因式分解的常用方法方法最全最详细

1、因式分解的常用措施第一部分：措施简介因式分解：因式分解是指将一种多项式化成几种整式的积的形式，重要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般环节是： （1）一般采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的环节。即一方面看有无公因式可提，另一方面看能否直接运用乘法公式；如前两个环节都不能实行，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可运用公式法继续分解；（2）若上述措施都行不通，可以尝试用配措施、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等措施；。注意：将一种多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用

2、公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (ab)2 = a22ab+b2 -a22ab+b2=(ab)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+

3、c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三边，且，则的形状是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形解： 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都具有a，后两项都具有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间尚有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = =

4、=练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，因此只能此外分组。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = =练习：分解因式3、 4、综合练习：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接运用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知05，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，

5、求符合条件的.解析：但凡能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都规定 0并且是一种完全平方数。于是为完全平方数，例5、分解因式：分析：将6提成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此措施进行分解的核心：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次项系数不为1的二

6、次三项式条件：（1） （2） （3） 分解成果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将当作常数，把原多项式当作有关的二次三项式，运用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一种整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9

7、、分解因式：（1） （2）综合练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、换元法。(1)、换单项式例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3 = m，则x6= m2，原式变形为m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、换多项式例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：本题前面的两个多项式有相似的部分，我们可以只把相似部分换元，设x2 +6= m，则x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m

8、+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，因此称为“局部换元法”. 固然，我们还可以把前两个多项式中的任何一种所有换元，就成了“整体换元法”. 例如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)

9、2.此外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的措施被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m= eq f(1,2) (x2+4x+6) + (x2+6x+6)= x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x， (m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们提成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不

10、相等，因此只能设法使一次项相似. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为(x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决. 我们采用“均值换元法”，设m= eq f(1,2) (x2+x-2)+ (x2+x-12)=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).(3)、换常数例1 分解

11、因式x2(x+1)-x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到、两个数字之间的关系，把其中一种常数换元. 例如，设m=，则=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x2+x-m2-m)= x(x2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m)= x(x-m)(x+m+1)= x(x-)(x+1)= x(x-)(x+).例13、分解因式（1） （2）解：（1）设=，则原式= = =（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，则原式= =练习13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解

12、因式（1）观测：此多项式的特点是有关的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。措施：提中间项的字母和它的次数，保存系数，然后再用换元法。解：原式=设，则原式= = = =（2）解：原式= 设，则 原式= =练习14、（1）（2）六、添项、拆项、配措施。例15、分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = =（2）解：原式=练习15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）七、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必然可分为解：设=对比左右两边相似项的系数可得，解得原式=例17、（

13、1）当为什么值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 则=比较相应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=（2）分析：是一种三次式，因此它应当提成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 则= 解得，=21练习17、（1）分解因式（2）分解因式（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4） 为什么值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全典型一：一、填空题1. 把一种多项式化成几种整式的_的形式，叫做

14、把这个多项式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _ _.4、分解因式：=_ _。5.将xn-yn分解因式的成果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为 . 6、若，则=_，=_。二、选择题7、多项式的公因式是( )A、 B、 C、 D、8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A、 B、C、 D、10.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式为（ ）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C（yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各个分解

15、因式中对的的是（ ）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23cB（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若k-12xy+9x2是一种完全平方式，那么k应为（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式： 14、 15、16、 17、 18、 19、； 五、解答题20、如图，在一块边长=6.67cm的正方形纸片中，挖去一种边长=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。dD21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。运用分解因式

16、计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，成果保存2位有效数字)dD22、观测下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。典型二： 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式 分析：这是一种六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别当作一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，分别当作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式 解一：将拆成，则有 解二：将常数拆成，则有 3. 在证明题中的应用 例：求证：多项式的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两

17、个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明： 设，则 4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式： 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观测a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的措施。 解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 阐明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨 例1.在中，三边a,b,c满足 求证： 证明： 阐明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握此类题不能丢分。 例2. 已知：_ 解： 阐明：运用等式化繁为易。题型展示 1. 若x为任意整数，求证：的值不不小于

18、100。 解： 阐明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一种多项式的值不不小于100，即规定它们的差不不小于零，把它们的差用因式分解等措施恒等变形成完全平方是一种常用的措施。 2. 将 解： 阐明：运用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式： 2. 已知：的值。3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。 4. 求证：是6的倍数。（其中n为整数） 5. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。典型三：因式分解练习题精选一、填空：（30分）1、若是完全平方式，则的值等于_。2、则=_=_3、与的公因式是4、若=

19、，则m=_，n=_。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其成果是 _。6、若是完全平方式，则m=_。7、8、已知则9、若是完全平方式M=_。10、， 11、若是完全平方式，则k=_。12、若的值为0，则的值是_。13、若则=_。14、若则_。15、方程，的解是_。二、选择题：（10分）1、多项式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，则m，k的值分别是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个4、计算的值是（ ） A、 B、三、分解因式

20、：（30分）1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、7、 8、9 、 10、四、代数式求值（15分）已知，求 的值。若x、y互为相反数，且，求x、y的值已知，求的值五、计算： （15）（1） 0.75 （2） （3）六、试阐明：（8分）1、对于任意自然数n，都能被动24整除。2、两个持续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个持续奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、运用分解因式计算（8分）1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（成果保存两位有效数字）2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。八、教师给了一种

21、多项式，甲、乙、丙、丁四个同窗分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一种三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同窗描述都对的请你构造一种同步满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）典型四：因式分解选择题1、代数式a3b2a2b3, a3b4a4b3,a4b2a2b4的公因式是（ ）A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(xy)10b(xy)，提出的公因式应当为（ ）A、5a10b B、5a10b C 、5(xy3、把8m312m2A、4m(2m23m) B、4m(2m2

22、3mC、4m(2m23m1) D、2m(4m26m4、把多项式2x44x2分解因式，其成果是（ ）A、2(x42x2) B、2(x42x2) C、x2(2x24) D、 2x2(x22)5、（2）1998（2）1999等于（ ）A、21998 B、21998 C、21999 6、把16x4分解因式，其成果是（ ）A、(2x)4 B、(4x2)( 4x2) C、(4x2)(2x)(2x) D、(2x)3(2x)7、把a42a2b2b4分解因式，成果是（ ）A、a2(a22b2)b4 B、(a2b2)2 C、(ab)4 D、(ab)2(ab)8、把多项式2x22x分解因式，其成果是（ ）A、(2x

23、)2 B、2(x)2 C、(x)2 D、 (x1)2 9、若9a26(k3)a1是完全平方式，则 k的值是（ ）A、4 B、2 C、3 D、4或210、（2xy）(2xy)是下列哪个多项式分解因式的成果（ ）A、4x2y2 B、4x2y2 C、4x2y2 D、4x2y2 11、多项式x23x54分解因式为（ ）A、(x6)(x9) B、(x6)(x9)C、(x6)(x9) D、 (x6)(x9)二、填空题1、2x24xy2x = _(x2y1)2、4a3b210a2b3 = 2a2b2(_)3、(1a)mna1=(_)(mn1)4、m(mn)2(nm)2 =(_)(_)5、x2(_)16y2=

24、( )26、x2(_)2=(x5y)( x5y)7、a24(ab)2=(_)(_)8、a(xyz)b(xyz)c(xyz)= (xyz)(_)9、16(xy)29(xy)2=(_)(_)10、(ab)3(ab)=(ab)(_)(_)11、x23x2=(_)(_)12、已知x2px12=(x2)(x6)，则p=_.三、解答题1、把下列各式因式分解。(1)x22x3 (2)3y36y23y(3)a2(x2a)2a(x2a)2 (4)(x2)2x2(5)25m210mnn2 (6)12a2(7)(x1)2(3x2)(23x) (8)a25a6(9)x211x24 (10)y212y28(11)x24

25、x5 (12)y43y328y22、用简便措施计算。（1）9992999 （2）2022542256352(3) 3、已知：xy=,xy=1.求x3y2x2y2xy3的值。四、探究创新乐园若ab=2,ac=,求(bc)23(bc)的值。求证：11111110119=119109五、证明(求值)1已知ab=0，求a32b3a2b2ab2的值2求证：四个持续自然数的积再加上1，一定是一种完全平方数3证明：(acbd)2(bcad)2=(a2b2)(c2d2)4已知a=k3，b=2k2，c=3k1，求a2b2c22ab2bc2ac的值5若x2mxn=(x3)(x4)，求(mn)2的值6当a为什么值时，多项式x27xyay25x43y24可以分解为两个一次因式的乘积7若x，y为任意有理数，比较6xy与x29y2的大小8两个持续偶数的平方差是4的倍数典型五：因式分解分类练习题因式分解提公因式法1、下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A. B. C. D.2、在把分解因式时，应提取的公因式是( )A. B. C. D.3、下列变形是因式分解的是( )A.