定积分的分部积分法

1、关于定积分的分部积分法第1页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第一节 定积分的概念 一、定积分问题举例 1曲边梯形的面积 图6-1所围成的平 面图形称为曲边梯形,如图6-1.求其面积的四个 步骤： (1)分割 任取分点把底边分成个小区间.(2)取近似 (3)求和 (4)取极限 第2页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三要计算这段时间内所走的路程 (3)求和 二 定积分的定义2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动， 上的连续函数， (1)分割 任取分点, (2)取近似 (4)取极限 设函数上有定义, 任取分点 =1,2,n），记 , 第3页，共27页，20

2、22年，5月20日，22点2分，星期三在每个小区间上任取一点 作乘积 的和式： 上述和式的极限存在， 则称此极限值为函数 在区间 上的定积分， （此时，也称 ）记为根据这个定义，两个实际问题都可用定积分表示为：曲边梯形的面积 变速运动路程 第4页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三三 定积分的几何意义图形在 轴之上，积分值为正，有 图形在 轴下方，积分值为负，即 则积分值就等于曲线 在 轴上方的部分 与下方部分面积的代数和，如图62所示，有图62四 定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 第5页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 性质5 则性质6 则

3、至少存在一点使得 例 估计定积分 的值 解 先求 在1，1上的最大值和最小值得驻点 在驻点及区间端点处的函数值， 故最大值 最小值 由估值定理得， 第6页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 习 题 6-11利用定积分的几何意义，说明：2利用定积分的几何意义，求下列定积分3利用定积分估值定理，估值定积分 的值 第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分第7页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 通常称函数为变上限积分函数或变上限积分定理1 如果函数 则变上限积分 推论 连续函数的原函数一定存在例1 计算 解 因为 故 第8页，共27页，2022年，5月20日，

4、22点2分，星期三 例2 求下列函数的导数：解 设 例3 求 解 二、牛顿莱布尼茨公式定理2 设函数 第9页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 则有上式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式 为方便起见， 常记作例4 求定积分解1第10页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 习 题 6-21计算2计算下列各定积分第三节 定积分的换元法例1 求 解法1 第11页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 于是 解法2 设 于是 一般地，定积分换元法可叙述如下：,且当 例1 求 于是第12页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三

5、 例2 求 于是, 例3 求 于是 第13页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 例4 求 由定积分换元法，得于是第14页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三于是 例6 求 例7 证明 证 比较两边被积函数，可以看出，于是第15页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 习 题 6-3 1计算下列定积分2利用函数的奇偶性计算下列定积分：3证明 第四节 定积分的分部积分法这就是定积分的分部积分法例1 第16页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 例2 求 例3 求 这样依次进行下去第17页，共27页，2022年，5月20日，22

6、点2分，星期三当n为奇数时，当n为偶数时，这个公式称为递推公式例4 求 习 题 6-4计算下列定积分第18页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 第五节 广义积分一、无究区间上的广义积分定义1 设函数 我们把极限 上的广义积分，记为若极限存在，称广义积分 收敛；若极限不存在，则称 发散 类似地，可以定义在 上的广义积分为上的广义积分定义为其中c为任意常数，当右边的两个广义积分都收敛时， 广义积分 才是收敛的，否 则是发散的第19页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三例1 计算广义积分 解 例2 讨论 的敛散性 解 所以 发散例3 计算广义积分 解 例4 讨论

7、 的敛散性 .解当p1时， （收敛）；当p1时 （发散）；第20页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 当p1时， （发散），综上， 二、无界函数的广义积分取0， 称极限 的广义积分，记为若该极限存在，则称广义积分 收敛；若极限不存在，则称 发散 类似地，当 的无穷间断点时，即 上的广义积分定义为：第21页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 当无穷间断点 位于区间 内部时，则定义广义积分 为：上式右端两个积分均为广义积分，当这两个广义积分都收敛时，才称 是收敛的，否则，称是发散的上述无界函数的积分也称瑕积分例5 求广义积分 解 因为 被积函数的无穷间断点，

8、于是例6 证明广义积分 当p1时收敛，当p1时发散证p1时， （收敛）；当p1时， （发散）； 第22页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三当p1时， （发散）因此，当p1时，此广义积分收敛，其值为 当p1时，广义积分发散复 习 题 六一、填空题的极小值为的取值范围为 ;第23页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 二、单项选择题为连续函数，则积分 A与 ，s，t有关; B与t， C与s，t有关; D仅与 有关.A0; B0 ; C0; D0.A充分条件;B必要条件;C充分必要条件 ; D无关条件.为连续函数，则下列各式正确的是（ ）第24页，共27页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 A2;B1;C1;D2.A0;B2;C1; D1.A0;B1;C2;D3.A必要条件;B充分条件;C充分必要条件;