直线与平面垂直的判定及其性质

1、课题 直线与平面垂直的判定及其性质知识点一：直线与平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言匿形语言箔一条亘税与一个平面内判定的两条相交直线都垂定理直. 则谡亘线与此平面全aCkbc/仃门方-PJXa./7颉 垂直于同一个平面的两 z定理条直线平行一/ b.口一见8_Lot=d2.直线与平面所成的角(线面所成的角关键：过斜线上一点作平面的垂线)(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平； 0面,我们说它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 。的角.0线面角 的取值范围0 .规律

2、总结过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知识点二：平面与平面垂直的判定与性质1.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线Nil这两公平面垂 直一判定定理记作 BD两个平面垂直则b平面内垂直于交线的亘线与另T平面垂直性质定理al/f.ai匚2.二面角平面与平面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两 个平面互相垂直.说明.平面角的两边分别在二面角的两个面内.分别垂直于二面角的棱.2.二面角。的取值范围为0, 0 1 80.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面二面角

3、的平面角： 即为二面角 的平面角.AOB 1题型一：线面垂直的判定与性质证明直线与平面垂直的方法 ：(1)利用判定定理(a，b,a，c,bn “，c? ? aa(2)利用面面平行的性质,a3?3)；(“，3,an3 ?3? a利用面面垂直的性质定理(4)利用面面垂直的性质 ).aTT1：例 如图，已知 是菱形PABC所在平面外一点，且PA= PCAd PBD求证： 平面【证明】 设ACTBD=QO AC PQ PA= PC, PQL AC由题意知 为 的中点，连接 因为 所以又因为ABCD1菱形，所以而所以ACL PBD平面 ?变式证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二

4、面角的平面角，计算平面角为(2)利用面面垂直的判定定理(a，B,a? a ? a，B).2.空间垂直关系之间的转化90 );统战.线面暮才的利冠.线面面而委宜的判定.面面垂直、线面垂直的性质 垂直 面面垂直的性质 垂直2:例 如图，在直三棱柱ABC ABABAC D , E分别是棱BC , CC C ),D上的点(点 不同于点中，1 1i,iAD DE , F BQ ADE平面BCgB.为 的中点.求证：平面且CCAD证明：因为ABC- AB 是直三棱柱，所以CC，平面ABC.又因为AD 平面ABC,所以1 .1又因为ADLDE CC, DE平面BCCB CC门DE=E ,所以ADL平面BCC

5、BAD 平面 1 1ADE ,所以平面ADE 平面BCC B .i变式 如图，在四面体，平面BADL平面 .M,N,Q分别为棱 的中点.（1）求证：平面 （2）平面求证：平面以3单S又：平面；I C平面、p 因为分别为检电片诩中点.所以HAB,又上艮我:故m 1ADCW,平面见口平面仅且AfVUJ5D I4。又4小仁平面*佻）所以t、选择题ABCDABGD E CD1.在正方体中， 为棱 勺中点，则()AE DCB. AE BD C. AE BCAE, AE AC BD垂直，D错;D. AE ACAE在平面ABCDt的投影为如图，:而 不与i . AE在平面BCCBBC BC BC,上的投影为

6、 且/.AEX BC,故 正确；CiiBC, BC, BCLCE CEA BC= C,又（证明：由条件易知，. .BC， CEAB AiaCEAB, . AEBC平面平面）ii . AE在平面DCCD上的投影为DE, DE DCA 而 不与 垂直，故 错.故选i2.如图，在正方形 ABCD, E F、 分别是BC CDG EFAR AF EF的中点， 是 的中点，现在沿 及 把这个正方形 折成一个空3B C DAGL EFHH,间图形，使 、 三点重合，重合后的点记为 那么，在这个空间图形中必有 （）AHL平面 EFHC. HFL平面AEF .HGL平面 AEFD平面AHL HE AHL HF

7、AHL EFHB正确;不变， 平面根据折叠前、后AEFH A直， 不正确； 过 只有一条直线与平面. AGL EF, EF GH AGH GH= HAG E HAG AEF HAEF过 作直线垂直 于平面 一平面又 平面平面HAGl,平面 不正确.故选C不正确；由条件证不出 HGh AEF，D B.定在平面3BAC= 90 ,Pd ABC ABC PAC平面 则在PC勺边所在的直线中，与 垂直的直线是 ;.如图，/AP与 垂直的直线是.AB故与 垂直的直线是4 . 7-4-12如图P-ABC PAL ABCD由， 底面M PCM所示，在四棱锥且底面各边都相等，是 上的一动点，当点MBD_ PC

8、D平面)满足 时，平面只要填写一个你认为是正确的条件即可DML PC BML PC) AC, BD ACL BD : PALABCD，PAL BD或连接则底面不、PAA AC= 平面PAC BDL PC又DML PC BML PC PCh平面 MBD或 时，即有 当5.a,3是两个平面，min是两条直线，有下列四个命题：”ml n, mL a , n / 3 , a X (3那么mL a , n / amL.如果. 如果如果a/(3,mam/ (3.如果m/ n, a / (3 , m a n B那么 与 所成的角和 与 所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号 )对于，a,

9、B可以平行，也可以相交但不垂直，故错误.l a, n/l, mha, ml l , ml n,对于，由线面平行的性质定理知存在直线又所以所以故正确.a / B , a , 3 mt a所以 没有公共点.又m3没有公共点，由线面平行的定义可知 m/3故对于，因为对于，因为正确.m/ n, m a n a所以 与 所成的角和 与 所成的角相等.因为a / B , n a n 3所以 与 所成的角和 与 所成m an 3的角相等，所以 与 所成的角和 与 所成的角相等，故正确.6.如图7-4-1 在三棱柱ABCA1BG中，侧棱AAL ABC底面直角的等腰直角三角形，底面是以/AC=2a, BB=3a

10、, D ACFAA是 的中点，点 在线段 上，当 时， 平面AF= CFL BDFa 2a AACG，CF BD.或.出口，平面CF1 BDF,CF DF CF! BF).或为了使平面只要使AF= x, U CD= DF2+FC2,贝设，x3ax+ 2a2= 0, . x= 2 x= 2a.或277-4-1在三棱锥 P-ABC中，PAL AB PAL BC AB! BC PA= AB= BC= 2, DAC E为线段 的中点， 为线.如图PC段 上一点.(1)求证：PAL BD (2)求证：平面8口已平面PAC (3) PA/ BDE当 平面寸，求三棱锥E-BCD勺体积.PA AEB PA!

11、BC PA1 ABCP又因为解 证明：因为所以平面BD ABC平面BD所以PALAB= BC D ACBDL AC(2)证明：因为为 的中点，所以PAL BD BDL PACBDEL PAC平面由知，所以平面所以平面平BDE PA3 BDE= DE PA/ DE PN因为面平面平面所以. . 1取DE= PA= 1, BD= DC=2D AC因为 为 的中点，所以PAL由知， 平面ABC DEL所以ABC平面E BCD勺体积1BD DC DE=-所以三棱锥63ABC AB! AD BCLBD ABDL BCDF ED ( 与不重合 分别在8.如图,在三棱锥)计，平面平面点AD BD上，且EF

12、ADEF/ ABC平面ADL AC棱求证：ABDrt, ABL AD EFAD EF/ AB在平面因为所以EF7 ABC ABt ABC EF/ ABC又因为平面平面所以平面ABDL BCD ABDT BCD= BD, BC BCD BC! BD BCLABD AD因为 平面(2)因为平面平面平面平面平面所以平面ABD BCL AD ABL AD BCT AB= B, AB ABC BC ABC所以又平面平面所以ADL平面ABCAC ABC ADL AC又因为 平面 所以9.如图，三棱柱 中，侧棱垂直于底面，/,D是棱AA1的中点.(1)证明：平面BDC也平面 平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比【解析1由展设如AJ CCJ”5a所呗平面