平面向量 艺术生培优专题讲义-高三数学一轮复习

1、专题四 平面向量1向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量eq o(AB,sup6()的大小叫做向量的长度(或模)，记作|eq o(AB,sup6()|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量平行(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量规定零向量的相反向量仍是零向量2.向量的加法(1) 定义：

2、求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2) 法则：三角形法则；平行四边形法则(3) 运算律：abba；(ab)ca(bc)3.向量的减法(1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法(2) 法则：三角形法则(3) 运算律：aba(b)4.向量的数乘(1) 实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： |a|a； 当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2) 运算律：设、R，则：(a)()a； ()aaa；(ab)ab5. 向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线6平面向量的坐标运算(1)设A(x1，y1)

3、，B(x2，y2)，则eq o(AB,sup6()(x2x1，y2y1)，|eq o(AB,sup6()|eq r(x2x1)2(y2y1)2).(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，(3)若a(x，y)，则a(x，y)；|a|eq r(x2y2).7向量平行的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abab x1y2x2y10.8两个向量的夹角已知两个非零向量a和b，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，AOB(0180)叫作向量a与b的夹角，记作当0时，a与b同向；当180时，a与b

4、反向；当90时，则称向量a与b垂直，记作ab.9平面向量的数量积已知两个向量a和b，它们的夹角为，我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .10平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos 的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos 的乘积注意：b在a方向上的投影为|b|cos eq f(ab,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cos eq f(ab,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.11平面向量数量积的重要性质(1) abab0；(2)当a和b同向时，ab|a|b

5、|；当a和b反向时，ab|a|b|；特别地，aa |a|2，|a|eq r(aa)；(3)cos eq f(ab,|a|b|)；12平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1) abx1x2y1y2(2) |a|2x12y12或|a|eq r(x12y12).(3) abx1x2y1y20.(4) cos eq f(x1x2y1y2, eq r(x12y12) eq r(x22y22)考点一:平面向量的概念和线性运算1如图所示，在ABCD中，则用表示向量和分别是（ ）A和B和C和D和2在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则（ ）AB

6、CD3（2018新课标，理6文7）在中，为边上的中线，为的中点，则ABCD4(2015北京)在中，点，满足，若，则；考点二：平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件5（2019新课标，文3）已知向量，则AB2CD506(2016新课标，文13) 已知向量a=(m，4)，b=(3，2)，且ab，则m=_ 7(2015江苏)已知向量，若（R），则 的值为_考点三:数量积及其应用8（2016新课标，理3）已知向量 ， 则ABC=(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12009已知点、，则向量在方向上的投影为A B C D 10（2020全国文14）设向量，若，则 11（2020全国理

7、13）已知单位向量的夹角为45，与垂直，则_12（2019新课标，文13）已知向量，则，13（2013新课标，理13文13）已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc=0，则t=_14（2020全国文5）已知单位向量的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（ ）ABCD15（2019新课标，理7文8）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD16、(2014山东)已知向量 若向量的夹角为，则实数（ ）A B C0 D 17、（2014重庆）已知向量，且，则实数A B C D18（2012陕西）设向量=（1，）与=（1，2）垂直，则等于A B C0 D119（2017新课标，