2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第4讲 函数的进阶-二次函数的最值(解析版)

1、2021-2022 学年新高一暑假衔接数学讲义四函数的进阶二次函数的最值（解析版）学习目标掌握二次函数的最值的解法教学内容进门测试建议 5min1、解关于 x 的不等式 ax222xax（aR）【解析】原不等式变形为 ax2+（a2）x20.a=0 时，x1；a0 时，不等式即为（ax2）（x+1）0，22a 22a0 xax1a（1）=a=2x=1a21x2.aa ，于是当2a0ax1；22a=0 x1a0 xax1；当2a0ax1；a=2x=1a21x2.a2、行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 s(

2、m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系： snv100v2400(n 为常数，且nN*6s821.821n12.6m，【答案】（1）n=6，（2）60km/h14s17640n 1600100 40085n10【解析】(1)依题意得1470n 49005n95 nN*n6.100 40017214(2)s3vv2 12.6v224v5040084v60v00v60，50 40060km/h.课堂导入建议 10min笛卡尔与直角坐标系据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来

3、，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任

4、意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点 P 与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用 代数形式来表示。由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上，创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分 支解析几何， 他大胆设想：如果把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某精讲精练建议 70min知识点一、二次函数的最值轴定区间定【知识梳理】二次函数在高中数学中占有十分重要的地位，内容相比初中更为具体，解题思路更

5、为抽象，更着重于与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，同时它也是高一第一学期集合部分内容的一个解决问题的主要思路，因此，拓展学习二次函数是初高衔接一个必不可少的部分二次函数的最值问题，核心是对函数对称轴与给定 x 范围的相对位置关系的讨论一般分为：对称轴在取值范围的左边，中间，右边三种情况fxax2 bxc(afx在mxn时的最大值与最小值bfxx2a，当a0时，抛物线开口向上，若mb n，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；2a若bm或n，当a0时，抛物线开口向上，此时函数在mxnyx2a2abyxx2a当a0时，同上，作图可得结论，对二次函数的最值结合函数图象总结如下：当

6、a0时f(bf)b1a+ bbf=f(x)=f(m)maxf1m+)(mina 2如图bf(a)当a0f(b2af)，b 1m+)bb 2f(x)=f(m如)f()=max minb1bf)，a2m+1)f(如)a【例题精讲】1.（1）y2x3x5（2）y=x3x+4【解析】分析y2x3x5yx3x4x所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值解：（1）y2x2 3x520y2x2 3x5有最低点，3y2x23x52(x4)24949，所以当x834y2x2 3x5有最小值是 8（2）yx3x4中的二次项系数-10，所以抛物线3yx23x4yx23x4(x2225+

7、 4 ，325所以当x2yx2 3x4有最大值 4 例2.当1x2yx2 x1的最大值和最小值x1min1，当x2max=5说明：x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段 例3.当x0yx(2x的取值范围yx(2xx22x在x0 x1yx0y1min=1，【巩固练习】f(xf(01f(xf(x2x.（1）f(x；（2）f(x在-1x1时的最大值和最小值.【难度】【答案】（1）f(xaxbxcf(01，可知c1f(xf(x)a(xb(xc(axbxc)2axabf(x2 f(x2x2a2ab0 因而a1bf(xx2 x1；（2）f(x)xx1(x1)232411，所以当x1fx的最小值为当x1

8、fxf3.224知识点二、二次函数的最值轴定区间动、轴动区间定【例题精讲】例 1. yx2，2xaa2，求该函数的最大值与最小值， x【解析】分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a解：（1）a2yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x2；（2）当2a0226x2y4xaya2；（3）0a2226x2y4x0y0；（4）a2226xaya2x0y0 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题例2.当txt1y1x2x5的最

9、小值(其中t为常数)22【解析】分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解：y1x2 x5x1画出其草图22当对称轴在所给范围左侧即t1时：当xtmin t 2 t ；121当对称轴在所给范围之间即t1t10t1时：当x1当对称轴在所给范围右侧即t11t0时：15 1min 12 11213；当xt1min (t1)2 (t1) t2 322 212t2 3,t 03,0t1min152t2 t2,t 1例3.当0 x1yx2 2ax1的最大值（其中a为常数）【解析】分析：xa，对称轴随a所以需要比较对称轴与范围的相对位置。解：yx2 2ax1xa，画出其

10、草图：当对称轴在所给范围左侧即a0时：当x0时，y1；max当对称轴在所给范围之间即0a1时：当xa时，ya22a21a21；max当对称轴在所给范围右侧即a1时：当x1时，y11maxa0maxa2,0a12a,a1例4.yx(xa在1x1上的最大值aa2aaaay(x22x4，应分1221，1，2 1即2a2a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为（1）a2f(x)maxf1)（2）2a2f(x)(a)=max=（3）a2时；由图可知f(x)=fmaxf,a2 a(a+,a2a1,a2【巩固练习】已知函数y=t+ata1，在1t12，求a的值4 2a1ay(t2)2 4(a2 a2)，对称

11、轴为t2，（1）当1a1，即a22max1(a2 a2)2，得a2或a3（舍去）4a当1，即a2y(ta)2 1(a2 a2)在1,1单调递增，224由y=1+a1a+1=2，得a=10max423aa11，即ay(t2)2 4(a2 a2)在1,1单调递减，由y=1a1a+2，得a2（舍去）a的值为a2或a10max423知识点三、综合问题【例题精讲】y24a(xa)(a0)，求ux3)2 y2 的最小值y24a(xau2，即时，即时，所以例2.fxax2 2ax1在3x2时的最大值为4afxa(x1)2 1ax3,2（1）若a0,fx1,，不合题意若a0,fx)max f(2)8a1，由1

12、4，得a38若a0fx)maxf1)1a，由1a4，得a综上知a3或a38例3.af(x x2|xa|1,aRf(x)的最小值13【解析】（1）当xaf(x(x2)2 4a1131若af(x)minf( ) a；若a ，则f(x) 242min f(a)a2 113（2）当xaf(x(x2)2 4a1113若a fx)2minfaa21；若a f(x)2min f( ) a241311综上所述，当af(x)min a；当 a0 x3x29a6a+2+b5a1当时，有时取最大值，时取最小值，则4a4a+2+b2 得b0a时，有x时取最大值，x9a6a+2+b时取最小值，则4a4a+2+ba1得b3a=1 a=1经检验均符合题意，所以b=0或b=y=0 x12aa或a2已知函数fx=4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值a1 2或a5 10温故知新建议 15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。预习思考19191919年，英国数学家伯特纳德罗素提出的一个非常有名的逻辑悖论：即“理发师悖论”村理发师挂出一