概率论与数理统计期末总复习小结

1、第二、三、四章随机变量的分布及数字特征习题课一、小结1.一维随机变量的概率分布 F (x) P X x ( x )随机变量 的分布函数的X概念与性质离散型随机变量的概率分布与性质连续型随机变量的概率密度与性质重要分布（01分布、二项分布、超几何分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布）2.二维随机变量的概率分布分布函数的概念与性质、边缘分布函数二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度、条件密度重要分布（二维均匀分布、二维正态分布）随机变量的独立性3.随机变量的函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布4.随

2、机变量的数字特征数学期望定义、公式与性质方差的定义与性质原点矩与中心矩【第 1 页 共 4 页】协方差定义与性质相关系数的定义与性质不相关的充要条件5.极限定理切比雪夫不等式大数定律中心极限定理二、习题1.每次试验成功的概率为 （0 p1p第 次才取得 （）次成功的概率是【B】1 r nnrr rnn rr1 rnr(A) )(B)C p p)C p pn1C p p)nrrnrr1 r1(C) (1 )p p(D)n12.设随机变量 ，则随着 的增大，概率2X N( , 2 ) 【C】P X (A) 单调增大(C) 保持不变(B) 单调减小(D) 增减不定3.设两个独立的随机变量 与 的分布

3、函数分别X Y max X ,YF (x), F (y)，则Z的分布函数是【】XY(A)F (z) max F (z), F (z)ZXY(B) ( ) maxF z ( ) , ( )F z F zZXY(C) ( ) ( ) ( )F z F z F z(D)都不是ZXY【第 2 页 共 4 页】4.设随机变量相互独立且同分布，EX 1，X , X , X129i9DX 1 i，则对任意的X，有 0Siii1【B】19 (A)(C)(B)P S 9 1P S 1 1221 11 P S 9 1(D)P S1 12925某事件的概率为 1/4,如果试验 8 次则该事件就【】(A)一定出现两次

4、(C)至少出现 1 次(B)一定出现 6次(D)出现次数不能确定6.设两个相互独立的随机变量 与 的方差分别是X Y 4 ，2，则随机变量的方差是3X 4Y【68】7.设有 5 枚 1 分硬币、3 枚 2 分硬币和 2 枚 5 分的硬币，从中任取 5 枚求取出金额超过 1 角的概率为【 】B ， 则8. 设与 相 互 独 立 且 都 服 从XY P X Y 【 】1,x0,1,329.设随机变量 的概率密度为x, 3, 6, 若f(x) X90,其他.2 P X k ，则 的取值范围是【1,3】k310.设随机变量 与 的相关系数为X Y ，EX EY 0【6】，222，则 (E X)EX E

5、Y 2 Y 盒中放有 6个乒乓球，其中 4个是新的，第一次比赛时，从中任取 2 个来用，比赛后放回盒中；第二次比赛时再从盒中任【第 3 页 共 4 页】取 2 个.（1）求第二次取出的两球都是新球的概率；（2则第一次取出的两球是一新一旧的概率.【0.16；0.67】12.设 X服从区间上的均匀分布，求Y Xe 的分布密度；X2 的分布密度.Y【y1e2 y , 】f y 2Y 其它.13.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50克，标准差为 5克，设每 100 个螺丝钉为一袋，求每袋螺丝钉的重量超过 5100克的概率；若这样的螺丝钉装有 500 袋，求 500 袋中最多有 的重量超

6、过 5100 克的概率已知 ， .【 ； 】14.假定到某服务单位办事的等待时间 X（单位：分钟）服从以 为参数的指数分布，而某人等待时间超过 15 分钟就会离去.110设此人一个月要去该处 10 次，试求：此人离去的概率；一个月里至少有两次离去的概率 .【第 4 页 共 4 页】【；】0.22310.689915.设(X Y在区域 D 内服从均匀分布，D 为 01，x，1，求关于 X和 Y 的边缘分布密度；X与 Y 是否相互独立，为什么？求 X与 Y 的协方差 (X，Y).2x,0 x 12 2y,0 y 1,f y 0, ； ( )f x 0, 其它其它.XY1 Cov X ,Y 不独立；

7、】36【第 5 页 共 4 页】第五、六、七章习题课一、小结（一）样本与抽样分布1.基本概念总体、个体、样本、样本容量 具XX , X , X12n有相同的分布.统计量：样本的函数，且不含任何未知参X , X , Xg(X , X , , X )12n12n数.样本数字特征：1样本均值样本方差n；X Xnii111n，修正样本方差n；2S2(X X )2S*2(X X )nin 1ii1i111.样本 阶原点矩kn；样本 阶中心矩knA XB (X X )kkkniknii1i1定理 若总体 的期望为 ，方差为 ，2是来自总体 的简XX , X , X1 2Xn2单随机样本，则* 2.2EX

8、,DX,ES n2.抽样分布定理 （生成原理）独立的正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量；独立的标准正态变量的平方和n服从自由度为 的n2分布；X2ii1U设 ， 相互独立，且U，2，则服从自由度服从自由度 ( )nTVU N (0,1)VV / n为 的 分布；ntU / mV / n设 ， 相互独立，且V2，2，则FUU (m)V (n)为的 分布.F(m,n) 若，则n，.X ( )EX nDX 2n第 1 页2定理 （一个正态总体抽样分布）设是来自正态总体的简单随机样本，则(, )2X , X , , XN12n2；X N (,)nX U ； N n(n 1)S*2； ( 1)22n

9、2 与 相互独立；S 2XX T . t(n S*n定理 （两个正态总体抽样分布）设与是分别来自X , X , , XY ,Y , ,Yn12n1122正态总体和的简单随机样本，且这两个样本相互独立，则N ( , )N( , )221122/S*22；F F (n n 11*22212S2(X Y ) ( )当时，T，其中 ( 2)t n n22212121112Swnn12(n S (n Sn S n S*2*2222.2S2112112 n 2n n 2wn12123.分位数P X设 为 的 为xP X xx xX的 上侧分位数.X它们的关系是： （上）x（下）.x1会画2分布的密度曲 线

10、，会查 它们的分 位数表， 其中FN 、t、 、1（颠倒自由度，查表取倒数）.F (n ,n ) 112(n ,n )F21（二）参数估计1.点估计方法第 2 页及其函数.例如 估计一个参数 ，令，解出 ；X 1估计两个参数 , ，令n，解出 ,.X , X 221212nii1最大似然估计法：选取参数，使样本取值的概率X , X , , Xx , x , , x12n12n（密度）最大. 其步骤如下：写出似然函数 x P X1 xL) P XxP X122nnf x f xL ) ( , ) ( , )( ,) f x12n取对数；ln L)求出（即）的最大值点 ；L )ln L) 的最大似

11、然估计为 .2.点估计的评价标准无偏性： ； E有效性： 且 ，则称 比 有效； EEDD121212 ，则称 是 的一致估计量. P 1 nnn3.区间估计概念 若 为参数 的置信概率为的1 1 , )P1212置信区间.概率意义 等式表示随机区间 包含参数 的 1 , ) P1212概率为1.置信概率1 的长度 反映1 , ) 122精确度，越小越好.求置信区间的原则：对于给定的置信概率，使置信区间 的长 , )112度 越小越好.1 24.一个正态总体, )2N (第 3 页 已知， 的置信区间为；2XXun12S* 未知， 的置信区间为；n( 2tn12nn(X )(X )22ii 已

12、知， 的置信区间为；,211ii(n) ( )22n122 ( (n 1)S nS*2*2. 未知， 的置信区间为,2( ( 2n2n122（三）假设检验1.小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生.2.假设检验的步骤：提出待检假设 和备择假设 ；HH01选择检验统计量并确定其分布；根据给定的显著水平 ，查概率分布表，确定否定域； ，H0否则接受 .H03 两类错误真而拒绝，称为第一类（弃真）错误，犯第一类错误的概率HH00P T W H， 0 假而接受H，称为第二类（纳伪）错误，犯第二类错误的概率记作H00P T W H. 14.一个正态总体, )2参数的假设检验（拒绝域均采用下侧分

13、位数）N (2已知，关于 的检验（ 检验）UX /检验假设统计量拒绝域UH : uU000n12第 4 页X /检验假设检验假设统计量统计量拒绝域U拒绝域UH : uUU000001nX /H :u01n 未知，关于 的检验（ 检验）t2X 检验假设检验假设检验假设统计量拒绝域H : t(n t0t00/S*n12X 统计量统计量拒绝域t tH : n( tt0000/1S*nX 拒绝域H :t tn( 00/1S*n 未知，关于 的检验（ 检验）22(n S*2检验假设统计量2拒绝域或者H : n( 2222002102 ( 22n2(n S*2检验假设检验假设统计量统计量拒绝域拒绝域H :

14、 ( 1)n222220020(n S*2H : ( 1)n22222100205.两个正态总体2、( , )2 t N ( , )N12用下侧分位数）X Y检验假设统计量统计量统计量拒绝域拒绝域拒绝域H : t t(n n ttt0122211121SSS2wwwnn12X Y检验假设检验假设H : t t ( nn 2011111nn12X YH : t t( nn 2011111nn12第 5 页6.两个正态总体、方差的假设检验（ 检验，拒绝域均FN ( , )N( , )221122采用下侧分位数）SS*2检验假设统计量拒绝域或者H : FFn n( 1, 1)22F1012*2121

15、22F F (n 1,n 1)122SS*2检验假设检验假设统计量统计量拒绝域H : ( F n22FF1Fn012*2212SS*2拒绝域H : n n( 221FF1012*2212注 检验两个正态总体均值相等时，应先检验它们的方差相等.二、习题1. 10部机床独立工作，因检修等原因，每部机床停机的概率为 0.2，则同时有 3 部机床停机的概率为（）.【0.2 0.8 或 0.201】C337102. 设总体服从分布， ,X X是一个 样 本， 则两个 无偏估计量XN ( , 1)121212143 ， 中有效的是（）. 【 】XXXX112212143. 若总体 服从，由来自 的容量为

16、100 的简单随机样本，测得样本均值为XN ( ,1)X5，则 的双侧 0.95 置信区间（ ）为（）. （4.804，5.196u0.9754. 设 随 机 变 量P X EX 2 的 方 差 为 2 ， 则 根 据 切 比 雪 夫 不 等 式 有X【1/2】5在假设检验问题中，显著性水平 的意义是（）原假设原假设C.原假设D.原假设成立，经检验被拒绝的概率；成立,经检验不能拒绝的概率；不成立，经检验被拒绝的概率；A】HHHH00006设总体(, ) ，其中 已知， 2未知，X X X X,是取自 的一个样本，XN2123第 6 页则下列表达式中不是统计量的是（）A.C.； X,X,X) ；

17、XXX123123X32； D. C 】X 21i2i 17.设随机变量 与 都服从标准正态分布N，则下列各式中正确的是（）X YA服从 分布；FX 222B.服从分布；2X Y2C 2和 都服从X Y分布；22D.X Y1nn8. 设X ,X , ,X 是来自总体的一个样本，记，XXX212nii 11n，下列命题中正确的是（）S(X X2i*2n 1i 1A.B.C.是 的无偏估计量；是 的极大似然估计量；与X 相互独立；SSS*D. S 是*229设， 且 与 不相关，则DX 4 DY 2 X Y（）D(3X 2Y)A. B. C. D. 4 D 】N 只球，但其中白球数为随机变量，只知

18、道其数学期望为n任取一球为白球的概率解 用 表示袋中的白球数，则XN nkP(X k)k 1设取出白球，由全概率公式A第 7 页kNNP(A) P(X k)P(A X k) P(X k)Nk 0k 01nNk P(X k) .NNk 1 1)x, 0 1x11设总体的分布密度为 ( )，其中 0 是未知参数，p x X0, 其它X, X 是来自 的样本求（1）似然函数；（2）极大似然估计量X1nn解（1）似然函数 L( ) ( 1)X ( 1) X X ni1ni1n（2）， X L( n 1) ii1d Ln X 0n令，d 1ii1n得1 ， nln Xii1n故极大似然估计量 1.nln Xii112.设连续型随机变量 服从上的均匀分布，求关于x 的一元