平面向量与解三角形

1、第八单元平面向量与解三角形(120分钟150分)第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1锐角SBC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2csinB=b,则角C的大小为nttnZnA.B.C.D.bsinB1n解析:由正弦定理得2sinB=,.，.sinC=-；.C=.答案:A2若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是uviiww=u-3v对任一向量主存在实数a,b,使二au+bv解析:因为uv=o,所以u丄V,显然wiiv,因为U与V不共线，所以对任意向量存在实数a,b,

2、使=au+bv.答案:C3在SBC中,B=,三边长a,b,c成等差数列，且ac=6,则b的值是A.B.C.D.解析:因为2b=a+c由余弦定理得b2=a2+C2-2accosB=(a+c)2-3ac,化简得b=K答案:D4.在SBC中,AB=4,zABC=30,D是边BC上的一点，且二，则等于A.4B.0C.4D.8解析:由-圧=，得(-)=左=0,即丄：E所以I|=2,zBAD=60,所以-圧=41x2x=4.答案:C5在SBC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2C2,则cosC的最小值为JJ11A.B.C.D.-丨於-圧+护1解析:cosC二U=,当且仅当a=b时等

3、号成立.答案:C6设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,0为坐标原点若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为A.5a-4b=3B.4a-3b=5C.4a+5b=14D.5a+4b=14解析：由与在方向上的投影相同，可得=(a,1)(4,3)=(2,b)(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5.答案:B7在SBC内，角A,B,C的对边分别是a,b,c若bsinB+asinA=csinCQ+bz-a?二be,则B等1TZnnnA.B.C.D.c2+b2-a2,7IT解析:因为C2+b2-a2=be,所以cosA=-：=，所以cosA=,A=,nn因为bsinB+

4、asinA=csinC,所以b2+a2=C2,所以C=B=.答案:A已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x1,y0,若aiib,则log2(x-1)+log2y等于A.1B.2C.3D.4忑-12解析:Taiib,则=,.(x-1)y=8；.log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3.答案:C在ABC中若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sinC=2sinAcosB,则ABC是A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形+b2-c21n解析:因为(a+b+q(a+b-q=3ab,所以a2+b2-C2=ab,cosC=，所以C=，因为si

5、na2+一护C=2sinAcosB,所以c=2a，得a=b,所以ABC是等边三角形.答案:B10如图，在矩形ABCD中,AB二,BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上若二，则的值是TOC o 1-5 h zA.B.J、2C.D.解析：如图所示建立直角坐标系，因为AB=,BC=2，点E为BC的中点，所以 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document -.-.-JB：,0),D(0,2),C(T：,2),E(T：,1),设F(x,2)，则=(x,2),=(T：,0),所以：x=，所以111Jx=,=(,1)A：=(-,2)，所以=(-)+2=.答案:D11

6、在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若SBC的面积为S,且2S=(a+b)2-C2,则tanC HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 3443a.b.c.-d.-解析:因为2S=(a+b)2-C2,所以absinC=a2+b2-C2+2ab=2abcosC+2ab,所以sinC=2cosC+2,又因为434sin2C+cos2C=1,所以sinC=,cosC=-,tanC=-.答案:C12.在平面直角坐标系中,0为坐标原点,设向量二a,二b,其中a=(3,1),b=(1,3),若二入a+pb,且0Ap1,C点所有可能的位置区域用阴影

7、表示正确的是y1x0弋0弋0XABcD3x-y3y-x解析:设点C的坐标为(x,y),由题意知x=3A+p,y=A+3p,解得入=,p=，代入0入1，解得yx,3y-x8.答案:A第口卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上.TOC o 1-5 h z13.已知向量|a|=1,|b|=2,a丄（a-b）,则向量a与b的夹角的大小是.1n解析:因为a丄（a-b）,所以aa-ab=0,cos=,=.n答案：14在SBC中,B=30,AB=2,AC=2,则SBC的面积为.解析:.AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,.4=12+BC2-4ix一BC,.BC2-6

8、BC+8=0,BC=2或BC=4.TOC o 1-5 h z111当BC=2时,S=-ABBCsinB=-x2x2x-=,111当BC=4时,S=-ABBCsinB=-x2x4x_=2.答案：或2在aABC中，已知内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则BC夕卜接圆的面积为TI解析记aABC的夕卜接圆半径为R,依题意得2B=A+C因此有B=.AC”？加1所以AC=7,又2R=,即只=,49n故aABC的夕卜接圆的面积是nR2=.49n答案：如图所示圆0的半径为2,A、B是圆上两点且zAOB=n,MN是一条直径，点C在圆内且满足二入+（1-入）（0入1）,则的最小值为.解析:因为=入

9、+（1-入）（0入1）,所以C在线段AB上，因为血恥（咖（曲-俑.）=L（OM+处）应+血.曲=比匚4,所以当0C丄AB时取得最小值,（）min=1-4=-3.答案：-3三、解答题:本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤(本小题满分10分)已知向量a,b满足:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)(2a-b)=61.求ab的值；(2)求向量a与b的夹角.解析:由(2a+3b)(2a-b)=61,得4a2+4ab-3b2=61.又|a|=4,|b|=3，可得ab=6.6分(2)设向量a与b的夹角为0a：p61则cose=口|州=衣；=2可知向量a与b的夹角为60.

10、10分(本小题满分12分)11已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,x=a+(t2+1)b,y=-a+b.若x丄y,求k的最大值；是否存在k,t使xiiy?若存在，求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.1221解析：x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(-,-+).1221若x丄y,则xy=0,即(-2t2-1)(-)+3)(-+)=0,1门1丄1整理得,k=八+丨，当且仅当t=，即t=1时取等号Jk=.6分max2112假设存在正实数k,t，使xiiy,则(-2t2-1)(-+)-(t2+3)(-)=0,t2+11化简得+=0,即t

11、3+t+k=0.因为k,t是正实数,故满足上式的k,t不存在，所以不存在k,t,使xiiy.12分(本小题满分12分)1在aABC中，角a、B、C的对边分别为a、b、c,若b-c=acosC.求角A的大小；若SBC的面积为2，且2abcosC-be二az+C2,求a.11解析:(1)根据正弦定理可知,b-c=acosC可化为sinB-sinC=sinAcosC,1因为sinB=sin(A+C),所以sin(A+C)-_sinC=sinAcosC,11TI整理可得cosAsinC=sinC,即cosA=，因为0An,所以A=.6分因为因为2abcosC-bc=a?+C2，所以2ab二川七c=a2

12、+C2，即a2+b2-C2-bc=a2+c2,得b2-2C2-bc=得b2-2C2-bc=0,b=2c，因为SABC：所以“l,cosA=.因为0An,所以A=.6分c(2)m+n=(cosB,2cos2=-1)=(cosB,cosC),b=4,c=2，所以a2=b2+C2-2bccosA=16+4-2x4x2x=12，所以a=2312分(本小题满分12分)tanA2c在aABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+；：叮；=.求角A;若m=(0,-1),n=(cosB,2cos2)，试求|m+n的最小值.tanA2csmAcojB2sinCsinEicosA-sinAcosB2sin

13、C、工、工2TI1TT所以|m+nb=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(-B)=1-sin(2B-).n2n2nnn7n因为A=，所以B+C=,Bg(0,)从而-2B-2acac,即ac3(2),所以SaABC的最大值为-acsinB=x=，即当a=c时,aABC的面积的最大值为.12分V(本小题满分12分)在某海域，以点E为中心的7海里以内海域是危险区域，点E正北55海里处有一个雷达观测站某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+0(其中cos6=,0690),且与点A相距10海里的位置C.求该船的行驶速度(单位:海里/小时)；若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入危险水域,并说明理由.TOC o 1-5 h z_7逐解析:由题知AB=40,AC=10,zBAC=e,0e90,cos6=,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos6=(40)2+(10)2-2x40 xiox=500,10./5所以BC=10，所以船的行驶速度为=15(海里/小