D. 参考答案：A5. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则这个三角形必含有（）A90的内角B60的内角C45的内角D30的内角参考答案：B【考点】正弦定理【分析】先把已知条件等号左边的分子分母利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，分子分母都乘以cosAcosB后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，右边利用正弦定理化简后，根据三角形的内角和定理及诱导公式，得到2cosA=1，然后在等号两边都乘以sinA后，利用二倍角的正弦函数公式及诱导公式化简后，即可得到2A=B+C，由A+B+C=180，即可解得：A=60【解答】解： =，因为sin（A+B）=sin（C）=sinC，

3、得到sin（AB）=sinCsinB，即sinB=sin（A+B）sin（AB）=2cosAsinB，得到2cosA=1，即2sinAcosA=sinA，即sin2A=sinA=sin（B+C），由2A+B+C，得到2A=B+C，因为A+B+C=180所以可解得：A=60故选：B【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和与差的正弦函数公式以及诱导公式化简求值，属于中档题6. 设函数f（x）的定义域是R，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f （x）ln xx，则有 （ ） A B C D参考答案：A略7. 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且

4、，则的值是（）ABCD0参考答案：A【考点】向量在几何中的应用；直线和圆的方程的应用【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定AOB的大小，即可求得 ?的值【解答】解：取AB的中点C，连接OC，则AC=，OA=1sin =sinAOC=所以：AOB=120 则 ?=11cos120=故选A8. 已知集合A=x|x=2n，nN*，B=x|x=2n，nN*，则下列不正确的是（）AA?BBAB=ACB（?zA）=DAB=B参考答案：C【考点】交集及其运算【分析】由已知得A?B，AB=A，AB=B，B（?zA）=6，10，12，14，【解答】解：集合A=x|x=2n，nN*=2，4，8，16

5、，2n，B=x|x=2n，nN*=2，4，6，8，2n，A?B，AB=A，AB=B，B（?zA）=6，10，12，14，故A，B，D均正确，C错误故选：C9. 可导函数的导函数为，且满足：；，记， ，则的大小顺序为 （）A、B、C、D、参考答案：C略10. 执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填（A） （B） （C） （D）参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设等差数列的公差是2，前项的和为则.参考答案：答案：3解析：根据题意知代入极限式得12. 已知分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，则_.参考答案：略13. 已知O为的边BC的中点，

6、过点O的直线交直线AB、AC分别于点M、N，若，则的值为_参考答案：2略14. 已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为 参考答案：【知识点】三角函数的定义；两角和与差的三角函数. C1 C5【答案解析】 解析：设则,所以=，所以的最大值为.【思路点拨】利用以原点为圆心的圆上点的坐标，与过此点的半径所在射线的和x轴的正半轴所成的角的关系，得关于的函数，求此函数的最大值即可.15. 设函数则 参考答案：答案：解析：。16. 直线与曲线的交点为，过点作轴的垂线，这条垂线与曲线的交点为，则线段的长度为 参考答案：17. 已知数列的通项公式为，数列的通项

7、公式为，设，若在数列中，则实数的取值范围是 参考答案：（12,17）三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，已知， ，.（）求证：；（）设 ()，且平面与所成的锐二面角的大小为，试求的值.参考答案：【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定 G12 G5 （）略（）1（）因为侧面,侧面，故,在中, 由余弦定理得：，所以， 故,所以,而，平面（）由（）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则.所以,所以, 则，. 设平面的法向量为，则,，令，则，是平面的一个法向量. 平面,

8、是平面的一个法向量，.两边平方并化简得，所以或（舍去）【思路点拨】（）由已知条件推导出ABBC1，BCBC1，由此能证明C1B平面ABC（）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出的值19. 已知函数f（x）=x22alnx（aR），g（x）=2ax（1）求函数f（x）的极值；（2）若a0，函数h（x）=f（x）g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；（3）若0a1，对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数

9、的极值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值问题；（2）求出h（x）的导数，求出h（x）的单调区间，求出极小值，得到函数m（x）=2lnx+x1，根据函数的单调性求出a的值即可；（3）问题转化为h（x）在1，2递增，求出函数的导数，分离参数得到a在1，2恒成立，令t=x+12，3，从而求出a的范围即可【解答】解：（1）f（x）=，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，f（x）无极值，当a0时，x（0，）时，f（x）0，f（x）递减，x（，+）时，f（x）0，f（x）递增，f（x）有极小值f（）=aalna，综上：a0时，f（x）无极值，

10、a0时，f（x）极小值=aalna，无极大值；（2）令h（x）=x22alnx2ax，则h（x）=，a0，令h（x）=0，解得x0=，h（x）在（0，）递减，在（，+）递增，h（x）在x0处取得极小值h（x0）=0，2alnx02ax0=0且22ax02a=0，联立可得：2lnx0+x01=0，令m（x）=2lnx+x1得m（x）=+10，故m（x）在（0，+）递增又m（1）=0，x0=1，即=1，解得：a=；（3）不妨令1x1x22，则由（1）得f（x1）f（x2）|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）?f（x2）f（x1）g（x2）g（x1）?f（x2）g（x2）f（x1）g（x1）

11、，则h（x）在1，2递增，h（x）=0在1，2恒成立，即2x22ax2a0在1，2恒成立，a在1，2恒成立，令t=x+12，3，则=t+2，0a，a的范围是（0，20. （本小题满分14分）已知实数函数（为自然对数的底数）（)求函数的单调区间及最小值；（）若对任意的恒成立，求实数的值；（）证明：参考答案：（I）当， 由， 得单调增区间为；由，得单调减区间为 ， 2分 由上可知 4分（II）若对恒成立，即， 由（I）知问题可转化为对恒成立 6分 令 ， ，在上单调递增，在上单调递减，即 ， 8分 由图象与轴有唯一公共点,知所求的值为1 9分（III）证明：由（II）知， 则在上恒成立 又， 11分 12分 14分21. 已知函数，其中（1）当时，求函数在0,5上的值域； （2）若函数在1,2上的最小值为3，求实数k的取值范围 参考答案：解：（1）当 时，令得，列表：x0(0,1)1(1,3)3(3,5) 5+00+1极大值5极小值121 由上表知，函数的值域为1,216分（2）， 当时，函数在区间1,2单调递增，所以，即（舍）8分 当时，函数在区间1,2单调递减，所以，符合题意10分 当时,当时