【例31】每箱产品有10件其次品数从0到2是等可能的

1、PAGE PAGE 7北京领航考研名师铁军2006年考研数学预测38题31-38【例31】每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被漏查误判为正品的概率为10%。求：（1）检检验一箱箱产品能能通过验验收的概概率；（22）检验验10箱箱产品通通过率不不低于990%的的概率【详解】（11）设= “一箱内内有i件次品品”，i=0，11，2。则则A0,A1,A2两两不不相容，其其和为，构成成一个完完备事件件组。设事件B=“一箱产产品通过过验收”，B1=“抽到一一件正品

2、品”。依题意，有有；应用全概公公式，得得又由于B11与为对立立事件，再再次应用用全概公公式有（2）由于于各箱产产品是否否通过验验收互不不影响，则则设100箱产品品中通过过验收的的箱数为为X，XX服从参参数为nn=100，P=P(BB)=00.8992的二二项分布布。机X度为机的函密数【详解】令令，取非零值的的范围为为1，22。当当时，有有的分布函数数 Y的密度函函数为 注意：本题题中不是是单调函函数，不不能直接接用公式式求解。此此例表明明，先考考虑随机机变量的的取非零零值的范范围，然然后在此此范围内内求分布布函数值值可以简简化运算算。至于于取非零零值范围围之外的的分布函函数值，可可以由分分布函

3、数数的性质质决定其其为0或或1。【例33】袋中有有只黑球球，每次次从中随随意取出出一球，并并换入一一个白球球，如此此交换共共进行次次。已知知袋中白白球数的的数学期期望为aa，则第第n+11次从袋袋中任取取一球为为白球的的概率是是 【详解】依依题意，袋袋中白球球数是一一个随机机变量，XX可取00，1，22，n，且若记B=“第n+11次从袋袋中任取取一球为为白球”，=“第n次交换换后袋中中有个白白球”=XX=k。则由全概率率公式，得得【例34】设一台台机器上上有3个个部件，在在某一时时刻需要要对部件件进行调调整，33个部件件需要调调整的概概率分别别为且相相互独立立，任一一部件需需要调整整即为机机器

4、需要要调整。（1）求机机器需要要调整的的概率；（2）记记为需要要调整的的部件数数，求期期望、方方差。【详解】设设事件为为机器要要调整，记记为第个部部件需要要调整，.（1）显然然，则（根根据事件件的独立立性知）.（2）求期期望、方方差有两两种解法法：解法一：先先求的分分布律，根根据分布布律再求求数学期期望和方方差。根据的意义义，显然然有事件件的记法法如（11），并并注意到到事件之之间的独独立性，有有 =； ；.所以，解法二：可可以不求求的分布布律，引引进新的的随机变变量，利利用期望望、方差差的性质质求出期期望、方方差。现引进新的的随机变变量定义义如下：因此我们有有 而服从分布布，所以，又因为，且

5、且之间相相互独立立，所以 .【评注】本本题中解解法二比比解法一一简单得得多，这这就是引引进新的的随机变变量的好好处，但但如何引引进新的的随机变变量是一一个难点点。一般般在考研研试题中中，总是是引进服服从分布布，用独独立性和和来简化化计算。【例35】假设一一批共1100件件产品，其其中一、二二、三等等品分别别为800，100，100件。现现在从中中任抽取取一件，记记试求：（11）随机机变量的的联合分分布；（22）随机机变量的的相关系系数。【详解】引引进事件件知有可：0011又 又； 【例36】生产线线上源源源不断地地生产成成箱的零零件，假假设每箱箱平均重重50千克克，标准准差为55千克，若若用最

6、大大载重量量为5吨的汽汽车承运运，试利利用中心心极限定定理说明明每辆车车最多可可以装多多少箱，才才能保证证不超载载的概率率大于00.9777？（）。【详解】以以表示装装运的第第i箱产品品的实际际重量，n为所求箱数。由条件是独立同分布随机变量（但具体分布未知），因而总重量为T=。由条件知. 千克克。又随机变变量独立立同分布布且数学学期望和和方差都都存在，故故根据列列维一林林德伯格格中心极极限定理理，只要要n充分大大，随机机变量TT就近似似服从正正态分布布N(550n,25nn)。由由题意知知，所求求n应满足足条件：当n充分大大时变量量近似服服从N（00，1），可可见，从而有. 即最最多只能能装9

7、88箱。【例37】设总体体X为连续续型随机机变量，概概率密度度函数为为，从该该总体抽抽取容量量为的简简单随机机样本。试试求在曲曲线下方方，统计计量对应应的统计计值 的右方方的（曲曲边形）面面积S的数学学期望。【详解】设设为总体体X的分分布函数数，则先求的分布布函数GG（m）的概概率密度度g(mm)。M的分布函函数的概率密度度因此，计算算S的数数学期望望： 【例38】已知某某种材料料的抗压压强度，现现随机地地抽取110个样样品进行行抗压试试验，测测得数据据如下（单单位：）：样本均均值，样样本方差差.（1）求平平均抗压压强度的的矩估计计值；（2）求平平均抗压压强度的的95%的置信信区间；（3）若已已知，求求的955%的置置信区间间.【详解】（11）（2）设总总体