初三相似三角形知识点经典例题文档

1、相似三角形知识点以及典例知识点1相关相似形的看法(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.若是两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点2比率线段的相关看法（1）在四条线段a,b,c,d中，若是a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比率线段，简称比率线段注：比率线段是有序次的，若是说a是b,c,d的第四比率项，那么应得比率式为：bdca在比率式ac(a:bc:d)中，a、d叫比率外项，b、c叫比率内项,a、c叫比率前项，b、d叫bd此时有b2比率后项,若是b=c

2、，即a：bb：d那么b叫做a、d的比率中项，ad。知识点3比率的性质（注意性质立的条件：分母不能够为0）（1）基本性质：a:bc:dadbc；a:bb:cb2ac注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如adbc，除了可化为a:bc:d等。ab，交换内项)cd(（2）更比性质(交换比率的内项或外项)：acdc，交换外项)bdba(db同时交换内外项)ca(（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：acbdbdac（4）合、分比性质：acabcdbdbd典型例题：例题1：已知线段a6cm，b2cm，则a、b、ab的第四比率项是_cm，ab与ab的比率中项是_cm例题2：

3、若abbcacm2，则m_cab知识点4比率线段的相关定理1.三角形中平行线分线段成比率定理:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比率.重要结论：平行于三角形的一边,而且和其他两边订交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(相似)平行线分线段成比率定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比率.知识点5相似三角形的看法对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于”相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比率注：对应性：即两个三角形相似时，必然要把表示对应极点的字母写在对应地址上

4、，这样写比较简单找到相似三角形的对应角和对应边序次性：相似三角形的相似比是有序次的1知识点6三角形相似的等价关系与三角形相似的判判定理的预备定理相似三角形的等价关系：反身性：对于任一ABC有ABCABC对称性：若ABCABC，则ABCABC传达性：若ABCABC，且ABCABC，则ABCABC三角形相似的判判定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)订交，所组成的三角形与原三角形相似AED定理的基本图形：AADEBCB(3)CCEB(1)D(2)用数学语言表述是：DE/BC，ADEABC知识点7三角形相似的判断方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比率的两个三角形相

5、似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)订交，所组成的三角形与原三角形相似3、判判定理1：两角对应相等，两三角形相似A4、判判定理2：两边对应成比率且夹角相等，两三角形相似5、判判定理3：三边对应成比率，两三角形相似6、判断直角三角形相似的方法：BC(1)以上各种判断均适用D若是一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率，那么这两个直角三角形相似（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比率中项。）如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则AD

6、2=BDDC，AB2=BDBC，AC2=CDBC。经典例题：例题1：判断对错：(1)两个直角三角形必然相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形必然相似吗？为什么？(3)两个等腰直角三角形必然相似吗？为什么？(4)两个等边三角形必然相似吗？为什么？两个全等三角形必然相似吗？为什么？例题2：以下能够相似的一组三角形为()A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形例题3：以下列图，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC订交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.例题4：已知在RtABC中，C=90，AB=10，BC

7、=6.在RtEDF中，F=90，DF=3，EF=4，则ABC和EDF相似吗？为什么？2例题5：以下列图，点D在ABC的边AB上，满足怎样的条件时，ACD与ABC相似？试分别加以列举.例题6：已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP例题7：已知：如图，AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点求证：DFEABC例题8：如图，ABC中，CDAB于D，E为BC中点，延长AC、DE订交于点F，求证ACAFBCDF例题9：如图，在ABC中，ABAC，延长BC至D，使得CDBC，CEBD交AD于E，连接BE交AC于F，求证AFFC例题10：如图，BD

8、、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH3例题11：如图，ABCCDB90，ACa，BCb（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ABCCDB？（2）过点A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若ABCCDB求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）知识点8相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比率相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角均分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方注：相似三角形性质可用来证明线段成比率、角相等，也可用来计算周长、边长

9、等知识点9相似三角形中相关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比率的常用方法：(1)线段成比率的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：1）整体思路:“等积”变“比率”，“比率”找“相似”找相似：经过“横找”“竖看”搜寻三角形，即横向看或纵向搜寻的时候一共各有三个不相同的字母，而且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，而且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，尔后由相似三角形对应边成比率即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向搜寻的时候一共有四个字母也许三个字母，但这几个

10、字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“代替”)，常用的“代替”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。amcmm为中间比)amcm,nnb,n(n,nndnbdam,cm(mm,nn或mm)bndnnn(4)增加辅助线：若上述方法还不能够奏效的话，能够考虑增加辅助线(平时是增加平行线)组成比率.以上步骤能够不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：增加辅助平行线是获得成比率线段和相似三角形的重要路子。平面直角坐标系中平时是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比率线段。（5）比率问题：常用办理方法是将“一份”看着k;

11、对于等比问题，常用办理方法是设“公比”为k。（6）对于复杂的几何图形，平时采用将部分需要的图形（或基本图形）“分别”出来的方法办理。典型例题：例题1：ABCDEF，若ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的别的两边的长度吗？试说明原由.4例题2：以下列图，已知ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.例题3：ABC中，DEBC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求例题4：已知：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD与AB订交于E点，且AE

12、EB=12，EFBC交AC于F点，ADE的面积为1，求BCE和AEF的面积例题5：如图，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ/AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；例题6：如图，ABCD，A=90，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PEBP，P为垂足，PE交DC于点E，(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)请你研究在点P运动的过程中，四边形ABED能否组成矩形？若是能，求出AP的长；若是不能够

13、，请说明原由.5知识点10位似图形相关的看法与性质及作法1.若是两个图形不但是相似图形，而且每组对应极点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.2.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：注：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不但相似，而且对应极点的连线订交于一点.（2）位似图形必然是相似图形，但相似图形不用然是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形拥有相似图形的所有性质.4.画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心能够是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的

14、要点点和位似中心，并延长（或截取）.（3）依照已知的位似比，确定所画位似图形中要点点的地址.（4）按次连接上述获得的要点点，即可获得一个放大或减小的图形.注：位似中心能够是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或极点上）。外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，若是位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),

15、【解答题】1.如图：AB是O的直径，AD是弦，DAB22.5o，延长AB到点C，使得ACD2DAB求证：CD是O的切线；(2)若AB22，求BC的长已知：如图，AB为O的直径，AD为弦，DBC=A.1）求证：BC是O的切线；2）若OCAD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.CDEBAO63.在ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转获得CDE（使BCE180），连接AD、BE，设直线BE与AC交于点O.（1）如图，当AC=BC时，AD:BE的值为；2）如图，当AC=5，BC=4时，求AD:BE的值；3）在（2）的条件下，若ACB=60，且E

16、为BC的中点，求OAB面积的最小值.AADEDEDOOBECDBEC图图7【填空题】1.在平面直角坐标系中，ABC极点A的坐标为(2，3)，若以原点O为位似中心，画ABC的位似图形ABC，使ABC与ABC的相似比等于1，则点A的坐标为2.如图，ABC与ABC是位似图形，点2=8，则S=_O是位似中心，若OA=2AA,SABCABC3.如图，OAB的极点B的坐标为（4，0），把OAB沿x轴向右平移获得CDE，1,那么OE的若是CB长为4.如图，ABC与AEF中，ABAE，BCEF，BE，AB交EF于D给出以下结论：AFCC；DFCF；ADEFDB；BFDCAF其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）5.如图11，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是（2题图）（3题图）（4题图）（5题图）6.已知ABC与DEF相似且面积比为425，则A