新高考数学第5讲 数列与不等式（2021-2022年高考真题）（解析版）

1、第5讲 数列与不等式 一、单选题1（2022全国高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（）A0.75B0.8C0.85D0.9【答案】D【解析】【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D2（2022全国高考真题（理）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数

2、列：，依此类推，其中则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为，所以，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.故选：D.3（2022全国高考真题（文）已知等比数列的前3项和为168，则（）A14B12C6D3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.4（2021北京高考真题）中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定指出，中国

3、共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，则A64B96C128D160【答案】C【解析】【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，因为，可得，可得，又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.故选：C.5（2021北京高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（）A9B10C11D12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及

4、求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，所以.对于，取数列各项为(，,则，所以n的最大值为11故选：C6（2021全国高考真题（文）记为等比数列的前n项和.若，则（）A7B8C9D10【答案】A【解析】【分析】根据题目条件可得，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】为等比数列的前n项和，成等比数列，.故选：A.7（2021全国高考真题（理）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不

5、是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件故选：B【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程8（2022上海高考真题）已知，下列选项中正确的是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】，但

6、，A、C错，所以.B正确.，但，D错.故选:B.9（2021全国高考真题（文）下列函数中最小值为4的是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意【详解】对于A，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，函数定义域为，而且，如当，D不符合题意故选：C【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结

7、合有关函数的性质即可解出二、多选题10（2021全国高考真题）设正整数，其中，记则（）ABCD【答案】ACD【解析】【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.【详解】对于A选项，所以，A选项正确；对于B选项，取，而，则，即，B选项错误；对于C选项，所以，所以，因此，C选项正确；对于D选项，故，D选项正确.故选：ACD.11（2022全国高考真题）若x，y满足，则（）ABCD【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假【详解】因为（R），由可变形为，解得，当且仅当时，当且仅当时，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所

8、以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误故选：BC三、双空题12（2021全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.【答案】 5 【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次

9、可得到如下规格：，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.四、填空题13（2022全国高考真

10、题（文）记为等差数列的前n项和若，则公差_【答案】2【解析】【分析】转化条件为，即可得解.【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.14（2022上海高考真题）不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.故答案为：【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.15（2021天津高考真题）若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.五、解答题16（2022全国高考真题）已知为等

11、差数列，是公比为2的等比数列，且(1)证明：；(2)求集合中元素个数【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出(1)设数列的公差为，所以，即可解得，所以原命题得证(2)由（1）知，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为17（2022全国高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)证明：【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（

12、2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.(1)，,又是公差为的等差数列，,当时，,整理得：,即,，显然对于也成立，的通项公式；(2) 18（2022全国高考真题（理）记为数列的前n项和已知(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得(1)解：因为，即，当时，得，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列(2)解：由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时19（2

13、021全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值【答案】(1)；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练

14、掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.20（2021全国高考真题（文）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.【详解】数列是等差数列，设公差为，当时，当时，满足，的通项公式为，是等差数列.【点睛】在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.21（2021全国高考真题（理）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明

15、数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）方法一：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;方法二【最优解】： 由已知条件知于是由得又，由得令，由，得所以数列是以为首项，为公差的等差数列方法三：由，得，且，又因为，所以，所以在中，当时，故数列是以为首项，为公差的等差数列方法四：数学归纳法由已知，得，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且下面用数学归纳法证明当时显然成立假设当时成立，即那么当时，综上，猜想对任意的都成立即数列是以为首项，为公差的等差数列（2

16、）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；22（2021全国高考真题（理）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差

17、数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【答案】证明过程见解析【解析】【分析】选作条件证明时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选作条件证明：方法一：待定系数法+与关系式设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，故.方法二 ：待定系数法设等差数列的公差为d，等差数

18、列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立则有，解得所以选作条件证明：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选作条件证明：方法一：定义法设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.方法二【最优解】：求解通项公式因为，所以，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，

19、利用得到的通项公式，进而得到，是选择证明的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进而得到；选时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.23（2021全国高考真题（文）设是首项为1的等比数列，数列满足已知，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和证明：【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析

20、】【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）方法一：作差后利用错位相减法求和，设，则由-得所以因此故方法二【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.方法三：构造裂项法 由（）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以则，下同方法二方法四：导函数法设，由于，则又，所以，下同方法二【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为