形形色色的裂项相消

1、形形色色的裂项相消解题的过程是从条件出发，抽丝剥茧，达到问题解决的目的.而编题的过程是从一个本 来很显然的东西出发，经过次数不同的改造伪装，使得已知条件和待求问题之间的联系变得 比较隐晦复杂.解题和编题是一对互逆的过程，解题和编题都需要斗智斗勇，两者的关系在 形形色色的裂项相消求和问题中可见一斑.已知a = b b (其中b已知)，ij a 的前n项和S = b b ，或者，已知 n n nblnnn 1 n+1a = b b (其中b已知)，0a 的前n项和S = b b，如果b b 或b b不n n+1 nnnn n+11n n+1 n+1 n作变形化简，那么求和就太简单了，比如说，题1：

2、已知a = (n +1)3 - n3，求a 的前n项和S .那么我们可以轻而易举地求出S = (n +1)3 1，显然命题者不会如此出题，他会稍作改 n变：从a = (n +1)3 n开始，将(n +1)3 n3化简为3n2 + 3n +1，那么就有 n题2：已知a = 3n2 + 3n +1，求a 的前n项和S .这个题就恐怕不是一般的学生能解决的了(假定学生不知道平方和公式E 一 1 一 .乎k2 =丁n(n + 1)(2n +1)的前提下).命题者到此就大功告成了，他做了一点微小的改动， 6k=1将人人会做的题1改编成了一个较难的题2.下面就轮到解题者上场了 .我们要做的是还原 出命题者

3、做的那点“微小的改动”，这个改动对命题者来说确实是“微小的”但对于解题者 而言却远非显然.这样的现象在数学乃至其它科学中都会发生，原因是很多“逆问题”的求 解比“正问题”困难得多.下面我们通过一些例子来看看命题者是如何把b b 或b b改造得面目全非的， n n+1n+1 n而我们如何还原出它们的本质.类型1:分母有理化这类问题的特征是通项公式为带根号的两项或两项以上和的倒数，解答方法是分母有理 化.题3：已知an =+ 广，求时的前n项和Sn.解答：题4：a = % n +1 n， 所以S =寸京1.n n+1+nn(08上海交大)数列a的通项公式为an = n n+1 + (n + 1n，

4、则这个数列的前99项之和S99 =解答:因为a =nn、：n +1 (n + 1)(nn(n +1 (n +1)% nn、n +1 + (n +1：nn2 (n +1) (n +1)2 nn(n +1)所以Sn =1 -1，故S9910类型2：乘积的倒数这类问题的特征是通项公式为某一数列的两项或两项以上的乘积的倒数.1令b=，ncncn+1cccn，可得问题：已知an+1c cn+n，求a n+1 n的前n项和S；1答案为s = c1cn +1令b =ncncn+1则b 一 bn n +1Cn+ C n+c 一 cn+2n2 cncn+ cn+可得问题：已知题.cn + 2 一 cn，求a 的

5、前n项和S .答案为S cncn+1cn+2给出不同的c nccn +1 n + 2并且对Cn+ 1 七及七+ 2 一 Cn乘上一个非零常数，就可得到不同的问七+3+2题5： 已知a =ncncn+1其中cn为任意项都不为零的等差数列，公差d丰0，求an的前n项和S .答案为S11上).cn+1令 c = 2n + 1nc cn+1 n2n+1 2n2n(2 n + 1)(2n+1 + 1)(2 n + 1)(2n+1 + 1)所以我们可以编制下面的问题:题6：已知a =n2n(2n + 1)(2n+1 +1)，求a 的前n项和S .答案为Snnn132 n+1 + 1如果再加一层伪装，则可再

6、乘上一个常数，编制下题:2n-1题7：已知a = 一-， n (2 n + 1)(2n+1 +1)求a 的前n项和S .答案为Snnn题8： （03复旦）数列a的前n项和为Sn，其中(V n 1 + X. n)(t n 1 + 气,n +1)(、n + % n +1)求 S2003=(n -1 + 寸 n，则c+1 cc cn+1 n侦n +1 - (n 1(y n 1 + -Jn)(，n +、. n +1) (、n 1 + % n)(：n 1 + n +1)(n + ：n +1)所以a =二.= =!cn = !(上- n(腴-1 + 而)(7T +vn+l)(而 +n +1)2口 c+1c

7、2 c)，故 cn+1S = () = (1 ) = (1f n +1 + n)，从而n 2 匕 c 12Jn +1+ Jn2s2003 = 2(1-2004 + V2003).类型3：乘积这类问题的特征是通项公式为某一数列的两项或两项以上的乘积. (c c c - c c c )可知，若 a = (c - c )c c c c n n+1 n+2 n-1 n n+1nn+2 n -1 n n+1,则a的前n项和S=c c c - c c cn n+1 n+20 12题9：已知an=n(n +1)，求a 的前n项和S .解答:因为=n(n +1) = n(n + 1)(n + 2)-(n- 1)n(n +1),所以 3题10：S = 1n(n + 1)(n + 2) - 0 x 1 x 2 = 1 n(n + 1)(n + 2). n 33(07 上海交大)1 1! + 2 - 2! + + n - n!=解答：因为 a = n - n! = (n +1) - 1n! = (n +1)!- n!，所以 S = (n +1)!- 0! = (n +1)!-1.题11： (06上海交大)已知a =kk!+ (k +1)!+ (k + 2)!，则数列气的前100项和为解答：因为a =kk!+ (k +1)!+ (k + 2)!k !1+