双曲线标准讲义

1、双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点储，.的距离的差的绝对值等于常数(匕方的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合尸=加1痴3|一痴方小=2,WJ=2c,其中a,c为常数且0,c0.(1)当出吗0时，尸点的轨迹是双曲线；当2=R咛时,尸点的轨迹是两条射线；当2皮时,尸点不存在.2.标准方程TOC o 1-5 h zX2V2(1)中心在坐标原点，焦点在X轴上的双曲线的标准方程为RL2=l(，5)；a乙o乙、*.,一，.、，.V2X2(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准万程唠一方=10,方0).考点一双曲线定义的应用例1(1)已知方1，方

2、2为双曲线C：一尸=1的左、右焦点，点P在C上，/F1PF2=60,则PF1HPF21等于()A.2B.4C6D.8(2)已知圆C：(x3)2+尸=4,定点4(3,0),则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为.方法技巧双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合1PF11-IPF211=2a，运用平方的方法，建立与IPF1HPF2I的联系.考点二双曲线的标准方程双曲线的标准方程的求法1定义法根据双曲线定义，确定2,b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：c2=

3、a2+b2；双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.2待定系数法(1)其一般步骤为：同一嬴w而第而彳而还诵国前覆篇至加r嬴f疝TOC o 1-5 h zL刊是在轴上，还是两个坐标轴都有可能!宝根据第，步中的判断精果，设山所需的未知数或!色n标准方程I画T短施窗*,夕讪亲于如bl届云逅正京夜团j回;港工二序法天的衷石甫血亲麻有乳万睽云痴一I(2)待定系数法求双曲线方程的五种类型类型一与双曲线x2y2=1有公共渐近线的双曲线方程可设为x2-y2=(W0)a2b2a2b2类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y=b-x或y=-bx,，则可设双曲线方程为X2-:=(W0)类型三与双曲线

4、X2-尢=1共焦点的双曲线方程可设为X-赤=1(-a2b2a2kb2十kb2k0)或者；十:1(mnb0)有共同焦点的双曲线方程可设为a2访=1(b2a2)例2(1)过双曲线C：02-b=1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()1212噫弋喘弋噫弋v2(2)与椭圆号+尸=1共焦点且过点?(2,1)的双曲线方程是()A%2A.彳一尸=1膏-?=1膏-?=1D.=i方法技巧求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或j轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关

5、于a，b，c的方程组，解出a2,b2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解).(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程为mx2+ny2=1(mn0),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点，四边形ABCD的面积为24为24则双曲线的方程为()A5-苧=1x24y2B/43C.4弋=1D.4-12=1.考点一已知F1,F2为双曲线C：x2一尸=2的左、右焦点，点P在C上，1PF11=21

6、PF21,则cosZF1PF2=.双曲线的几何性质标准方程a2b2=1（a0，b0）y2X2ab2=1（a0，b0）图形N%性质范围x三a或xWa，yRyWa或y三a，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：（0.0）顶点A1（a,0），A21al0）A1（0，a），A2（0，a）渐近线y=bXaaay=bx离心率e=c，e（1，+8）aa，b，c的关系c2=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2l=2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2l=2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长求双曲线X2-2=1（0，b0）或y2-X2=1（0，b0）的渐近线方程

7、的方法是令右边的a2b2a2b2常数等于0，即令X2-y2=0，得y=b-x；或令y2-X2=0，得y=a.反之，已知渐近线方程a2b2aa2b2b为y=bx，可设双曲线方程为X2y|=Ma0，b0）.aa2b2例1(1)已知双曲线的渐近线方程为j=2x，且经过点4(2,3),则双曲线的标准方程为()A-1-=1B-832=1C.苧2=1D.x472=1x2j2(2)过双曲线下2=1(0,b0)的左焦点F作圆O：x2+j2=a2的两条切线，切点为4,B,双曲线左顶点为。，若N4CB=120,则双曲线的渐近线方程为()A.j=3xB.j=xCj=；2xD.j=J22x芍点双曲线的离心率.求双曲线

8、离心率或其范围的方法TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark17 c2a2b2b2求a,b,c的值，由C=-2-=1+b直接求e. HYPERLINK l bookmark19 a2a2a2(2)列出含有-,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于b2=c2-2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.双曲线的形状与e的关系k=b=月2c1=；21,e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双2曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔.由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔.例2(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()A

9、.6B.5C.2(2)已知点F是双曲线x2尢=(2)已知点F是双曲线x2尢=1(0,b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过-2b2F作垂直于x轴的直线与双曲线交于4,B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,+8)B.(1,2)C.(2,1+；5)D.(1,1+扬易错提醒x22-x22-j2=1上的一点，F1,F2是C的两个焦点.若例3已知M（x0,j0）是双曲线C：MF-M0,则j0的取值范围是（A.C.322B3A.C.322B3B.D.立声6，6空2b0,椭圆C1的方程为器+b|=1,双曲线C2的方程为02b|=1,C1与C2的离心率之积为乎，则C2

10、的渐近线方程为（）A.x2y=0B.2xj=0Cx2j=0D.2xj=0.考点二在平面直角坐标系xOy中，若双曲线%m2+4=1的离心率大于；6则m的取值范围为.考点二过双曲线C：X25=1（。0,b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，a2b2交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为全国卷5年真题集中演练明规律1.（2016全国甲卷）已知F1,F2是双曲线E：。2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinZMF/1=1，则E的离心率为（）B.3C.3D.222（2016.全国乙卷）已知方程m上一=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(

11、1,3)B.(1,3)C(0,3)D.(0,13)（2015新课标全国卷11）已知A,B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，AABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（）A.15B.2C.13D.2（2014新课标全国卷1）已知F是双曲线C：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A.3B.3C.,13mD.3m（2015新课标全国卷I）已知F是双曲线C：x21=1的右焦点，P是C的左支上8一点，A（0,6#）.当APF周长最小时，该三角形的面积为（2015新课标全国卷II）已知双曲线过点（4,；3），且渐近线方程为y=1xx，则该双曲线的标准方程为.若

12、若-H=1D.n-彩1练基础小题强化运算能力已知双曲线2=130）的离心率为2,则a=（a23AD1A若双曲线X2卷=1的离心率为百，则其渐近线方程为（a2b2Ay=2xAy=2xCy=2xD.y=22.x.双曲线2-2=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（a2b2A.2B.3C.2.（2016天津高考）已知双曲线x-,2=1（a0,b0）的焦距为2M5且双曲线的一条a2b2渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）x2y2A/4y2=1B.X2-4=1C.3x2C.3x220D.3y220-1x2y2.(2016北京高考)双曲线x2-2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC

13、的边OA,OCa2b2所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.一、选择题.若实数k满足0Vk0,b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1,A,，过F作a2b212A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.2A.2C1D.-,2(2017)已知l是双曲线C：x2-2=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点,若叫P2=0，则点P到x轴的距离为(A.233B.12C.A.233B.12C.2D.2!63已知双曲线X2-y2=1与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()a2b2A.(1,5)B

14、.(1,15C.(正，+8)D.0,b0)与椭圆X2+y2=1有相同的焦点，且双曲线Ca2b294的渐近线方程为y=2x，则双曲线C的方程为.过双曲线x2-y2=1(a0,b0)的左焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的a2b21两条渐近线的交点分别为A,B，若vFJ=AB，则双曲线的渐近线方程为.1设F1,F2分别是双曲线2-苴=1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若IAF21=2且NF1AF2=45,延长AF2交双曲线右支于点B，则F1AB的面积等于.(2016n)已知双曲线E：而一彳=1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶F2在坐标轴上,点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点