专题08 立体几何3种角度14种归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

1、 专题08 立体几何3种角度14种归类 目录TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc29376 一、热点题型归纳1 HYPERLINK l _Toc17993 【题型一】 异面直线所成的角1：平移直线法（中位线平移法）2 HYPERLINK l _Toc26924 【题型二】 异面直线所成的角2：平行四边形、梯形法5 HYPERLINK l _Toc12217 【题型三】 异面直线所成的角3：垂直7 HYPERLINK l _Toc30563 【题型四】 异面直线俗称的角的范围与最值（难点）9 HYPERLINK l _Toc30563 【题型五】 异面直线所成的角：综合1

2、3 HYPERLINK l _Toc30563 【题型六】 直线和平面所成的角1：垂线法16 HYPERLINK l _Toc30563 【题型七】 直线和平面所成的角2：垂面法18 HYPERLINK l _Toc30563 【题型八】 直线和平面所成的角3：体积法（距离法）20 HYPERLINK l _Toc30563 【题型九】 线面角中的范围与最值22 HYPERLINK l _Toc30563 【题型十】 线面角：综合24 HYPERLINK l _Toc30563 【题型十一】 定义法求二面角的平面角26 HYPERLINK l _Toc30563 【题型十二】 二面角内的角度2

3、8 HYPERLINK l _Toc30563 【题型十三】 二面角内的距离32 HYPERLINK l _Toc30563 【题型十四】 综合角度：比大小（难点）34 HYPERLINK l _Toc21895 二、最新模考题组练38综述：一、异面直线所成的角：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时

4、，应取它的补角作为两条异面直线所成的角二、直线和平面所成的角求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）通过建系，利用坐标系向量求解：直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，），三、二面角的平面角作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角（1）利用

5、面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.【题型一】异面直线所成的角1： 平移直线法（中位线） 【例1】如图已知A是所在平面外一点，E、F分别是AB、CD的中点，若异面直线AD与BC所成角的大小为，AD与EF所成角的大小为_【答案】或【分析】利用异面直线夹角的定义知或其补角是异面直线AD与BC所成角，或其补角是异面

6、直线AD与EF所成角，结合三角形内角和即可得解.【详解】取AC中点G，连接分别是的中点，或其补角是异面直线AD与BC所成角，或其补角是异面直线AD与EF所成角又，为等腰三角形，若，则若，则所以异面直线AD与EF所成角的大小为或故答案为：或【例2】如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【分析】连接、交于点，连接，说明异面直线与所成的角为或其补角，计算出、，即可求得，即可得出结论.【详解】连接、交于点，连接，因为四边形为菱形，则为的中点，且，因为为的中点，则，所以，异面直线与所成的角为或其补角，平面，平面，平面，平面，设，因为，则为

7、等边三角形，同理可知也为等边三角形，同理可得，所以，.因此，异面直线与所成的角的余弦值为.故选：D.【例3】空间四边形ABCD的对角线，M，N分别为AB，CD的中点，则异面直线AC和BD所成的角等于（）A30B60C90D120【答案】B【分析】取BC的中点P，连接MP，NP，故或其补角即为异面直线AC和BD所成的角，利用余弦定理可求其大小.【详解】取BC的中点P，连接MP，NP，则且，且故或其补角即为异面直线AC和BD所成的角.由余弦定理可知，而为三角形内角，故，故异面直线AC和BD所成的角为故选：B【例4】在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 ABC

8、D中，AB平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角为（）A30B45C60D90【答案】C【分析】由已知画出图形，找出异面直线与所成角，求解三角形得答案【详解】解：如图，分别取、的中点、，连接、，、，可得，则异面直线与所成角即为（或其补角），设，又平面，则，则为等边三角形，可得，即异面直线与所成角为故选：【题型二】异面直线所成的角2：平行四边形、梯形等 【例1】已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则异面直线CD与PB所成的角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据平行关系得到PBE是是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角），再根据余弦

9、定理求解即可.【详解】解：设AB1，则PA2，AE，PE，BE2，PBCD与BE平行，PBE是是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角），直线CD与PB所成的角的余弦值为：，故选：C【例2】已知圆柱的母线长为，底面的半径为，四边形为其轴截面，若点为上底面圆弧的中点，则异面直线与所成的角为（）ABCD【答案】D【分析】根据可确定所求角为或其补角；由长度关系可求得为等边三角形，由此可得所求角.【详解】连接，与所成角即为或其补角，为圆弧的中点，又，又，为等边三角形，；与所成角为.故选：D.【例3】如图，在正方体中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角等于（）ABCD【答案】B【分析】利用异面直线夹角

10、的定义，将平移至(为中点)，通过为正三角形求解【详解】解：取中点连接，则，与所成的角等于与所成的角容易知道为正三角形，与所成的角等于故选：B【例4】正方体中，已知为的中点，那么异面直线与AE所成的角等于（）ABCD【答案】B【分析】作出异面直线与AE所成的角，结合余弦定理求得正确答案.【详解】设正方体的边长为，连接，根据正方体的性质可知，所以是异面直线与AE所成的角，所以，由于，所以.所以异面直线与AE所成的角为.故选：B【题型三】异面直线所成的角3：垂直 【例1】如图，在三棱柱中，那么异面直线与所成的角为ABCD【答案】D【分析】取的中点 ，连接，然后证明平面，即可得到答案【详解】取的中点

11、，连接 ,为的中点， 又 ,为等边三角形。又平面 , 平面平面 ,又平面 ,即异面直线与所成的角为。故选：D【例2】在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和DD1的中点，则异面直线和B1M所成的角为（）A30B45C90D60【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，然后再求解即可.【详解】过点作交于，交于，易知,所以，而，所以，故，所以异面直线和B1M所成的角为. 故选：C【例3】菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，P是菱形所在平面外一点，平面ABCD，则异面直线AC与PD所成角大小为_【答案】#【分析】根据给定条件，利用线

12、面垂直的性质、判定进行推理即可作答.【详解】菱形中，因平面，平面，则有，平面，因此，平面，又平面，从而有，所以异面直线AC与PD所成角为.故答案为：【例4】若异面直线a，b所成的角为，且直线，则异面直线b，c所成角的范围是_【答案】【分析】通过作平行线，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，再构造直角三角形可求出结果.【详解】过作，作直线的垂面，设，如图：则，在内过作，因为，则，则，当直线与重合时，与所成的角最小为，当直线与垂直时，与所成的角最大为，当直线从位置绕旋转到与垂直时，直线与所成的角逐渐增大，所以异面直线b，c所成角的范围是.故答案为：.【题型四】 异面直线所成角的范围与最值（难

13、点）【例1】如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（ ）A当时，随着的增大而增大B当时，随着的增大而减小C当时，随着的增大而减小D当时，随着的增大而增大【答案】D【分析】分和两种情况，分别过作的平行线，可得直线与所作的平行线成的角即为角可得答案.【详解】当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即，设正四面体的棱长为3，则，可求得，所以在中，有，令，则，时，有正有负，函数有增有减，所以故A与B错误；当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即.同样设正四面体的棱长为3，则，可求得，,在中，有，所以，即，所以在中，有，令，

14、则，所以在定义域内单调递减，即增大，减小，即减小，从而增大，故D正确，C错误.故选：D.【例2】已知菱形，为边上的点（不包括），将沿对角线翻折，在翻折过程中，记直线与所成角的最小值为，最大值为（ ）A均与位置有关B与位置有关，与位置无关C与位置无关，与位置有关D均与位置无关【答案】C【分析】数形结合，作/，利用线面垂直得到，然后找到异面直线所成角，并表示，通过讨论点位置得到结果.【详解】作/交于点，分别取的中点连接，如图，由翻折前该四边形为菱形，且，所以为等边三角形同时点在上，由平面所以平面,又/，所以平面，所以直线与所成角即直线与所成角，该角为所以,由点不与重合，所以当点翻折到与点重合时，最

15、小，为最小与点位置无关；当没有翻折时，最大，最大，则最大，与点位置有关故选：C【例3】在正方体中，已知分别为的中点，P为平面内任一点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】首先判断出角取得最小值时，即为直线与平面所成的角，可知角为与平面所成的角，利用三角函数值计算余弦值.【详解】若取得最大值，则取得最小值，因为P为平面内任一点，由直线与平面所成角的定义可知，直线与平面所成的角为直线与平面内的所有直线所成角的最小角，所以的最小值为与平面所成的角，如图所示，为中点，可知即为在平面内的射影，设正方体的边长为2，则可得，所以，从而得到.故选：C.【例4】已知圆柱的底面半径

16、和母线长均为1，A，B分别为圆、圆上的点，若，则异面直线，所成的角为（）ABCD【答案】B【分析】做平行线，将所求的异面直线夹角转化为同一平面内的直线夹角，构造三角形即可求解.【详解】如上图，过点A做平面 的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB，平面， ，所以四边形是平行四边形， ，与的所成的角就是或其补角； 由题意可知AB=2，AD=1，在 中， ，在等腰 中，由余弦定理 ， ，由于异面直线的夹角范围是 ，故取 的补角，故选：B.【题型五】 异面直线所成角：综合【例1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为，则这样的直线l（）A不存

17、在 B2条 C4条D无数条【答案】C【分析】连接，由此求出直线BA1和B1D1所成角，把问题转化为过点B做直线与直线BA1和BD所成的角均为，让绕着点B从的平分线AO开始在过直线AO并与平面垂直的平面内转动时观察是否存在，再在的邻补角中同理去观察即可得解.【详解】在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接，如图，则有，显然，即直线BA1和B1D1所成角，过点C做直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为可以转化为过点B做直线与直线BA1和BD所成的角均为，的平分线AO与直线BA1和BD都成的角，让绕着点B从AO开始在过直线AO并与平面垂直的平面内转动时，在转动到平面的过程中，直线与直线BA1和BD

18、所成的角均相等，角大小从到，由于直线的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA1和BD所成的角均为，又的邻补角大小为，其角平分线与直线BA1和BD都成的角，当直线绕着点B从的邻补角的平分线开始在过该平分线并与平面垂直的平面内转动时，在转动到平面的过程中，直线与直线BA1和BD所成的角均相等，角大小从到，由于直线的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA1和BD所成的角均为，综上得，这样的直线有4条，所以过点C与直线BA1和B1D1所成的角均为的直线l有4条.故选：C【例2】在正方体的所有面对角线中，所在直线与直线互为异面直线且所成角为的面对角线的条数为（）A2B4C6D8【答案】B【分析】

19、作图，直接观察可得.【详解】如图，易知为等边三角形，所以，又，所以异面直线与的夹角为，符合题设.同理，面对角线，也满足题意，所以满足条件的面对角线共4条，故选：B【例3】是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）问质点走完的第2021段与第1段所在的直线所成的角是（）A0B30C60D90【答案】A【分析】由质点的运动规则，可得质点走过4段后，又回到起点，可以看作以4为周期，由于，则质点走完的第2020段恰好回到起点，即可得解；【详解】解：依题意可得质点运行路线为，或，

20、或，或，或，或，即走过4段后又回到起点，可以看作以4为周期，不妨令第1段走且按照，则第5段一定是，若为（），此时与第3段共线，矛盾；，则质点走完的第2020段恰好回到起点，则第段只能是，即第段为，此时与第段重合，此时两直线所成角为；质点走完的第段与第1段所在的直线所成的角是故选：A【例4】已知异面直线a、b所成角为，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成角都是的直线有且仅有（）条A2B3C4D6【答案】B【分析】在空间取一点，经过点P分别作，分析直线满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案.【详解】在空间取一点，经过点P分别作，设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与

21、所成的角等于与所成的角，因为直线a、b所成角为，得所成锐角为，所以当直线的射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是，这种情况下，过P点有2条直线与a、b所成角都是；当直线的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是，这种情况下，过P点有且仅有1条直线（即时）与a、b所成角都是；综上所述，过P点且与a、b所成角都是的直线有3条.故选：B.【题型六】 直线和平面所成的角1：垂线法【例1】在空间，若，直线与平面所成的角为，则（）ABCD【答案】A【分析】取上一点，作平面于，连接，为直线与平面所成的角，分别作，交于点，交于点，由已知得为等腰直角三角形，由此能求出直线与平面所成的角的余弦值【详解】

22、解：如图，取上一点，过点作平面于，连接，则为直线与平面所成的角，分别作，交于点，交于点，连接、，得，因为，所以，所以，所以，则为的角平分线，由，可得，则，所以为等腰直角三角形，令，则，所以，即故选：A【例2】正四面体中，直线与平面所成的角的正弦值是（）ABCD【答案】A【分析】在正四面体中，作平面，连接，由是直线与平面所成的角求解.【详解】如图所示：在正四面体中，作平面，连接，则是直线与平面所成的角，设棱长为，则，所以，则，故选：A【例3】如图，已知正方体，直线与平面所成的角为（）ABCD【答案】A【分析】连接交于点，连接，证明平面，可得即为直线与平面所成的角或补角，不妨设正方体的棱长为2，在

23、中，求得即可得解.【详解】解：连接交于点，连接，在正方体中，平面，平面，所以，又，所以平面，所以即为直线与平面所成的角或补角，又平面，所以，设正方体的棱长为2，在中，所以，所以即直线与平面所成的角为.故选：A.【例4】已知正四棱柱，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（）ABCD【答案】D【分析】分别在正四棱柱中找到和，将和放在同一个平面图形中找关系即可.【详解】作正四棱柱如下图：在正四棱柱中，平面， 底面是正方形又平面是直线与平面所成的角，即是直线与直线所成的角，即，平面故选：D【题型七】直线和平面所成 的角2：垂面法【例1】如图，在三棱锥中，平面平面，则直线与平面所成的角是（）

24、ABCD【答案】B【分析】取的中点为，连接，由条件可得平面，然后可得直线与平面所成的角是，然后求出即可.【详解】取的中点为，连接因为，所以因为平面平面，平面平面，平面所以平面所以直线与平面所成的角是因为，所以故选：B【例2】正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则直线与平面所成的角为（）ABCD【答案】B【分析】取的中点，连接、，则平面，即可得即为直线与平面所成的角，在直角中，利用勾股定理求出边长，即可求解.【详解】如图，取的中点，连接、，因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，因为平面，则平面平面，如图，取的中点，连接、， 因为是等边三角形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面

25、，所以即为直线与平面所成的角，在直角中， ， 所以，所以，故选：B【例3】如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，则直线与平面所成的角为_【答案】【分析】首先利用，将与平面所成角转化为与平面所成角，再利用垂直关系，作出线面角，即可计算结果.【详解】取中点为D，连接AD，侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，三棱柱是正三棱柱，与平面所成角即是与平面所成角，中点为D，又，AD、平面，平面，平面，平面平面，过点作AD的垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线垂直于平面，与平面所成角为，在中，与平面所成角为故答案为：【例4】已知四棱锥底面是边长为2的正方形，平面，且，则直线与平面所成的角大小为_【

26、答案】【分析】还原棱锥为正方体ABCDPB1C1D1，作BFCB1于F，连接PF，则BPF就是直线PB与平面PCD所成的角，由此能求出直线PB与平面PCD所成的角的大小【详解】还原棱锥为正方体ABCDPB1C1D1，作BFCB1于F，平面PB1C1D1平面B1BCC1，BF平面PB1CD，连接PF，则BPF就是直线PB与平面PCD所成的角BFa，PB，sinBPF，BPF30直线PB与平面PCD所成的角为30故答案为30【题型八】直线和平面所成 的角3：体积法(距离法） 【例1】如图，在直三棱柱中，为的中点，则直线与平面所成的角为（）A15B30C45D60【答案】B【分析】设点到平面的距离为

27、，通过等体积法求得，再求线面角的正弦即可得解.【详解】如图所示：不妨设，由余弦定理可得,，所以.，设点到平面的距离为，则，解得，所以直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角为30.故选：B.【例2】在正方体中，直线与平面所成的角的余弦值等于ABCD【答案】B【详解】设正方体的棱长为到面的距离，故选B. 【例3】已知长方体中，则直线与平面所成的角为_. 【答案】【分析】根据等体积法求出点到平面的距离，在直角三角中利用“对边比斜边”即可求解.【详解】设到平面的距离为，在长方体中，则， 在中，由余弦定理，所以 所以 因为，即，解得 设直线与平面所成的角为，则 所以. 故答案为：【例4】直线与

28、平面所成的角为，且是直线上两点，线段在平面内的射影长为3，则_.【答案】【分析】根据线面角的定义可得答案.【详解】解：如图所示，过点B作面于点C，则，故答案为：.【题型九】线面角中的范围与最值 【例1】在正方体中，点为线段的中点，设点在直线上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是ABCD【答案】A【分析】首先根据图像找到直线与平面的夹角范围，再计算对应正弦值得到答案.【详解】由题意可得：直线OP于平面所成的角 的取值范围： 不妨取 .在中， . 的取值范围是 .故答案为.【例2】若直线与平面所成的角为，直线在平面内，则直线与直线所成的角的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】根据线面角的定义

29、可知直线与直线所成的角的最小值，根据异面直线所成的角的定义知最大角为直角，从而可得答案【详解】解：由题意可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以直线与直线所成的角的最小值为，因为直线与直线所成的角的最大值为，所以直线与直线所成的角的取值范围是，故选：C【例3】在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】连接相交于点，由平面，得是直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，设，则，所以，由的范围可得答案.【详解】如图，正方体中，连接相交于点，则是的中点，且平面，连接，则是直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，设，所以，所以，因

30、为，所以，所以，即.故选：D.【例4】直线与平面所成的角为，则直线与平面内直线所成角的最小值是_【答案】3#60【分析】根据题意可知线面角为，再证明线面角是直线与平面内直线所成角中最小的角，即可求解.【详解】设直线与平面相交于点，直线上任一点在平面内的射影为点，连接，则即为直线与平面所成的角，所以，下面证明直线与平面内直线所成角中，是最小的角，设为平面内任意一条直线，如图：过点作于点，连接，因为面，面，所以 ，所以面，又因为面，所以，因为，所以，所以，因为在上为减函数，所以，即直线与平面内直线所成角中线面角最小，所以直线与平面内直线所成角的最小值是.故答案为：.【题型十】线面角：综合【例1】如

31、图所示，在正方体中，直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则_【答案】【详解】由题得：设AC与BD交于点O，连接,则,又可知,所以，过点O做OH 垂直BC交BC于H，连接,所以,所以【例2】直线与平面所成的角是45，若直线在内的射影与内的直线所成的角是45，则与所成的角是（）A30B45C60D90【答案】C【分析】作出图形，根据图形分析，构造三角形，利用余弦定理求角.【详解】如图，在平面内，过上一点作，垂足为，则直线即为在内的射影，设，则，过作，由题可知，则，在中，是与所成的角，在中，.故选：C.【例3】若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成角的取值范围是

32、（）ABCD【答案】D【分析】根据线面角的定义可知与直线所成的角的最小值，根据异面直线所成角的定义知最大角为直角.【详解】由题可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以与直线所成的角的最小值为，又为异面直线，则直线与所成角的最大值为.故直线与直线所成角的取值范围是，故选：D【例4】如图，在长方体中，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则_.【答案】【详解】过点作于，连接，如图所示则为直线与平面所成的角直线与平面所成的角为，故答案为【题型十一】定义法求二面角的平面角 【例1】自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A相等B互补C互余D相等或互

33、补【答案】D【分析】作出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A为二面角l内任意一点，AB，AC，过B作BDl于D、连接CD，则BDC为二面角l的平面角，ABDACD90，BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角，ABDC180，当二面角的平面角为锐角或直角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等，当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补.故选：D.【例2】如图，菱形ABCD的边长为，将沿对角线BD折起，使得二面角的平面角的余弦值是，则与平面ABD所成角的正弦值是（）ABCD【答案】B【分析】连接AC，交BD于O，连接，根据菱形的性质，可得即为二面角的所成平面角，在

34、中，先求得的长，根据余弦定理，可得的长，可得三棱锥为正三棱锥，过作垂直平面ABD，则即为所求，在中，求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.【详解】连接AC，交BD于O，连接，如图所示，因为菱形ABCD，所以，所以，所以即为二面角的所成平面角，在中，,由余弦定理得，所以，所以三棱锥为正三棱锥，过作垂直平面ABD，则E为的中心，连接EB，如图所示则即为与平面ABD所成角，在中，所以，所以，故与平面ABD所成角的正弦值为.故选：B【例3】在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AC=CB=AB=2，PC=3，则二面角P-AB-C的大小为（）A30B60C90D120【答案】D【分析】取的中点，连接

35、，易得，则即为二面角P-AB-C的平面角，利用余弦定理求出即可得解.【详解】解：如图，取的中点，连接，因为PA=PB=AC=CB=AB=2，所以，且，所以即为二面角P-AB-C的平面角，在中，又，所以，即二面角P-AB-C的大小为.故选：D.【例4】在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，则二面角的大小为（）A30B45C60D75【答案】A【分析】证明线面垂直,线线垂直，找到二面角的平面角，再进行求解.【详解】因为底面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，则，所以二面角的平面角为.在中，则.故二面角的大小为30.故选：A【题型十二】二面角内的角度 【例1】从空间一点P向二面角的两个面、分别作垂线P

36、E、PF，E，F为垂足，若二面角的大小为60，则EPF的大小为（）A60B120C60或120D不确定【答案】C【分析】按点P与二面角的位置分别作出图形，结合已知求解作答.【详解】过点P作平面垂直于棱l，垂足为O，与、分别交于直线a，b，记此平面为，由，则，显然，在平面内过点P作于E，于F，于是得，为二面角的平面角，依题意，点P不在平面和平面内，当点P在二面角内或二半平面与的反向延长面所夹区域内时，如图，四边形中，于是得，当点P在二面角的半平面的反向延长面与半平面所夹区域或半平面的反向延长面与半平面所夹区域内时，如图，不妨令，由得：，所以EPF的大小为60或120.故选：C【例2】如图，在中，

37、为底边上的动点，沿折痕把折成直二面角，则的余弦值的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】根据题意，设,则，其中，进而根据三余弦公式求解即可【详解】解：法一：设,则，其中，因为二面角为直二面角，所以，由三余弦公式得：所以.故选：C.法二：特殊图形，极端原理。在正中，当位于点时，当位于中点时，.故选：C【例3】如图，圆锥中，、是圆上的不同两点，若，且二面角所成平面角为，动点在线段上，则与平面所成角的正切值的最大值为（）A2BCD1【答案】A【分析】取中点M，连接，由线面垂直的判定定理证明平面，则与平面所成角即为，且，要使与平面所成角的正切值的最大，只需最小，显然当时取得最小值，继而算出与平面所成

38、角的正切值的最大值.【详解】解：如图，取中点M，连接，由题知，且，所以为正三角形，所以，因为平面，所以，且，所以平面，所以与平面所成角即为，且，设，由，则，在直角中，要使与平面所成角的正切值的最大，只需最小，显然当时最小，由得，此时与平面所成角的正切值的最大为.故选：A.【例4】已知E，F分别是矩形ABCD边AD，BC的中点，沿EF将矩形ABCD翻折成大小为的二面角在动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中，记二面角的大小为，则（）A当时，sin先增大后减小B当时，sin先减小后增大C当时，sin先增大后减小D当时，sin先减小后增大【答案】C【分析】根据二面角的定义通过作辅助线, 找到二面角

39、的平面角，在中表示出的值，利用的值的变化来判断的变化即可.【详解】当时，由已知条件得平面,过点作,垂足为，过点作，垂足为， 平面，, 平面,又平面，, 平面, ,则为二面角的平面角，在中，, 动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中,不断减小，则不断增大，即不断增大，则、错误；当时，由已知条件得平面,过点作,垂足在的延长线上，过点作,垂足在延长线上， 平面，, 平面,又平面，, 平面, ,则为二面角的平面角的补角，即，在中，, 如下图所示，动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中,先变小后增大，则先变大后变小，先变大后变小，则也是先变大，后变小, 则正确，错误；故选：.【题型十三】二面角内的距

40、离 【例1】如图，在大小为的二面角中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（）AB2C1D【答案】A【分析】由题意，为二面角的平面角，故，可得，又，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】由题意，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形故，可得为二面角的平面角，故又，故异面直线所成角也为,故选：A【例2】在三棱锥A-BCD中，和均为边长为2的等边三角形，若，则二面角A-BC-D的余弦值为（）ABCD【答案】C【分析】通过作辅助线，找到二面角A-BC-D的平面角，取CD的中点E，利用条件，证明，求得的长,从而用余弦定理求得答案.【详解】取BC的中

41、点O，连接OA，OD, 因为和均为边长为2的等边三角形，所以，且，又因为平面ABC，平面BCD，平面平面，所以为二面角A-BC-D的平面角取CD的中点E，连接BE，AE,因为是等边三角形，所以，又因为，平面ABE，平面ABE，所以平面ABE因为平面ABE，所以，所以在中，故二面角A-BC-D的余弦值为，故选：C【例3】120的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，则CD的长为()ABCD【答案】B【分析】由，把展开整理求解【详解】由已知可得：，41，.故选：B【例4】如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点直线AC，BD分别

42、在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，则（）ABCD【答案】B【分析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.因为，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.故选：B.【题型十四】综合角度：比大小（难点）【例1】在正方体中，是线段（不含端点）上的点，记直线与直线成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）ABCD【答案】A【分析】作，；

43、由异面直线成角、线面角和二面角平面角的定义可知为，为，为；设正方体棱长为，由长度关系可得，由此可得结论.【详解】分别连接交于点，作，交于，作，交于；作，垂足为；，即为直线与直线成角；，平面，平面，即为直线与平面所成角；，又平面，又平面，平面，又平面，即为二面角的平面角；设正方体的棱长为，则，；又，；，即，；综上所述：.故选：A.【例2】已知矩形，是边上一点，沿翻折，使得平面平面，记二面角的大小为，二面角的大小为，则（）ABCD【答案】D【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点作分别交直线、于点、，连接、，设，则为锐角，利用二面角的定义可得出，计算得出，利用正切函数的单调性结合两角和的正切公式可判

44、断各选项的正误.【详解】过点在平面内作，垂足为点，过点作分别交直线、于点、，连接、，设，则为锐角，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，平面，因为，则，平面，平面，故二面角的平面角为，且，同理，在中，又因为，则，则，所以，无法比较和的大小关系，故无法比较、的大小关系，即、的大小无法确定，因为，则，因为，所以，.故选：D.【例3】四棱锥的各棱长均相等，是上的动点（不包括端点），点在线段上且满足，分别记二面角，的平面角为，则（）ABCD【答案】D【分析】连对角线得底面的中心,则垂直底面，根据二面角的定义，结合正切函数的性质进行求解即可.【详解】连接交于，因为四棱锥的各棱长均相等，所以有平面，设

45、是的中点，则有，设四棱锥的棱长为，显然，过作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，而平面，所以，因此是二面角的平面角，即，因此有，同理可证：，因此是二面角的平面角，即，因此有，同理可证：，因此是二面角的平面角，即，因此有，显然，因此，故选：D.【例4】已知等边，点分别是边上的动点，且满足，将沿着翻折至点处，如图所示，记二面角的平面角为，二面角的平面角为，直线与平面所成角为，则（）ABCD【答案】A【分析】在图中分别找到二面角的平面角，二面角的平面角，直线与平面所成角线面角，然后进行大小比较即可解决.【详解】在等边中，取BC边中点D，连接AD，交EF于O，连接PO，则，平面，

46、平面故平面，又平面，则平面平面在中，过P做PM垂直于OD于M，则平面，连接MF，在等边中，过M做MN垂直于AC于N，连接PN.由，则为二面角的平面角即，由平面，则为二面角的平面角即由平面，则直线与平面所成角，即，设，则，则有，由可得，则有，则又故，又故故选：A1.在长方体中，则异面直线与所成角为（）ABCD【答案】A【分析】即为异面直线与所成的角，利用解直角三角形可求其大小.【详解】由长方体的性质可得，故即为异面直线与所成的角，在直角三角形中，故，而为锐角，故.故选：A.2.若二面角的平面角为，异面直线a，b满足，且，则异面直线a，b所成的角为（）ABCD或【答案】D【分析】根据题意可知异面直

47、线所成的角与二面角的平面相等或互补即可得解.【详解】如图， 在直线l任取一点，作，又由，且，则是二面角的平面角，则有,又由，则异面直线a，b所成的角为(或其补角)，故异面直线所成角的大小为或.故选：D3.已知正三棱锥中，E是的中点，则异面直线与所成角为（）A30B45C60D90【答案】C【分析】取中点，连接，得到（或补角）即为异面直线与所成角求解.【详解】如图所示：取中点，连接，则，所以（或补角）即为异面直线与所成角，设，因为则，在等腰中，,可得，由余弦定理可得：，所以,所以,故选：C4.在直三棱柱中，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（）ABCD【答案】C【分析】取AB中点E

48、，连接，,可知（或其补角）为异面直线所求角，解三角形即可求解.【详解】取AB中点E，连接，如图，分别是,中点，,（或其补角）即为异面直线与直线所成的角,直三棱柱中，,，故异面直线与直线所成的角大小为，故选：C5.两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（）A或B或C或D或【答案】B【分析】根据向量的线性运算可得，两边同时平方，利用向量的数量积运算，结合题意化简得到，进而得出结果.【详解】由题意知，所以，又异面直线a、b所成的角为，即，所以，所以或，故选：B6.已知两条异面直线a，b所成角为60，在直线a上取点C，E在直线b上取点D，F，使，且已知，则线段EF的长

49、为_【答案】或2【分析】先结合异面直线所成角的定义过点D作DKCE，则（或其补角）为异面直线a，b所的成角，进而分两种情况并结合勾股定理和余弦定理求得答案.【详解】如图，过点D作DKCE，使得，则四边形是平行四边形，所以，且， 由异面直线所成角的定义，（或其补角）为异面直线a，b所成的角，不妨设，则，或先求，易知是正三角形，则因为，所以，又，且，所以平面,而，于是平面，所以，于是.再求，在中，由余弦定理可得，由前面推理可知，所以.于是或2.故答案为：或2.7.在正方体中，设直线与直线AD所成的角为，直线与平面所成的角为，则（）ABCD【答案】C【分析】根据异面直线所成角及线面角的定义，可得直线与直线AD所成的角，直线与平面所成的角，从而即可求解.【详解】解：在正方体中，因为，所以直线与直线AD所成的角，因为平面，所以为在平面上的射影，所以直线与平面所成的角，又平面，所以，所以，即，故选：C.8.如图，正四棱锥的体积为2，底面积为6，为侧棱的中点，则直线与平面所成的角为_.【答案】【分析】首先找到