统计学常用分布小结

1、分布试验背景性质与应用(0 -1)分布进行一次试验，若成功的概率为p(0 p 1)，则在一次试验中成功的次数X服从(0 -1)分布。对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S = 牛乌，则总能在s上定义一个服从(0-1)分布的随机变量0, 当e = eX = X (。)=，业 1来描述试验的结果。1,当 e = ev2性质：若随机变量X,Y都服从(0 -1)分布，则X, Y不相关与X, Y相互独立等价。应用：该分布用于描述只有两种对 立结果的伯努利试验。二项分布n重伯努利试验，若成功的概率为 p(0 p 1)，则成功的总次数X B(n, p) (Y = n - X B(n, q)(

2、0 -1)分布与二项分布的关系： 参数为p的(0 -1)分布是参数为(n, p)的二项分布B(n, p)当n = 1时的特例； 随机变量气，X2， Xn相互独立且都服从参数为p的(0 -1)分布，则：X = X1 + X2 + + XB(n, p)可加性：XB(n, p)，YB(m,p)，则X + YB(m + n, p)，可推广至n个随机变量的情形。(二项分布仅对于参数n具有可加性，参数p不同的二项分布不符合此性质)负二项分布在伯努利试验中，设成功的概率为p(0 p 1)， 则第r次成功时的试验次数XP(r, p)。分布律：PX = k = Cr-1 prqk-r(k = r, r +1,)

3、 数字特征：EX = rjp,DX = rqjp2 k-1 几何分布独立重复试验，若成功的概率为p(0 p 0, n 0时，有PX = m + n 1 X m = PX = n ； PX m + n 1 X m = PX n其直观意义为：独立重复试验前m次未成功，继续试验，则第质+ n次试验时取得成功的概率p与从一开始试 验第n次试验首次成功的概率相等。(大于号同理)超几何分布N件产品中有M件次品，依次不放 回(或任意取出)n件，则取出的次品数XH(n,M,N)。分布律：PX = k = CMCN-m (k = 0,1,2,)数字特征：EX = nM, DX = nM (1-M)(N-n) C

4、nNNN N -1N 泊松分布人ke一人-分布律：PX = k =(k = 0,1,2,)数字特征：EX = DX =X ； EX2 =X2 +Xk! 可加性：XPR)，YP(%)，则X + YP(气+气)，可推广至n个随机变量的情形_(_，_ . _ _ rR,冗非整数概率最大值：XP(人)，则当k = k时p(k)取得最大值，其中k = 1,M NM 8Cnnnrs NN一、Xke-X/. 八一- . ,2 limCkp k(1- p )n-k =， (k = 0,1,2 ) 其中 X = limnp0n8 n nnk !n 8n说明：自有限总体非还原抽样产生超几何分布，还原产生一项分布。

5、当总体容量N和抽样次数n充分大，但n相对N较小时，超几何分布和一Ck Cn-k项分布的概率近似相等。即当N，n充分大而n 20, p 0.05时，可以用X = np的泊松分布的概率值近似计算一项分布B (n, p)的概率值。分布概率密度，分布函数，数字特征性质均匀分布X U (a, b)()=EX = (a1/八,a x b b - a, F (x)= 0, 其他，+ b)/2, DX = (b-a)2/120, x ax - a , 7 ,a x b,EX2 = (a2 + ab + b2)/3若XU(a, b), G d u a, b,则Pc x 0If (x) = , F (x) = 0

6、,x 0 0,x S +11 X s = PX t设X 1, X2, Xn相互独立且同服从参数为X的指数分布，则随机变量X(1) = minX 1,X2, XJ服从参数为nX的指数分布。PX b = e-Xb,Px1 X x2 = e-x% -e-对数正志分布XLN(收2)f (x)= F (x)= 0EX = e *+ 2J2兀x0 x 0J2e -8EX 2 = e21+2b2,0,x 0，、，、，1，、-1,一，八，若XLN(|,b2)，则y = 丁N(-|,b2)，即y =方与X服从同型分布。XX(2)对数正态分布与正态分布的关系：1 若 X N(|,b2)，则 Y = ex LN(|

7、,b2)2 若 X LN(|,b2)，则 Y = lnX N(|,b2)r分布Xr (a,人)f (x)= F (x)= 0r (a),0,x 00,x 0/X, DX = a/X 2, EX 2 = a (a +1)/ X 2r分布对参数a具有可加性，即：若 X r (a, X)，Y r (P, X)，则 X + Y r (a+p, X)r分布的几个特例：参数为(1，X)的r分布是参数为X的指数分布；参数为 (n/2，1/2)的r分布，是自由度为n的z2分布；参数为(n，X)的r分布，是参数为X的n阶厄兰(Erlang)分布。正态分布X N(M,b2)/、1 r,F (x) = j e 2o

8、 2 dt 2兀b s(t-M )2EX = M, DX =b 2, EX 2 = m正态分布X N(M,b2)/、1 r,F (x) = j e 2o 2 dt 2兀b s(t-M )2EX = M, DX =b 2, EX 2 = m 2 +b 2DX 2 = 2b 4 + 4 M 2b 2, EX 4 = 3b 4 + 6 M 2b 2 + m 4一 仔十 八 2E X =寸一b e 2b 2, D X = (1M2e b 2)b 2 + m 2丸E|X-m| =!2.2b, D X -m| = (1- )b 2若XN(0,b2)，则2_2.b, D X = (1- )b 2,EX2 =

9、b2,DX2 = 2b40,f (x)图形的特征：曲线关于x=M对称，当x=M时f (x)取得最大值f (M) = 1.泠2b ； 在x =Mb处曲线有拐点；曲线以x轴为渐近线。正态变量XN(M,b2)的标准化问题：一 ,、， X-M1 若 X N(M,b2)，则 Z = M N(0,1)b2 F(x) = PX x = P 土=以7)；b bbx M X M x M x M x - M Px X x = P =( )-()12bbbbb由正态分布概率密度的对称性得出的一些结论：1 F(M + x) + F(M x) = 1 ； 2 (-a) = 1-(a) = 1 -ja甲(x)dx ；20

10、3Pl X l a = 21-(a)；已知随机变量X,y独立同服从N(0,b 2)，则Emax(|X|,)=2 服从N(0,1)，则 Emax(X|,|y|)=烹。EXn =学瑚(胃)为偶数若XN (0,1)，则n为奇数生+1), n为偶数2 一 一一 -=1 ，EX 2 = 1, DX 2 = 212 ni ii ii=1i =1独立的充要条件是E以。=0。i ii=1(6)由复合函数求导法可得：u(x) = u，(x)甲u(x)，特别(ax)= a中(ax) 甲u(x) = -u(x)u(x)pu(x)，特别甲(ax) = -a2甲(ax)(因甲(x) = -xp(x)(7) js xp

11、(xa)dx = abs b一维正态 分布1 1(x u )2(x u )(y U ) (y u)2(X, y) N (u , u q 2q 2, p)，概率密度为 f (x, y) = exp- 2 p (Ui)(y W + (y W , b q 0,1p 112122Eb J1 p22(1p2)b2bbb 21 21 2*11 22.人(x u )(y u )、1r u2 2 pwv + v2若令u = b 1 ,V =b2，则 f (x,y) = exp 一 一 p功1212叫N(u , u ,b 2,b 2, p)的两个边缘分布为：X N(u ,b 2), Y N(u ,b 2)12

12、1 21 12 2N(u , u ,b 2,b 2, p)的条件分布也是一维正态分布： 1 2 1 2Y = y 时，X 的条件分布为 N(u + 巳p(y u ),b 2(1p2) ； X = x 时，Y 的条件分布为N(u +% p(x u ),b 2(1p2) 1 b212 b12补充：(1)两个正态随机变量X和Y的任意线性组合aX + bY(a2 + b2丰0)仍服从正态分布，且1 当 X 和 Y 相互独立时，aX + bY N(au + bu ,a2b2 + b2b2)2 当 X 和 Y 不独立时，aX + bY N(au + bu ,a2b2 + b2b2 + 2abpb b )1

13、2121 2两个正态随机变量X，Y，若(X,Y) N(u , u ,b 2,b 2, p)，则X和Y相互独立的充要条件是p = 0。即对于联合分布为二维正态分布的X，Y，1212xy独立与不相关等价。但若(X, Y)的联合分布不是二维正态分布，即便X，Y都服从正态分布，也不能保证“ X和Y不相关就独立”。二维均匀 分布f 1-,(x, y) e G f (x) = A，、0, (x, y)任 G其中G是面积为A的平面区域。随机变量(X, Y)服从区域G上的均匀分布，它在G上的任何一个子区域D(D u G)内取值的概率只与该子区域的面积S。有 关，而与D在G的位置和形状无关，即：尸(x, y) e D = jj f (x, y)dxdy =