二、三重积分中值定理地证明与应用

1、实用标准文案实用标准文案文档文档数学分析自主研究课题:二、三重积分中值定理的证明和应用 摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的 积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值 定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。 关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中 值定理，二、三重积分中值定理一、引言在数学分析的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理） 及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用二、积分第一中值定理（一重积分中值定理）（积分第一中值定理）若f在a,b上连续，则至少存

2、在一点&a,b,使得bf(x)dx f( )(b a).a和（推广形式的积分第一中值定理）若f和g都在a,b上连续，且g（ x）在a,b上不变号，则至少存在一点a，b,使得bbf(x)g(x)dx f( ) g(x)dxaa(明显当g (x)1时，即为积分第一中值定理)三、推导二、三重积分中值定理及证明由积分第一中值定理我们类似的推导出二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在(,)D，使得f (x, y)d f( , )SdD这里Sd是区域D的面积.证明：由于f(x, y)在有界闭区域 D上连续，Sd为这个区域的面积存在最大值M和最小值m，得m f (x, y) M, (x

3、, y) d ,使用积分不等式性质得mSD f(x,y)d wMSd,D1即m f (x, y)d M.Sd d再由连续函数的介值性，至少存在一点 (，)D,使1f( , )f(x, y)d ,Sd d即f(x,y)d f( , )SdD由此定理得证.那对于二重积分是否也存在推广形式的二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，g(x,y)在D上可积且不变号，则存在一点 (，)D，使得f(x, y)g(x, y)dDf(x, y)g(x, y)dDf( , ) g(x,y)dD显然定理是存在的，下面我们就来证明一下证明：由于f(x,y)在有界闭区域 D上连续，所以f(x,y)在D 上

4、存在最大值M和最小值m，有m f (x, y) 0时，有m g(x, y) f (x, y) ? g(x,y) 0时，由上式得Df(x,y)g(x, y)dg(x,y)dD知，至少存在一点(，)M ,M ,由闭区域连续函数的介值定理D，使f(,)g(x, y)d ，f (x, y)g(x,y)dDf( , ) g(x,y)df (x, y)g(x,y)dDf( , ) g(x,y)dD同理可证当g(x,y) 0时，f (x, y)g(x, y)d f (f (x, y)g(x, y)d f (,Dg(x，y)d也成立.由此，定理得证.特别的，当g(x,y) 1时，即为二重积分中值定理三重积分中

5、值定理：若f(x,y,z)在三维空间可求体积的有界闭区域V上连续，则存在(，)V,使得f (x, y,z)dV f( , , )VvV这里Vv是积分区域V的体积.证明：由于f(x,y,z)在三维空间可求体积的有界闭区域V上连续，Vv为这个区域的体积.存在最大值M和最小值m,有m f (x, y, z) M,(x, y,z) V .使用积分不等式性质得m Vvf(x,y,z)dV M Vv ,V1即m f (x, y,z)dV M.再由连续函数的介值性，至少存在一点(，)V使f(f(x,y,z)dVf(即f(x, y,z)dV f ( , , )Vv .V由此定理得证.同样的，对于三重积分中值定

6、理，也有推广形式的三重积分 中值定理，这里不详细证明了.四、二、三重积分中值定理的应用设f(x,y) ( f(x,y,z)有界闭区域 D(V)上的连续函数，D( V)是包含定点 Po(xo，y0)( Po(xo，y0，Z0)的 D(V)的有界闭 子域，由积分中值定理得，存在(，)D(，) V),使f (x, y)d f ( , )S dD(f(x,y,z)dV f( , , )Vv)V其中显然(，)D( ( , , ) V)，Sd(Vd)是区域D(V)的面 积(体积).当D( V)的区域d趋于零，便有实用标准文案实用标准文案2x文档2x文档1ldm0S7 / （x，y）ddimV（，）f（x，

7、y。）.1（lim /（x，y，z）dV dim0f（，）f（x，y，z。）这个极限过程与证明变上限定积分对上限求导的极限过程 是类似的，所以上式的极限为重积分在点Po（Xo,yo）（Po（Xo,yo，Zo）处对区域的导数.根据重积分中值定理，可以证得一个连续函数的重积分对区域的导数等于其被积函数例：估计积分1例：估计积分1|x |y 10 100 cos2x cos2 y 的值 .解：由于f(x, y)2 2loo cos x cos y在有界闭区域D (x,y)|x10上连续，则2D 1oo cos x12 2 cos y 100 cos矿？解：由于f(x, y)2 2loo cos x

8、cos y在有界闭区域D (x,y)|x10上连续，则2D 1oo cos x12 2 cos y 100 cos矿？（D ).而Sd 2oo,丄1o2121oo cos2COS10051my| 1100 cos2x cos2 y求极限:例1.求lim例1.求limof(x,y)d2 2y,其中f（x, y）为连续函数解：由积分中值定理，至少有实用标准文案实用标准文案文档文档D=(x,y)| x2 y22,使12f(x,y)df(,),lim0f(x, y)d2lini f( , ) f (0,0)0例2.证明limn.n /2sin (xy2)d(x,y)|0 x2y2证明：对（0,2）存在08e,有n 2sin (x0 x2 y2 -2y2)dn 2sin (xy2)dx2n :sin (x2yy2)d0 x2n 2|sin (x2y)|d2x2n 2|sin (x2y 2y2)dnsinx2nsin0,2-,所以|sin EN 时，有nsin a故上式为: n 22sin (x y )d0 x2 y2 -2lim sinn(x2 y2)d0nD五、体会通过这次的自主探究实践， 让我得出所研究课题的结论，让我体会到数学知识的紧密联系， 在学习的过程中不断积累知识，从而去解决更深一层的问题， 做到不抛开条件去解决问题， 比如在证 明过程中用到