11.1.6-祖暅原理与几何体的体积课件(共41张PPT)

1、11.1.6祖暅原理与几何体的体积课标阐释思维脉络1.理解柱体、锥体和台体体积公式的推导,利用“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题.2.了解球的体积公式,会计算球的体积.3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的体积.4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系,了解求几何体体积的几种技巧.激趣诱思知识点拨祖暅是我国南北朝时期的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅不仅首次明确提出了这一原理,还成功地将其应用到球体积的推算上.我

2、们把这条原理称为祖暅原理.这一原理在西方文献中称为“卡瓦列里原理”,由意大利数学家卡瓦列里(15981647年)独立提出,对微积分的建立有重要影响.激趣诱思知识点拨知识点一:祖暅原理1.祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等”.2.作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.3.说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.激趣诱思知识点拨微思考运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么?提示:需要三个条

3、件,分别是:这两个几何体夹在两个平行平面之间.平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面.两个截面的面积总相等.激趣诱思知识点拨微判断(1)等底等高的两个柱体的体积相同.()(2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍.()(3)在三棱柱A1B1C1-ABC中,有 ()答案:(1)(2)(3)激趣诱思知识点拨知识点二:柱、锥、台的体积柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,棱柱、棱锥的底面积为S,圆柱、圆锥的底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r和r.名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱r2h锥体棱锥Sh圆锥r2h台体棱台h圆台h(r2+r

4、r+r2)激趣诱思知识点拨名师点析 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 激趣诱思知识点拨微思考求三棱锥的体积时有什么技巧?提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.激趣诱思知识点拨微判断(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()(3)圆台的高就是相应母线的长.()答案:(1)(2)(3)激趣诱思知识点拨微练习1圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为()A.36B.18C.45D.12答案:D 激趣诱思知识点拨微练习2已知棱台的上、下底面面积分别为

5、4,16,高为3,则该棱台的体积为.答案:28 激趣诱思知识点拨知识点三:球的体积一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球= R3.名师点析 求解与球有关切接问题时要认真分析题中已知条件,明确切点与接点位置,正确作出截面图,再分析相关量间的数量关系.激趣诱思知识点拨微判断(1)决定球的大小的因素是球的半径.()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.()(3)球的体积V与球的表面积S的数值关系为V= S.()(4)两个球的体积之比等于其半径比的立方.()答案:(1)(2)(3)(4)激趣诱思知识点拨微练习1 答案:B 激趣诱思知识点拨微练习2已知某球的体积与其表面积的

6、数值相等,则此球的体积为.答案:36 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测柱体的体积例1用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?解:若以矩形的长为圆柱的母线l,则l=4 m,此时圆柱底面周长为2 m,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练 1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若ABAC,AB=4 cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,则剩余部分的体积为cm3.答案:24 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测锥体的体积 (2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B

7、,D,A1截下一个三棱锥,求剩余部分的体积.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(1)答案:A解析:作圆锥的轴截面(如图所示).由题设,在POB中,APB=90,PA=PB.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练 2(1)将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为()探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:(1)B(2)B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测台体的体积例3已知一个三棱台上、下底面分别

8、是边长为 20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.解:如图,在三棱台ABC-ABC中,O、O分别为上、下底面的中心,D,D分别是BC,BC的中点,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练 3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R,l,高为h.作A1DAB于点D,则A1D=3.探究一探究二探

9、究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测球的体积例4已知正四面体ABCD的外接球的体积为4 ,求正四面体的体积.解:将正四面体ABCD置于正方体中.正四面体的外接球即为正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角线长即为球的直径.设外接球的半径为R,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练 4如果三个球的半径之比是123,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测逻辑推理、数学运算在求体积中的体现典例如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1

10、的所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:A 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛逻辑推理、数学运算是解决数学问题的基本素养,它将新的问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.(2020四川广元川师大万达中学高二期中)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()答案:A 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是()答案: D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为528,体积为14 cm3,则该棱台的高为.答案:2 cm 解析