统一推导欧拉临界压力公式的简单模型

1、统一推导欧拉临界压力公式的简单模型(lb)( 2a)( 2b)(3)( 4)摘 要：对于压杆稳定性问题材料力学书上一般用4个 模型来分别推导不同支承约束条件下的欧拉临界压力。但 由于弯矩方程的建立可能涉及到超静定问题,推导过程比较 繁琐。本文用一个简单模型来统一推导任意支承情况的临 界压力，其微分方程是在微段的力矩平衡方程基础上建立起 来的，对应于一个四阶常系数齐次微分方程。通解中涉及4 个积分常数，要使u(x)为非零解，积分常数不能全为零。针 对杆两端的约束类型，积分常数应满足其系数矩阵行列式等 于零的条件，进而给出了临界压力的表达式。用一个简单模 型来统一推导任意支承情况的临界压力更简单，

2、也易于学生 掌握和理解。关键词：材料力学；压杆稳定；欧拉临界压力；微分方程；特征 方程0 前言压杆稳定性问题是材料力学研究的重要内容之一。对 于细长杆或大柔度杆( =)，其临界压力采用欧拉公式计 算，即p=-教材上一般用两端铰支的细长压杆模型()来推导公式,其步骤为:建立压力引起的弯矩方程;建立 挠曲线微分方程;利用欧拉法求解此微分方程;利用两 端铰支处的挠度为零来计算积分常数，由此导出临界压力。 其他3种典型的理想支承约束条件下,等截面细长中心受压 直杆临界压力的欧拉公式往往由表格给出1$2-在高教版 材料力学3中，又针对一端固定一端自由、一端固定一端 铰支、两端固定的细长压杆模型分别详细推

3、导了其临界压力 公式。但各种模型由于其弯矩方程不用，有的还涉及到超静 定问题，推导过程仍很繁琐。笔者认为，可以用一个简单模 型来推导上述4种支承情况的欧拉临界压力。这样,更容易 让学生掌握理解。1临界压力的推导在材料力学的“弯曲内力”章节中，曾用梁微段受分 布荷载时的竖向力平衡条件和力矩平衡条件来导出分布荷 载集度、剪力和弯矩之间的微分关系。这个方法仍然可以用 来分析细长压杆微段的平衡状态。1.1模型考虑两端为任意支承约束的细长压杆，如图1所示，图 中仅仅画出了两端铰支的情形,虚线为外部干扰作用下的挠 曲线。设杆的长度和刚度分别为l、EI。以杆左端为原点建 立相应的坐标系xy。y轴正向与挠度正

4、向同向，但挠度的正 负向可任意选取。本文中挠度和y轴正向均朝上，即规定使 杆的下侧受拉时弯矩为正。考虑长为dx的微段，其变形后 的构型如图2所示，此时微段左右横截面上仅有恒定的轴向 压力P和弯矩作用。压力P沿着挠曲线的切线方向并作用 在截面形心处，即压力P与x轴的夹角就是其所在截面的转 角也是微段的转角。图任意支承的压杆图2微段受力图考虑微段的竖向力和力矩平衡方程，有:Q( !) _ Q( ! + dx) _ G( !)2 =0( la)-( x) + 4( x + dx) _ Q( x) dx + Pdx # tan- = 0化简上两式得:dQ(x)(、dxdm (x)Q ( x ) + P

5、tan- = 0 dx由于杆的小变形，-%tan-,式(2b)变为：dm ( x )_ Q(x) + P- =0dx再微分一次，并把式(2a)代入式(2b)可得:d2mR( x)d-,、+ Pr = _ G( x)dx由于压杆无分布荷载，故式(4)右边为零。根据弯矩与 挠度，转角与挠度间的微分关系: TOC o 1-5 h z ( x) = El w, - = w( 5)把式(5)代入式(4)得4:EIw(+ Pw =0( 6)P令02 = EPI，则式(6)变为:w(Iv + 0 2w = 0( 7)式(7)为四阶常系数齐次常微分方程，可采用欧拉法求 解。设w =ex,分别二次、四次微分后代

6、入式(7),其特征方程为:(8)特征值分别为，91 = 9 2 =0,9- = ki,r 3 =-愿。因此，式(7)的通解为:w(x) = C% + C2x + C3cos0 x + C4sin0 x( 9)式中,C1 - C 4为积分常数。要使w ( x )为非零解,C 1 -C 4不能全为零。只要确定了杆两端的约束类型，便能确定积 分常数应满足的条件，进而就能给出临界压力的表达式。下 面推导4种约束类型的临界压力。8.2积分常数的确定1)两端铰支。 由于铰支座处无位移无弯矩，其边界条件为：一J ! =0 )二1 + C 3 =0J ! = /) = C % + C ! / + C-CB40

7、E + C *0501 =0(10)w ( ! =0 ) = - C 3 0 ! =0一 w( ! = /) = - C3 0 2 CB40E - C*0 %in0E = 0由前三式可以看出，010,C1 =0,C 3 =0,C 2 = C*V，其边界条件为： w ( ! = 0 ) = C 1 + C 3 = 0w ( ! = E ) = C 1 + C 2 E + C 3 COs0/ + C4 sin0/ = 0w v ! =0 ) = C2 + C 4 0 =0一 w ( ! = E) = - C 3 0 2COs0/ - C 4 0 2 sin0/ = 0 要使1C 4不全为零，其对应

8、的系数矩阵的行列式等 于零，即：(20)C* 10。因此，sin0E =0,即：0/ = L(11)令L =1，得0/二，其临界压力为:=化简后得：(12)2)两端固定。由于固定支座处挠度和转角均为零，其边界条件为：w ( ! = 0 ) = C 1 + C 3 = 0w ( ! = /) = C 1 + C 2 E + C 3 COS0E + C4 sin0E = 0(13)-(! =0 ) = w ( ! =0) = C 2 + C 4 0 =0一-(! = E) = w ( ! = E) = C2 - C30sin0E + C40COS0E = 0要使C1C4不全为零，其对应的系数矩阵的

9、行列式等于零，即：10101ECOs0Esin0E010001- 0sin0E0COs0E=0(14)化简后得：(2 - 2cos0E - 0Esin0E)0 = 0式(15)为超越方程，可数值求解。但也可以直接看出0/ = 2l是上式的解，令L = 1,得0/ =2，其临界压力为：=4 2政59E23) 一端固定一端自由!由于自由端处无剪力无弯矩，其边界条件为：w ( ! = 0 ) = C 1 + C 3 = 0-(! =0 ) = w (! =0 ) = C 2 + C 4 0 =0w( ! = E) = - C 3 0 2COs0/ - C40 2 sin0/ = 0_ w( ! =

10、E ) = C 3 0 3 sin0/ - C 4 0 3 COs0/ = 0要使C1C4不全为零，其对应的系数矩阵的行列式等 于零，即：(15)(16)(17)1COs0/-02COs0/sin0/0-02 sin0/=0(21)(22) 式(22)为超越方程,可数值求解,其解为0E =4. 49341, 其临界压力为：/4 49341、22 HO2 HO 2 HO59 ( E ) /2 ( 0. 69916E) 2 ( 0. 7E)2(4. 49341E)tan0/ = 0/(21) 至此，本文用一个简单模型导出了全部4种理想支承约 束条件下临界压力的欧拉公式。2结论对于两端为任意支承的杆

11、，其由微段力矩平衡条件确 定的微分方程是相同的，即HOw(而+ = w =0,此为四阶常系 数齐次微分方程,易用欧拉法求通解！其通解为 w ( !) = C 1 + C 2 ! + C 3 COs0! + C4 sin0!,包含 4个积分常数，也适用于任意支承情况！对于具体支承情况，确定积分常数应满足的条件归结 为求一行列式！对于两端铰支，特征方程为，sin0E =0;对于 两端固定，特征方程为,2 - 2cos0E - 0Esin0E;对于一端固定一 端自由，特征方程为，sin20E = 0;对于一端固定一端铰支，特 征方程为,tan0E = 0E。进而，其欧拉临界压力的表达式可统一 写为=忠本文